Resumo dos resumos de DI-II 1 Topologia e ontinuidade de Funções em R n 1 Limites direccionais: Se lim f(x, mx) x 0 não existe, ou existe mas depende de m, então não existe lim f(x, y) (x,y) (0,0) 2 Produto de uma função limitada por um infinitésimo: porque y 0 e lim (x,y) (0,0) x 2 y x 2 + y 2 = 0 x 2 x 2 + y 2 1 3 Teorema Weierstrass: Se R n é compacto e f : R é contínua então f tem máximo e mínimo em 2 álculo Diferencial em R n 1 Derivada de f : R n R m segundo o vector v R n no ponto a R n : 2 Derivada parcial: f (a) = lim v h 0 3 f : R n R m é diferenciável em a se onde Df(a) é a matriz Jacobiana: f(a + hv) f(a) h f (a) = f (a) x i e i f(a + h) f(a) Df(a) h lim = 0, h 0 h Df(a) = f 1 f 1 f m f m 1
4 f diferenciável em a f contínua em a 5 f diferenciável em a f v (a) = Df(a) v 6 f : R n R m é de classe 1 se todas as suas derivadas parciais f i x j são funções contínuas 7 f 1 f diferenciável 8 Derivada da composta: D(g f)(a) = Dg(f(a))Df(a) 9 Regra da cadeia: 10 Gradiente: (g i f) x j = grad f f = m k=1 g i y k f k x j ( f,, f ) 3 Fórmula de Taylor e Extremos 1 Lema de Schwarz: Se f : R n R é de classe 2 então x i x j = 2 f x j x i, ou seja, a matriz Hessiana Hf = 2 2 é simétrica 2 Se f : R n R tem um extremo local em a R n então Df(a) = 0 (a é um ponto crítico, ou ponto de estacionaridade) 3 f : R n R de classe 2, a R n um ponto crítico de f Se Hf(a) é: (i) definida positiva (todos os vp > 0) então a é um ponto de mínimo local; (ii) definida negativa (todos os vp < 0) então a é um ponto de máximo local; (iii) indefinida (existem vp > 0 e vp < 0) então a é um ponto de sela 4 álculo Integral em R n 1 Teorema de Fubini: ( f = I J I J ) ( ) f(x, y) dv m (y) dv n (x) = f(x, y) dv n (x) dv m (y) J I 2
2 Teorema de mudança de variáveis: g() f = 3 oordenadas polares: g : ]0, + [ ]0, 2π[ R 2 { x = r cos θ y = r sen θ (f g) Jg, Jg(r, θ) = r 4 oordenadas ciĺındricas: g : ]0, + [ ]0, 2π[ R R 3 x = ρ cos ϕ y = ρ sen ϕ z = z, Jg(ρ, ϕ, z) = ρ 5 oordenadas esféricas: g : ]0, + [ ]0, π[ ]0, 2π[ R 3 x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ sen ϕ z = r cos θ, Jg(r, θ, ϕ) = r 2 sen θ 6 Dada uma função densidade de massa ρ : R 3 R + define-se: (i) O volume de : (ii) massa de : V 3 () = M = (iii) coordenada x do centro de massa de : x = 1 M (analogamente para ȳ, z; fazendo ρ = 1 obtém-se o centróide) (iv) O momento de inércia de em relação ao eixo dos zz: I z = ρ (x 2 + y 2 ) (analogamente para I x, I y ) 7 Regra de Leibnitz: ρ 1 ρ x d f f(x, t) dv n (x) = dt I I t (x, t) dv n(x) 3
5 Função Inversa e Função Impĺıcita 1 Teorema da Função Inversa: f : R n R n 1, Jf(a) 0 Então f é invertível numa vizinhança de a, com inversa 1 lém disso, nessa vizinhança Df 1 (f(x)) = [Df(x)] 1 2 Teorema da Função Impĺıcita: F : R n+m R m 1, F(a, b) = 0, det F y (a, b) 0 Então existe uma função f : R n R m tal que F(x, y) = 0 y = f(x) numa vizinhança de (a, b) lém disso, [ ] F 1 F Df(a) = (a, b) (a, b) y x 6 Variedades Diferenciáveis e Extremos ondicionados 1 Se M = {x R n : F(x) = 0} e car DF(x) = n m para todo o x M então M é uma variedade diferenciável de dimensão m 2 O espaço normal a M em x é T x M = L{ F 1 (x),, F n m (x)} O espaço tangente a M em x é T x M = ( T x M) 3 Regra dos Multiplicadores de Lagrange: Os extremos de f : R n R restrita a M são soluções do sistema { (f + λ 1 F 1 + + λ n m F n m )(x) = 0 7 Integrais em Variedades F(x) = 0 1 Se é uma curva parametrizada por g : [a, b] R então f = b a f(g(t)) dg dt (t) dt 2 Se S é uma superfície parametrizada por g : R 2 M então f = f(g(u, v)) g S u g v du dv = f(g(u, v)) det(dg t Dg) du dv 4
8 Integrais de Linha, ampos Gradientes e ampos Fechados 1 Integral de linha de F ao longo da curva (depende do sentido): b F, dg = F(g(t)), dg dt (t) dt 2 Teorema Fundamental do álculo para Integrais de Linha: φ, dg = φ(g(b)) φ(g(a)) 3 F é gradiente sse a F, dg = 0 para qualquer curva fechada 4 F é fechado se F i = F j (ou seja, se DF é simétrica) x j x i 5 F gradiente F fechado 6 Duas curvas fechadas dizem-se homotópicas se podem ser continuamente deformadas uma na outra 7 F fechado, 1, 2 homotópicas F, dg = 1 F, dg 2 8 R n é simplesmente conexo se qualquer curva fechada em é homotópica em a um ponto 9 F fechado, domínio simplesmente conexo F gradiente 9 Teorema de Green, Teorema da Divergência e Teorema de Stokes 1 Teorema de Green: F, dg S P dx + Qdy = ( Q x P ) dx dy y 2 Fluxo de F através da superfície S (depende do sentido): F, n = F(g(u, v)), g u g du dv v 3 Divergência: 4 Teorema da Divergência: onde n é a normal unitária exterior div F F = F 1 + + F n div F = 5 Rotacional: e 1 e 2 e 3 rot F F = = x y z F 1 F 2 F 3 F, n, ( F3 y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1 y 5
6 Teorema de Stokes: S rot F, n = S F, dg, onde S deve ser percorrido no sentido indicado por n através da regra da mão direita 7 F rotacional div F = 0 8 R n é em estrela se existe um ponto a tal que [a, x] para todo o x, onde [a, x] é segmento de recta de extremos a e x 9 div F = 0, domínio em estrela F rotacional 6