CENTRO UNIVERSITÁRIO CATÓLICO SALESIANO AUXILIUM PORTARIA.701 DE 9/07/5 DOU 0/08/005 CURSO: Superior de Tecnologia em Sistemas para Internet Disciplina: Matemática Professor: Marcos José Ardenghi SUMÁRIO 1- RAZÃO E PROPORÇÃO 1.1- Razão 1.- Proporção 1..1- Propriedade fundamental das proporções 1..- Propriedades das proporções 1.3- Grandezas 1.3.1- Grandezas diretamente proporcionais 1.3.- Grandezas inversamente proporcionais 1.4- Regra de três simples 1.5- Regra de três composta - PORCENTAGEM.1- Introdução.- Conceitos básicos de Matemática Financeira.3- Juros simples.4- Juros compostos 3- SISTEMAS LINEARES 3.1- Resolução de sistemas 3.- Sistemas escalonados 3.3- Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções 4- CONJUNTOS 4.1- Notação 4.- Relações entre conjuntos 4.3- Operações com conjuntos 4.4- Aplicações 5- FUNÇÕES 5.1- A idéia de função no cotidiano 5.- Função polinomial do 1º grau ou função Afim 5.3- Função polinomial do º grau ou função Quadrática 5.4- Função Exponencial 6- LIMITE 6.1- Noções básicas 7- DERIVADAS 7.1- Noções básicas 8- INTEGRAL 8.1- Noções básicas Referências Básicas FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. São Paulo: Makron Books do Brasil, 199.. MURAKAMI, Carlos; IEZZI, Gelson Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, 004. SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. V. 1, 5. São Paulo: Atlas, 1999. 1
REVISÃO: Assuntos básicos Equação: denomina-se equação toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. É uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às incógnitas (quantidade desconhecida). Exemplos: a) x 5 = 3 só é verdade para x = 8. b) x + y = 5 é verdade para muitos valores de x e y, como x =1 e y = 4; x = 0 e y = 5; x = 10 e y = 15. Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita: para resolver uma equação do 1º grau devemos isolar no primeiro membro a incógnita e no segundo membro os termos que não contenham a incógnita efetuando a operação inversa. Exemplos: a) x 5 = 3 x = 3 + 5 x = 8 b) x + 3 = 5 x = 5 3 x = x = x = 1 c) 5 x = x = 5. x = 10 x e) + 3 14 x = 5 x 3 = 6 1 ( x ) + 3( x 3) 6 d) 3x = 1 3x = 1.( 1) 3x = 1 x = 1 x = 3 4 = 6 1 x 4 + 3x 9 = 1 5x = 1 + 4 + 9 Exercícios 1) Resolva as equações do 1º grau: a) 5(x ) = 4x + 6 b) 4(4 x ) = (x 1) c) x = 6 d) 3x + 1 = 8 e) (x + 1) = f) 3(x + ) = 6 g) 0,1(x + 3) 0,5x = 0,7 h) 0,4(x +3) 0,x = 4 i) 0,3(y 1) + 0,4(y ) = 7 j) 5x 3x = 3(x 1) + x ) Resolva as seguintes equações do 1º grau: x 1 x 1 a) + = 4 3 6 x 1 5 x +1 b) + = 3 6 x +1 x x 1 c) + = 6 3 4 x + 5 1 4 d) = + x 3 3 x 3 y 5 + y e) = 1 5 3 3) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = 50x 000, em que x é a quantidade mensal vendida de seu produto. Qual a quantidade que deve ser vendida mensalmente para que o lucro mensal seja de R$5.000,00?
4) A soma de dois números inteiros consecutivos é 87. Achar esses números. 5) A diferença entre dois números é igual a 60. Achar esses números sabendo que um deles é igual a um terço do outro. 6) Pedro e Antonio possuem juntos R$4.55,00. Antonio possui R$875,00 mais que Pedro. Quanto possui cada um? 1- RAZÃO E PROPORÇÃO 1.1- Razão Denominamos razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o quociente b a ou a:b. (lê-se "a está para b" ou "a para b"). Na razão a:b ou b a, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". São diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplo: Dos 100 inscritos num concurso, passaram 40 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. Exemplo: são razões inversas, pois. Razões entre grandezas da mesma espécie Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. Exemplo: Calcular a razão entre a altura de duas pessoas, sabendo que a primeira possui uma altura h 1 = 1,0m e a segunda possui uma altura h = 1,50m. A razão entre as alturas h 1 e h é dada por: Razões entre grandezas de espécies diferentes Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas. Exemplo: Beatriz foi de São Paulo a Campinas (9Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução: Razão = Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km. 3
1.- Proporção Proporção é uma igualdade entre duas razões. Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: a c = ou a:b=c:d b d Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. 1..1- Propriedade fundamental das proporções Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplos: 1- Determine o valor de x na proporção: 5 15 a) = 8 x 5.x = 8.15 5.x = 10 x = 4 Logo, o valor de x é 4. b) 5. (x 3) = 4. (x+1) 5x 15 = 8x + 4 5x 8x = 4 + 15 3x = 19 3x = 19 19 x = 3 - Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. 5.x = 8.35 5x = 80 x = 56 Logo, o valor de x é 56. 1..- Propriedades das proporções 1ª propriedade: Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). a c a + b c + a + b c + d = = ou = b d b dd a c 4
Exemplo: Determine x e y na proporção x y 3 = 4, sabendo que x+ y = 84. Assim: x + y = 84 x = 84 y x = 84 48 x = 36. Logo, x = 36 e y = 48. ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). a c a b c a b c d = = ou = b d b dd a c Exemplo: Sabendo-se que x y = 18, determine x e y na proporção Pela ª propriedade temos que: x 5 =. y x y = 18 x = 18 + y x = 18+1 x = 30. Logo, x = 30 e y = 1. 3ª propriedade: Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. a c a + c a c = = = b d b + d b d 4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. a c a c a c = = = b d b d b d 5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. 5
1.3- Grandezas Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. 1.3.1- Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela a seguir: Tempo (minutos) Produção (Kg) 5 100 10 00 15 300 0 400 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 00Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da ª. 1.3.- Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo: Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 00 8 15 10 100 16 6,5 Velocidade (m/s) Tempo (s) Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ----> 00s 10 m/s ----> 100s Quando quadruplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 00s 0 m/s ----> 50s Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da ª. 1.4- Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores de uma proporção dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 6
Exemplos: 1- Com uma área de absorção de raios solares de 1, m, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m ) Energia (Wh) 1, 400 1,5 x Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. ) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Logo, o tempo desse percurso seria de,5 horas ou horas e 30 minutos. 1.5- Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1- Em 8 horas, 0 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 15m 3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 0 160 5 x 15 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (ª coluna) e, em seguida, comparamos as outras grandezas com a que contém o x, colocando a seta na mesma direção se forem diretamente proporcionais e, no sentido contrário, se forem inversamente proporcionais.. 7
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com os sentidos das setas. 0 5 160 0.8.15 =. x = x 8 15 5.160 x = 5 caminhões Logo, serão necessários 5 caminhões. Exercícios 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher piscinas? R: 6 horas. ) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 0 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? R: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 5m? R: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 0 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? R: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 0 centímetros de largura, seriam produzidos em 5 minutos? R: 05 metros. 6) Dividir 360 em partes proporcionais aos números, 3, 4 e 6. R: 48, 7, 96, 144 7) Luis, Renata e Tiago transportaram de um lugar para outro 156 latas de tinta. Sabendo-se que Luis transportou 3 latas de cada vez, Renata, 4, Tiago, 6, pergunta-se: quantas latas transportou cada um? R: 36, 48 e 7 8) Cinco máquinas funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produzem 9000 parafusos. Em quantos dias 6 dessas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 4800 parafusos? R: 10 dias 9) Três cidades vizinhas construíram uma ponte no valor de R$4.600.000,00. Sabendo-se que a despesa deve ser repartida em partes inversamente proporcionais às distâncias de cada uma à ponte, pergunta-se: quanto coube a cada cidade, se as distâncias são de 3 Km, 9 Km e 15 Km? R: três milhões, um milhão, seiscentos mil, respectivamente. 10) Pelo transporte de 350 Kg de mercadoria a 0 Km de distância, certa empresa cobrou R$140,00. Quanto cobrará para transportar 9000 Kg, a 300 Km de distância, se, devido ao longo percurso, essa empresa fizer o abatimento de /9? R: R$4.000,00 11) Reparta a quantia de R$945,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8. R: R$540,00 e R$405,00, respectivamente. 1) Uma pessoa dando 36 passos por minuto percorre em 30 minutos certa distância. Que tempo essa pessoa levará para percorrer essa mesma distância se der 45 passos por minuto? R:4 minutos. 13) Fiz uma viagem a uma velocidade média de 80 Km/h, em 4 dias. Em quanto tempo (dado em dias, horas e minutos) eu faria essa viagem se minha velocidade média fosse 100 Km/h? R: 3h1min 14) Quarenta operários, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia, conseguem terminar um serviço. Quantos operários farão o mesmo serviço em 1 dias, se eles trabalharem 8 horas por dia? R: 10 operários. 8
15) Em 5 dias, funcionando 15 horas por dia, uma máquina produz 000 peças. Quantas peças ela produz em 8 dias, funcionando 1 horas por dia? R: 560 peças. 16) Dois pintores executaram um serviço cobrando um total de R$1.600,00. O serviço deveria ter sido dividido igualmente, porém um deles trabalhou 6 horas, machucou-se e não mais retornou ao trabalho. O outro terminou o trabalho em 10 horas e cada um recebeu o valor proporcional ao número de horas trabalhadas. Quanto recebeu cada pintor? R: R$600,00 e R$1000,00, respectivamente. - PORCENTAGEM.1- Introdução É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100,00 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 15% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Logo, ele vendeu 5 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de 300. Calcular 5% de 00kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 9
Exercícios: 17) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? R: 6 18) Se eu comprei uma ação de um clube por R$50,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? R: 0% 19) Sobre uma compra de R$3.700,00 foi concedido um abatimento de R$740,00. Qual é a taxa percentual do desconto sobre o preço de compra? R: 0% 0) Em um concurso estão inscritos 75 candidatos, dos quais apenas 176 são homens. Qual é a taxa percentual de mulheres inscritas? R: 36% 1) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$.775,00, correspondente a 75% do preço de tabela. Qual é o preço de tabela dessa mercadoria? R: R$3.700,00 ) Uma certa peça de um carro, cujo preço era de R$17,50, foi vendida com um acréscimo de 0% sobre esse preço. Por quanto foi vendida essa peça? R: R$1,00 3) Um relógio avaliado em R$850,00 foi vendido com um desconto de 10% sobre esse preço. Qual foi o preço de venda? R: R$765,00 4) Uma jóia cujo preço de custo era R$7.00,00 foi vendida por R$8.640,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de custo? R: 0% 5) Uma certa mercadoria é vendida com o prejuízo de 0% sobre o preço de venda. Sendo o prejuízo de R$140,00, calcular o preço de custo. R: R$840,00 6) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Determine o lucro sobre o preço de custo. R: 100% 7) Uma certa mercadoria custa R$450,00 e é vendida com os aumentos sucessivos de 18% e 0%. Qual o último preço de venda? R: R$637,0. 8) Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$680,00, tem um acréscimo de 5% no seu preço se for paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? R: R$38,00 9) O salário de um trabalhador era de R$840,00 e passou a ser de R$966,00. Qual foi a porcentagem de aumento? R: 15% 30) Um televisor cujo preço é R$685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com desconto de 1%. Por quanto ele está sendo vendido? R: 60,80.- Conceitos Básicos de Matemática Financeira CAPITAL: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. JUROS: representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as 10
aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado ou aplicado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês) 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).3- Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = C. i. n, onde: J = juros; C = capital (ou Valor Principal); i = taxa de juros; n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000. 0.08. = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Capital + Juros Montante = Capital + (Capital. taxa de juros. número de períodos ) M = C.(1 + i.n) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. Solução: M = C.( 1 + i.n ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$7.960,4 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios 31) Calcular os juros simples de R$ 100,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. R: R$34,00 3) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 15 dias. R: R$5.000,00 33) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? R: 116.666,67 34) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? R: 8 meses 35) Um capital de R$800,00 aplicado a juros simples com um taxa de % ao mês, resultou no montante de R$880,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? R: 5 meses. 11
.4- Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M = C.(1 + i) º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C. (1 + i). (1 + i) = M.(1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C. (1 + i). (1 + i) = M.(1 + i) 3 Generalizando para n meses, obtemos a fórmula: M = C.(1 + i) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M C Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 6 meses, à taxa de 3,5% ao mês. R: 7,375,53 Exercícios: 36) Um trabalhador resolveu aplicar R$.000,00 em uma operação de crédito no banco em que tem conta. Orientado pelo gerente, fez um investimento por um ano. A instituição pagará juros de 1% ao mês, sob o regime de juros compostos. A data do depósito é a chamada data-base da operação. A partir da data-base, o trabalhador não efetuará nenhum depósito. Calcule o saldo dessa conta após: a) um mês R: R$.00,00 b) dois meses R: R$.040,0 c) seis meses R: R$.13,04 d) um ano R: R$.53,65 37) Em um mês cuja inflação foi de 1,5%, Carlota investiu seu capital a juros compostos de 3% ao mês. Responda e justifique: a) podemos afirmar que o poder de compra de Carlota aumentou 3%? b) como podemos medir o aumento do poder de compra de Carlota? 38) Determine o montante a ser pago por José ao contrair um empréstimo de R$10.000,00, durante três meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. R: R$13.310,00 39) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$00,00 mais uma parcela de R$450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho é de R$600,00, qual foi a taxa mensal de juros simples do financiamento? R: 6,5% ao mês 40) Um capital de R$1.500,00 foi aplicado numa caderneta de poupança, que rende juro composto de 1,% ao mês. Qual o saldo (montante) dessa caderneta de poupança após 6 meses de aplicação, sabendo-se que durante esse período, não houve nenhuma outra movimentação na conta? R: R$1.611,9 41) Noemi tem duas opções de pagamento na compra de um notebook de boa qualidade: a) 4 prestações mensais de R$1.500,00; b) 9 prestações mensais de R$700,00. Nos dois casos, a primeira prestação é paga no momento da compra. Sabendo que Noemi consegue fazer seu dinheiro render 3% ao mês, qual a melhor opção para ela? 4) Marta foi a uma loja comprar um computador cujo preço à vista era R$1.950,00. Como todo o seu dinheiro estava aplicado numa caderneta de poupança, o dono da loja faz a seguinte proposta: ela levaria hoje o computador e pagaria somente daqui a 3 meses, com um pequeno acréscimo de R$180,00. a) qual a taxa de juro mensal que a loja está cobrando? R:,98% ao mês 1
b) considerando que a poupança está pagando juros de 0,7% ao mês, qual é a melhor alternativa para Marta: pagar o computador daqui a três meses, com acréscimo, ou, retirar R$1.950,00 da poupança e pagar o preço à vista? R: pagar à vista 43) Na hora de pagar uma compra no valor de R$400,00, Rogério descobriu que a loja oferecia duas opções de pagamento: a) comprar a vista com 4% de desconto; b) comprar em quatro vezes sem entrada (0 + 4). Qual é a melhor opção para Rogério, do ponto de vista financeiro, considerando que ele pode conseguir juros de,5% ao mês se deixar o dinheiro no banco? 3. SISTEMAS LINEARES Considere o seguinte problema: Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 5 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 5 (total de arremessos certo) x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) Essas equações contêm um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave. O par ordenado (0, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. 3.1- Resolução de Sistemas A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Estudaremos a seguir alguns métodos: Método de substituição Solução: determinamos o valor de x na 1ª equação. x = 4 y Substituímos esse valor na ª equação.. (4 y) 3y = 3 Resolvemos a equação formada. 5y = 5 => Multiplicamos por 1 5y = 5 y = 1 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. x + 1 = 4 x = 4 1 x = 3 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). V = {(3, 1)} Método da adição Observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 13
Resolva o sistema abaixo: Solução Adicionamos membro a membro as equações: x = 16 x = 8 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 8 + y = 10 y = 10 8 y = A solução do sistema é o par ordenado (8, ) V = {(8, )} Exercícios 44) Resolva os sistemas abaixo: x + y = 1 a) R: x = e y = 1 b) x + y = 3 x 3y = 14 x + y = 7 R: x = 1 e y = 5 45) Em um restaurante há 1 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas; outras por apenas, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas pessoas? R: 5 mesas 46) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um videocassete e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o videocassete custam juntos R$100,00: o videocassete e o aparelho de som custam juntos R$1100,00; o televisor e o aparelho de som custam juntos R$1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados? R: R$1.900,00 47) Quantos coelhos e galinhas há num viveiro se são 9 cabeças e 4 pernas? R: 3 coelhos e 6 galinhas. 48) Um copo cheio de água pesa 530 gramas. Após ser retirada metade da água, o peso passa a ser de 355 gramas. Determine quanto pesa o copo. R: 180 gramas 49) Se um comerciante misturar Kg de café do tipo I com 3 Kg de café do tipo II, obterá um tipo de café cujo preço é R$4,80 0 quilograma. Mas se misturar 3 Kg de café do tipo I com Kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$5,0 o Kg. Determine os preços do Kg de café de cada mistura. R: R$1,0 e R$0,80, respectivamente. 3.- Sistemas escalonados Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: 14
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n) Exemplo 1: 1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1º equação com a º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1: Trocamos a º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -, com a º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação: º passo: Anulamos os coeficientes da º incógnita a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação: Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. z = 6 z = 3 Substituindo z = 3 em (II): 7y 3(3) = 7y 9 = y = 1 Substituindo z = 3 e y = 1 em (I): x + ( 1) + 3 = 3 x = Então, x =, y = 1 e z = 3 3.3- Classificação de um sistema quanto ao número de soluções Resolvendo o sistema, encontramos uma única solução: o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). No caso do sistema, verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). 15
Para, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução). Exercícios 50) Resolva os sistemas lineares abaixo: x y + z = a) y z = 3 R: (1/, 4, 5) b) z = 5 x + y = 5 x 6y = 0 R: (3, 1) 51) Resolva o sistema linear usando escalonamento x + y + z = 7 3x 4y z = 8 4x + 8y + 3z = 5 R: (3, -1, 5) 5) Escalone e resolva o sistema x + y z = 3 3x y + z = 5 x + 3y z = 7 R: (, 1, 0) x + 3y z = 1 53) Resolva o sistema 4y + 5z = 19 R: (, 1, 3) z = 6 54) Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro, com 3 g cada; de prata, com 5 g cada; e de bronze com 7 g cada, ao preço unitário de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 5,00, respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87 g, determine o número de medalhas de ouro confeccionadas. R: ouros, 8 bronzes, 5 pratas 55) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 00 pessoas, entre sócios e não-sócios. No total o valor arrecadado foi R$1.400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. O não-sócio pagou R$10,00 e o sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não-sócios que estavam presentes. R: 10 sócios e 80 não sócios 4- CONJUNTOS 4.1- Notação Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: - conjunto dos estados da região Sudeste: S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito Santo} - conjunto dos números primos: B = {, 3, 5, 7, 11, 13,...} Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for dizemos que a pertence e escrevemos a A. Caso contrário, dizemos que a não pertence a A e escrevemos a A. Nos exemplos acima temos: Minas Gerais S e Paraná S. Propriedades, condições e conjuntos Consideremos a propriedade p: 16
p: x é um número natural ímpar. Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9,...} Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x I. Consideremos agora a condição c: c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x 4 = 0. Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A = {, }. Nesse casão, também é indiferente dizer que x possui a propriedade c ou que x A. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo: Se A = {conjuntos dos números pares} e B = {0,, 4, 6, 8, 10, 1,...}, então A = B. Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A B. Conjunto vazio, unitário e universo Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação é φ. Ele também pode ser representado por { }. Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento. Por exemplo: {números naturais pares e primos} = {}, pois o único número natural par e primo é o. Um conjunto importante é o conjunto universo, cuja notação é U. É o conjunto formado de todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o universo U, todos os elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U. Subconjuntos e a relação de inclusão Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indicamos esse fato por A B B. A Se A não for subconjunto de B, escrevemos A B. Exemplo: Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números naturais, temos: P = {0,, 4, 6, 8 10,...} e N = {0, 1,, 3, 4, 5, 6,...} Neste caso P N, pois todos os elementos de P pertencem a N. 4.- Relações entre conjuntos Relação de inclusão A relação A B chama-se relação de inclusão. São casos particulares de inclusão: a) A A, pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A. b) φ A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitíssemos que φ A, teríamos um elemento x tal que x φ e x φ. Mas x φ é impossível. Logo, φ A. Complementar de um conjunto: Dado o universo U = (0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A = {1, 3, 5, 7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0,, 4, 6, 8, 9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. De um modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A; indica-se C ou A C ou A. A U Logo, A C = { x x U e x A} Propriedades: U 17
1ª) (A C ) C = A para todo A U (o complementar do complementar de um conjunto A é o próprio conjunto A). ª) Se A B então B C A C (se um conjunto está contido em outro, seu complementar contém o complementar desse outro). Exercícios 56) Escreva o conjunto expresso pela propriedade: a) x é um número natural par; b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31; c) x é um quadrilátero que possui quatro ângulos retos 57) Escreva uma propriedade que define o conjunto: a) {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b) {0,, 4, 6}. 58) Escreva uma condição que define o conjunto: a) {-3, 3}; b) {5} 59) Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário considerando o universo dos números naturais: a) A = { x x é menor do que 1} b) B = { x x é natural maior que 10 e menor do que 11} c) C = { x x é par maior do que 3 e menor do que 5} 60) Dados os conjuntos A = {1, }, B = {1,, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = { 0, 1,, 3, 4, 5, }, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) A B e) C A i) B A b) C A f) A D j) D A c) B D g) B C k) φ A d) D B h) B B l) C D 61) Considere que: A é o conjunto dos naturais ímpares menores do que 10; B é o conjunto dos dez primeiros números naturais; C é o conjunto dos primeiros números primos menores do que 9; Use os símbolos ou e relacione esse conjuntos na ordem dada: a) A e B b) C e A c) C e B d) A e C. 4.3- Operações com conjuntos Diferença Dados os conjuntos A = {0, 1,, 3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B. Assim C = {0,, 3, 6, 8}. O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A B (lê-se: A menos B). De modo geral, escrevemos: A B = { x x A e x B} Observação: Se B A, a diferença A B é também chamada de complementar de B em relação a A e é indicado por C B A. Por exemplo, se A = {0,, 4, 6, 8} e B = {4, 8}, então A B = {0,, 6} = C B A. Intersecção Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b}, podemos escrever que o conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim, C = {a, e, u}. O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A I B (lê-se: A intersecção B, ou, simplesmente, A inter B). De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a intersecção AI B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B: AI B = {x x A e x B} 18
Por exemplo, se A = {, 4, 6} e B = {, 3, 4, 5}, então AI B = {, 4}. Observações: 1ª) x A I B quando as duas afirmações, x A e x B, são simultaneamente verdadeiras. ª) Se AI B = φ, então os conjuntos A e B são chamados disjuntos. Reunião ou união Dados os conjuntos A = {0, 10, 0, 30, 50} e B = {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C = {0, 10, 0, 30, 40, 50, 60} é chamado reunião ou união de A e B e é indicado por A U B (lêse: A reunião B ou A união B). AU B = {x x A ou x B} Observação: Este ou da reunião não é o ou de exclusão da linguagem usual vamos ao cinema ou ao teatro. Ele significa: se x AU B, então x A ou x B ou x pertence a ambos, isto é, x A U B quando pelo menos uma das afirmações, x A ou x B, é verdadeira. Número de elementos da união Consideramos A o conjunto dos números ímpares de 0 a 10, e B o conjunto dos números primos de 0 a 10. Então, se n(a) representa o número de elementos de A, temos: A = {1, 3, 5, 7, 9} n(a) = 5 B = {, 3, 5, 7} n(b) = 4 AI B = {3, 5, 7} B n(ai B) = 3 AU B = {1,, 3, 5, 7, 9} n(au B) = 6 Observe que n(au B) n(a) + n(b), pois há três elementos comuns a ambos os conjuntos [n(ai B) = 3]. Assim: n(au B) = n(a) + n(b) n(ai B) 6 = 5 + 4 3 É possível provar que, de modo geral, quando A e B são conjuntos finitos, tem-se: n(au B) = n(a) + n(b) n(ai B), quando AI B φ. No caso particular de AI B = φ, temos: n(au B) = n(a) + n(b), pois n(ai B) = 0. Exercícios 6) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g} e B = {b, d, g, h, i}, determine: a) A B b) B A 63) Dados os conjuntos A = {x x é natural ímpar menor do que 10}, B = {x x é par entre 3 e 11} e C = {x x é um número natural menor do que 5}, determine: a) AU B b) AU C c) AI C d) AI B e) (AU B) I C f) (AI C) U B 64) Dados os conjuntos A = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {, 4, 5, 6, 9} e C {0, 3, 6, 9, 10}, determine: a) AU B b) AI B c) (AI C) U B d) (AU B) I B 65) Dados os conjuntos A = {3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7} e H = {4, 6}, determine: a) C H A b) (AI B) U H c) (A B) U (B A) d) (BU H) A 66) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique: a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então AU B tem 7 elementos. b) Se A tem elementos e B tem 3 elementos, então AI B tem elementos. c) Se AI B = φ, A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então AU B tem 9 elementos. 19
4.4- Aplicações A seguir veremos aplicações das operações vistas anteriormente. Exemplos: 1) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: Gosta de música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 5 responderam sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados? Solução: A: conjunto dos que gostam de música n(a) = 90 B: conjunto dos que gostam de esportes n(b) = 70 AI B: conjunto dos que gostam de ambos n(ai B) = 5 A (AI B): conjunto dos que só gostam de música 90 5 = 65 B (AI B): conjunto dos que só gostam de esportes 70 5 = 45 Portanto, o número de entrevistados é: 65 + 5 +45 +40 = 175 ou n(au B) + 40 = n(a) + n(b) n(ai B) + 40 = 90 + 70 5 + 40 = 175 ) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 3 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e d vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? b) Quantas gostam somente de futebol? c) Quantas gostam só de basquete? d) Quantas gostam apenas de vôlei? e) E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei? f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos? Solução: Vamos considerar F o conjunto dos que gostam de futebol, B dos que gostam de basquete, e V dos que gostam de vôlei, e montar o diagrama com a distribuição das quantidades. Devemos começar sempre com a intersecção dos três, depois com a intersecção de dois e, finalmente, com os que gostam só de um esporte, sempre considerando os já contados. a) 50 (5 + 5 +3 + 4 +5 + +9) = 17 Dezessete pessoas não gostam de nenhum desses esportes. b) Nove pessoas só gostam de futebol. c) Cinco pessoas só gostam de basquete. d) Duas pessoas só gostam de vôlei. e) Vinte e seis pessoas não gostam nem de basquete nem de vôlei (9 que só gostam de futebol e 17 que não gostam de nenhum dos esportes). f) 9 + 5 +10 = 4 Vinte e quatro pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos. Observação: No caso de três conjuntos, A, B, C, pode-se provar que a fórmula que indica o número de elementos da união AU BU C é: n(au BU c) = n(a) + n(b) + n(c) n(ai B) n(ai c) n(bi C) + n(ai BI C) Assim: n(fu BU V) = 3 + 18 + 14 10 9-8 + 5 = 33 Exercícios 67) Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e C = {5, 6, 8}, calcule: a) C B A b) B C c) A B d) A B C 68) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Português, 10 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matérias. Pergunta-se: a) quantos alunos estudam apenas Português? b) quantos alunos estudam apenas Espanhol? c) quantos alunos estudam Português ou Espanhol? d) quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? 0
69) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 0 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas? 70) Analisando-se as carteiras de vacinação das 8 crianças de uma creche, verificou-se que 60 receberam vacina Sabin, 40 receberam vacina contra sarampo e 1 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? 71) Num grupo de 198 esportistas, 80 jogam vôlei, 40 jogam vôlei e basquete, 44 jogam basquete e futebol, 36 jogam vôlei e futebol e jogam as três modalidades. Se o número de pessoas que praticam basquete é igual ao número de pessoas que praticam futebol, determine o número de esportistas que jogam basquete ou futebol e não jogam vôlei. 7) Numa pesquisa sobre uma margarina, 110 entrevistados acharam que a margarina não era cremosa e 65 acharam que a margarina era muito salgada. Sabendo que foram entrevistados 150 pessoas e que nenhuma pessoa achou simultaneamente a margarina cremosa e pouco salgada, calcule o número de pessoas que acharam que a margarina não é cremosa e é muito salgada. 73) Foram entrevistadas cinquenta donas de casa sobre suas preferências em relação a duas marcas A e B de sabão em pó. Os resultados da pesquisa foram precisamente: 1 pessoas responderam que usam a marca A; dez pessoas responderam que usam a marca A e a marca B; cinco pessoas responderam que não usam nenhuma das duas marcas. De acordo com esses dados, quantas pessoas usam somente a marca B? 74) O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando o currículo de 47 candidatos, concluiu que apenas três dos candidatos nunca trabalharam em montagem ou pintura; e que precisamente 3 candidatos já trabalharam em montagem e 9 já trabalharam em pintura. Quantos desses candidatos já trabalharam nos dois setores? 75) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a responder se eram leitores de jornal ou revista. Concluiu-se exatamente que: 4 alunos lêem jornal; 30 alunos lêem revista; 5 alunos não lêem jornal nem revista. Quantos alunos lêem jornal e revista? 5- FUNÇÕES 5.1- A idéia de função no cotidiano: São muitas as situações do cotidiano em que relacionamos grandezas. Vejamos algumas. a) Considere que em uma padaria o preço do pão francês é R$0,5. Podemos calcular o valor a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade de pães comprada com o preço correspondente a essa quantidade. Veja a tabela: quantidade de pães 1 3 5 10 n preço (R$) 0,5 0,50 0,75 1,5,50 Para obter o preço a pagar multiplicamos a quantidade de pães por R$0,5. Assim, dizemos que o preço é função da quantidade de pães. De modo geral: Dada as variáveis x e y, se a cada valor atribuído a x associa-se um único y, dizemos que y é função de x. A definição matemática de função Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que f é uma função de A em B (ou que y é uma função de x) se e somente se, para cada elemento x de A, existe em correspondência um único elemento y de 1 B. Notação: f: A B
É importante observar que: - A notação f: A B (lê-se função f de A em B ) indica que a função f leva A para B, ou que f é uma aplicação de A em B, ou ainda, que f é uma transformação de A em B. - Se y está definido em função de x, chamamos de x variável independente e y de variável dependente. - Escreve-se f(x) ou simplesmente y para indicar o valor que a função f assume em x..x. y=f(x) A B A função f transforma x A em y B. Exercícios 76) Tarifa: Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$5,00 a bandeirada mais R$1,0 por quilômetro rodado. a) pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? Em caso positivo, quais seriam as variáveis (dependente e independente) dessa função? b) qual lei matemática definiria essa função? 77) distância: com o auxílio de um cronômetro, marcando-se o tempo em hora, verificam-se as distâncias percorridas por um móvel. Essas distâncias, percorridas em determinados tempos, foram registradas na tabela a seguir: tempo (h) 0, 0,4 0,8 1,6 X Distância (km) 10 0 40 80 100 50x a) indicar as variáveis (dependente e independente) relacionadas nessa situação. b) expressar a lei matemática que relaciona a distância percorrida com o tempo. c) calcular a distância quando o tempo é igual a,8 h. d) calcular o tempo quando a distância é 330 km. 5.- Função polinomial do 1º grau ou Afim Uma função polinomial f:r R chama-se função afim quando existem números reais a e b, tal que f (x) = ax + b, para todo x R. Uma função f:r R chama-se função constante se é definida por f (x) = b, com b R, para todo x do domínio. Exercício Resolvido: Verificou-se que a temperatura máxima atingida em um dia do verão inglês foi de 86º F. Que temperatura era essa na escala Celsius? Esse problema pede que trabalhemos com duas escalas termométricas. Como podemos observar, 0º C corresponde a 3º F e 100º C correspondem a 1º F. Sejam TC, a temperatura na escala Celsius e TF a temperatura na escala Fahrenheit. Vamos construir uma proporção relacionando as duas escalas: T c 0 T = F 3 100( T T C = F 3) 100 0 1 3 180 5( T 3) T C = F 5 160 T c = T F (lei de formação da função) 9 9 9 Para T F = 86, temos T c = 30. Portanto, 86º F correspondem a 30º C. Análise do gráfico: Já vimos que zeros de uma função f são os mesmos números reais x para os quais f(x) = 0. Dessa maneira, o zero da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b é a raiz da equação do 1º grau ax + b = 0.
Para calcular o zero, fazemos: f(x) = 0 No gráfico, o zero de uma função polinomial do 1º grau é abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x. Exemplo: Vamos determinar o zero da função f(x) = x 4/3 e o ponto onde a reta intercepta o eixo x. Para isso vamos resolver a equação: x 4/3 = 0 x = 4/3 (zero da função) Logo o gráfico da função intercepta o eixo x no ponto: (4/3, 0). Crescimento e decrescimento de uma função: Uma função polinomial do 1º grau pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular da reta correspondente. Função crescente ( a > 0) Função decrescente (a < 0) Exercícios 78) Em certa cidade, a assinatura residencial de uma linha telefônica custa R$34,50, o que inclui a cobrança dos 100 primeiros pulsos utilizados. Além disso, o consumidor paga R$ 0,08 por cada pulso que exceder os 100 primeiros. a) Quanto o consumidor pagaria pela sua conta, utilizando 8 pulsos em um mês? E se utilizasse 300 pulsos? b) Um consumidor pagou R$ 53,00 pela sua conta telefônica. Quantos pulsos esse consumidor utilizou? c) Escreva a lei de formação da função que representa essa situação. d) Se em uma residência há três linhas telefônicas, qual é o valor mínimo gasto com telefone, em um mês? 79) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função linear de x, com x 0, cujo gráfico está representado abaixo: C(x) 50 400 0 8 x (litros) Nessas condições, o custo C de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 80) Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa numa velocidade média de 660 Km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 75 Km/h. Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista? 3
81) Em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos representados pelos pares ordenados. a) A (1, 1) b) B ( 3, 5) c) C (, 7) d) D (5/, 7/4) e) E (0, 0) f) F (4, 5) g) G (8, 5) h) H (3/, 5/4) 8) Construa os gráficos das funções polinomiais do 1º grau abaixo, indicando os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. a) f(x) = x + 1 b) g(x) = x 83) Classifique como crescente ou decrescente as funções a seguir: a) f(x) = 5x + b) h(x) = 3 + x/ c) g(x) = x ¾ 84) Na época do Natal, a loja A oferece aos funcionários temporários um salário fixo de R$40,00, mais uma comissão de % sobre o total vendido; já a loja B não oferece salário fixo, mais paga 5% de comissão sobre o total vendido. a) Para um total de vendas de R$.000,00, qual é o salário recebido na loja A? E na loja B? b) Escreva a lei de formação das funções correspondentes ao salário recebido em cada uma das lojas pelo total de vendas. c) A partir de que valor de vendas é mais vantajoso trabalhar na loja B? 5.3- Função polinomial do º grau ou função Quadrática Uma função f: R R é chamada de função polinomial do º grau ou função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tal que f(x) = ax + bx + c, para todo x R. Os zeros da função também são valores importantes para a parábola. Já vimos que os zeros de uma função f são os números reais x para os quais temos f(x) = 0, ou seja, os zeros da função quadrática f(x) = ax + bx + c são as raízes reais da equação do º grau ax + bx + c = 0. Para determinar essas raízes, podemos utilizar a fórmula que você já conhece: b + x=, em que = b 4ac a No gráfico, os zeros de uma função quadrática são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x. Exercícios 85) Determine os zeros reais da função f (x) = x 4 3x 4 86) Determine os valores de m para que a função quadrática f (x) = (m 1)x + (m + 3)x+m tenha dois zeros reais e distintos. 87) Na função f(x) = x x + 1, determine: a) f(0) b) f() c) f( 3) d) f( ) 88) Sendo f(x) = x 7x + 3 uma função de R em R, determine x de modo que se tenha: a) f(x) = 0 b) f(x) = 1 89) Esboce os gráficos das funções abaixo e dê o conjunto imagem: a) y = x x + 4 b) y = x + 4x + 1 90) Os zeros da função f(x) = x + bx + c são 4 e 8. Calcule os valores de b e c. 91) A parábola de equação y = x + bx + c, passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Determine v. 9) Dentre todos os números x e y de soma 6, determine aquele cuja soma dos quadrados é mínima. 4