N O R M A, S.A.R.L. Sciedade de Estuds para Desenvlviment de Empresas A NVESTGAÇÃO OPERACONAL NA EMPRESA Dcument n.8 1 N D C E Capítul ESTUDO ELEMENTAR DE ALGUNS MODELOS E TÉCNCAS UTLZADAS UA NVESTGAÇÃO OPERACONAL (Cntinuaçã) Pág. 8. TEORA DOS JOGOS l 8.1. ENERALDADES 8.2. JOGOS FNTOS DE DUAS PESSOAS COiil SOMA NULA 8.3. JOGOS CONTRA A NATUREZA l 2 7
Capítul ESTUDO ELE llintar DE ALGUNS MODELOS E TECNCAS UTLZADAS NA NVESTGAÇÃO OPERACO'AL ( Cntinuaçã) 8. TEORA DOS JOGOS B.l. GENERALDADES As situações cncrrenciais caracterizam-se pel fact de dis u mais indivídus tmarem decisões em situações que envlvem cnflit de interesses. Ora na vida diária surgem numersas situações de cncrrência em dmínis cm ecnómic, scial, plític, militar, etc A teria ds jgs de estratégia u, simplesmente, teria ds jgs é ram das matemáticas que permite abrdar estud de tais situações. Vejams. Um é um cnjunt de regras que gverna cmprtament de dad númer de indivídus u grups de indivídus, denminads jgadres. Essas regras devem especificar: 1) as alternativas entre as quais s jgadres fazem a esclha em cada fase da partida (realizaçã d jg) ; 2) a infrmaçã dispnível para cada jgadr quand faz uma esclha; 3) pagament a cada jgadr depis de terminada uma partida. Entende-se pr estratégia de um jgadr a regra de decisã que ele utiliza para fazer a esclha entre as alternativas que se lhe ferecem. Há váris critéris para fazer a classificaçã ds jgs. Assim, atendend a númer de jgadres, há jgs de duas pessas, três, n pessas. Deve n entant ntar-se que, quand se fala num jg de n pessas, referim-ns nã necessàriamente às n pessas
-2- que nele participam mas sim a que s participantes se dividem em n grups de interesses psts. Num jg, terminada uma partida, faz-se, em geral, a transferência entre s jgadres das quantias previamente fixadas pelas regras d jg. nterpretam-se s ganhs e perdas de um jgadr cm pagaments que lhe sã feits, psitivs, n primeir cas,negativs, n segund. Os jgs dizem-se de sma nula u de sma nã nula ( u significativa), cnsante é nula u nã a sma algébrica ds pagaments. Também se classificam s jgs de acrd cm númer de alternativas que se ferecem a cada jgadr. Se sã em númer finit, jg diz-se finit; cm númer infinit de alternativas, jg diz-se infinit. 8.2. JOGOS FNTOS DE DUAS PESSOAS COM SOMA NULA Os jgs finits de duas pessas cm sma nula revestem-se da mair imprtância nã só prque s jgs de n pessas cm sma significativa se pdem reduzir a jgs de n + l pessas cm sma nula (através da intrduçã de um jgadr fictíci) mas também prque a teria ds jgs de n pessas cm sma nula se baseia na ds jgs d mesm tip entre duas pessas. Um jg finit cm duas pessas A e B fica perfeitamente caracterizad pr um par de matrizes. As linhas para cada matriz representam as alternativas que se ferecem a A _, as clunas representam as alternativas que se ferecem a B; s elements sã s crrespndentes pagaments a A, para uma matriz, e a B para a utra matriz. Num jg finit cm sma nula, element situad na linha i e cluna j da matriz ds pagaments de B é simétric d element hmólg da matriz ds pagaments de A:
-3- Matriz ds pagaents de A Matriz ds pagaments de B a ll a l2 ''' a :R.n a 21 a 22''' a 2n -a ll -a l2''' -a ln -a 21 -a 22''' -a 2n a ml a m2"" ' a mn -a ml -a m 2''' -a mn Na prática mite-se geralmente a matriz ds pagaments de B, Uma estratégia só pderá ser elabrada depis da esclha de um critéri que traduza a atitude d jgadr, Supnd que s jgadres A e B sã inteligentes e prudentes, jgadr A esclherá a linha na qual seu ganh mais pequen é máxim e jgadr B esclherá entre tdas as clunas aquela para a qual a sua mair perda é mínima. Pr utras palavras, dada a matriz! a..! ds pagaments de A, este jgadr esclhe! J_ J J a linha crrespndente a máx (min a ij ) i j i 1, 2,. m j l, 2 9 n e jgadr B a cluna crrespndente a r i 1, ' min ( máx a ij ) ), j i ) ( j 1, 2 9 m 2 9... n. Demnstra-se que, para tda a matriz ( ; ;a... i J ( ' é 1) min (máx a ij ) > máx (min j i i j a i )..Jt Quand J a ij / J é tal que 2) min ( máx a i máx (min j i ) i j a ij ) v
-4- diz-se que jg é estritamente determinad u pssui um pnt de equilíbri e a v dá-se nme de valr d jg. Cnsidere-se, pr exempl, a matriz de pagaments de A: J. 't..l,t -7] rlo l5 Os mínims das linhas sã -7 e l3 e s máxims das clunas sã l3 e l5. Prtant, máxim ds mínims das linhas (l3) é igual a mínim ds máxims das clunas (l3). Quer dizer que a atitude inteligente e prudente ds dis jgadres é cnvergente, send par ( 2,l) par de alternativas que cnduzem a maneira óptima de jgar. Dá-se nme de estratégia pura à decisã que cnsiste em esclher para tdas as partidas uma alternativa i0 (u j0). A estratégia pura pde identificar-se pel númer que representa a alternativa esclhida. N nss exempl, a estratégia pura óptima para A é i 2 e a estratégia pura óptima para B é j l. Uma matriz de pagaments pde pssuir váris pnts de equilíbri u nã pssuir nenhum. Pr exempl, para a matriz [ l -Y2] -Y2 tem-se máx (min a.. ) -lf2e i j J min j existe pnt de equilíbri. e prtant nã Ora quand a matriz de pagaments nã tem um pnt de equilíbri únic, cada um ds jgadres adpta uma estratégia mista u birrada que cnsiste em esclher para cada partida uma alternativa de acrd cm certa distribuiçã de prbabilidade. Pr exempl, um jgadr cm duas alternativas pssíveis pde lançar uma meda antes de cada partida para decidir qual das alternativas de-
-5- ve esclher. Uma e stratégia mista, para jgadr A. cm m pssíveis alternativas, é representada pel vectr X (x 1 x 2,. x m ) nde x i O representa a prbabilidade cm que cada alternativa i é esclhida. E clar que m X. 1 il J. Anàlgamente, uma estratégia mista para B é representada pel vectr cm e n -.,- L_ jl y. 1 J Quand A segue a estratégia X e B a estratégia Y, valr esperad ds pagaments feits pel segund jgadr a primeir é E(X,Y) >.. 2. a x. ij i y. Se para algum x* e algum y* se J. j J verifica a cndiçã 3) E (x, y*) < E(x*, y*) E(x*,y) quaisquer que sejam X e Y, entã X* e y* sã estratégias mist as p ' t J.mas. para A e B, respec t. J.Vamen t e; (x*, y*) e ' uma s 1 u- çã d jg e * v E(X, que satisfaz à cndiçã y*) 3) é seu valr. Um pnt chama-se pnt de sela de (x*, Y*) E(X, Y). A. primeira das desigualdades em de que B utilize a estratégia esperaa superlr e E(x*, y*), 3) mstra que jgadr A, desóptima Y *, nã cnseguirá um ganh a segunda das desigualdades 3) indica que, empregand A a estratégia X *, jgadr B pagará mens que en qualquar utra alternativa se utilizar a estratégia * y O terema fundamental da teria ds jgs exprime que E(X, Y) tem sempre pnt de sela e demnstra-se que a resluçã d jg, ist é, a determinaçã das estratégias mistas óptimas se btém re-
-6 - slvend sistema m z: a. X.., v il j.-'' m -,- X. l li n -,- a! ij y v jl j n ) y. l jl - - J (i l, 2, m) ( j l, 2, n) nde v (valr d jg0 é uma cnstante a determinar. N cas simples de uma matriz de pagaments de segunda rdem, demnstra-se que as estratégias óptimas (,x 2 ) e (y l ' y 2 ) sã determinadas pr e valr v d jg é Para a matriz de pagaments ; l l -Y2 -Y2 J
-7- vem x, 1 - x 2 3 u ) x l ' x + x.2_ 1 x i l 2 2 4 \ \_ 1 4 e 1 ( y, 1 ( y.l l 4 y 2 3 ) ) t'lu ' \ y l + y 2 1 y.2_ 2 4 v - 1f4 1 1 + 1 8 l 8. 3. JOGOS CONTRA A NATUREZA Este rápid resum da teria ds jgs permite-ns abrdar, embra de frma elementar, s principais aspects da teria da decisã. Quand uma pessa tem de tmar mna decisã, encntra-se em psiçã semelhante à de um jgadr; adversári pde prém ser um jgadr u a natureza. Neste segund cas, nã se pde admitir que a natureza tme autmàticamente estad mais desfavrável perante a entidade que tem de tmar uma decisã, cm se supôs na teria ds jgs, e assim critéri de decisã d máximin, que cnsiste em tmar máx (min a ij ), i j pde nã ser justificável. Um exempl: Um vendedr de jrnais vende um hebdmadári que ele cmpra à segunda-feira, devlvend s exemplares nã vendids na segunda -feira seguinte. Supnha-se que vendedr ganha $50 _:; c:.d< hebd; _,c.diri vendid, perde $30 em cada exempl.ar nã vvn<lid " ab qu nã vendrá mais de 50 em cada semana.
Admitams que s estads da natureza (prcuras) variam de 10 em lo e as cmpras serã também feitas de lo em lo. O quadr seguinte dá s ganhs d vendedr de jrnais para cada estad da natureza e cada decisã, E pis um jg cntra a natureza, Prcura lo 20 30 40 50 [ J lo -3 5 5 5 5 5 Cmpra 20-6 2 lo lo lo lo 30-9 -l 7 l5 l5 l5 40-12 -4 4 12 20 20 50-15 -7 l 9 17 25 Este jg pssui um pnt de equilíbri, a que crrespnde a decisã de vendedr nã anprar hebdmmáris. Mas vendedr de jrnais pre.cisa ele ganhar a viela e prtant tem ele se afastar desta sluçã, H cas ele um jg cntra a natureza há pis necessidade de adptar utrs critéris que permitam tmar uma decisã. a) Critéri de Laplace Se s diferentes estads da natureza têm prbabilidades descnhecidas, admite-se que estas sã iguais, Se jgadr esclhe a i-ésima linha, seu ganh esperad é O critéri cnsiste em esclher )] +. + a. n
-9- N exempl citad ter-se-ia Cmpra Ganh esperad lo 3,6 20 6 30 6,8 40 6,6 50 5 e prtant vendedr de jrnais tmaria a decisã de cmprar 30 hebdmatáris, b) Critéri de Hurwicz Definind númer ( (O ;:;. (/( ;;:: l) ptimism d jgadr e designand pr M i e m i, respectivamente, mair e menr element da linha que crrespnde a i-ésima linha esclhe-se a máx,- i L ',, M. + (l - c< ) m l O ptimista perfeit esclherá < l e pessimista perfeit tmará ( O. Neste últim cas tem-se critéri d máximin. N nss exempl, tmand r:{ 1(2, tem-se Cmpra c;(m. + (l-i) m. lo l 20 2 30 3 40 4 50 5
-loist é, vendedr cmpraria 50 hebdmadáris. c) Critéri de Savage Este critéri cnsiste em tmar a matriz das perdas cu-\\ js elements sã e esclher a linha que crrespnde a min (máx p ij ) :j. j i l, 2 9 m \ l j l, 2..n ist é, a linha para a qual a mair perdq_ é mínima. N nss exempl, btém-se a matriz das perdas ) p..? -3 5 lo 15 20 25 \ J ( -.J 5 lo 15 20 3 3 5 lo 15 6 6 3 5 lo 9 9 6 3 5 12 12 9 6 3 e tem-se min (máx p..) 9 e, prtant, vendedr dei j J ve esclher a linha 5, ist ó, deve cmprar 40 jrnais.