O PERT PROBABILÍSTICO.

8.1 Os tempos no PERT. 8 O PERT PROBABILÍSTICO. Como comentado anteriormente, a metodologia utilizada no estudo das redes tanto no método PERT como no CPM é a mesma. A diferença existente entre os dois métodos é quanto à abordagem adotada no estabelecimento do atributo tempo de cada atividade. Sob a abordagem do CPM, admite-se que a estimativa de duração de qualquer atividade seja efetuada por experiência. Ou seja, de modo determinístico. Há o entendimento de que, ao se planejar programas cujas atividades apresentem duração bem conhecida ou dominada, a estimativa baseada em experiência pode ser adotada, sem causar expressivo erro de avaliação quanto à duração total do projeto. No método do PERT, admite-se ser difícil estimar, com precisão aceitável, a duração de uma atividade, mormente quando o projeto é composto por um conjunto de serviços tecnologicamente não dominados ou inusitados. Visando contornar tal limitação, a metodologia do PERT considera que o atributo tempo possa ocorrer sob diversas possibilidades de duração. Em decorrência desse fato é possível deduzir a probabilidade do tempo de ocorrência de cada evento integrante de uma rede, a partir da definição da estimativa de duração de cada atividade. Assim sendo, o atributo tempo das atividades de uma rede, dos respectivos eventos e a duração total de um programa pode ser definido de forma probabilística, fato que permite estimar probabilisticamente e definir percentualmente a duração total de um programa. 8. O Método da função BETA. A função Beta permite, com facilidade, estimar o atributo tempo de qualquer alternativa ao utilizar três estimativas visando a determinação do seu tempo de duração. 8..1 - As estimativas de tempo. O método em questão estabelece a definição de três estimativas para a duração de cada atividade, nomeadas de duração otimista; mais provável e pessimista, a saber: a) Estimativa Otimista é definida como o tempo de menor duração, considerando uma combinação de recursos de forma favorável. Isto é, não ocorrerá falta e em condições favoráveis, dos PlnjArq~aula8~PRBLT 133

recursos de pessoal, mão de obra, insumos e equipamentos. No método a ser apresentado, essa alternativa é notada a. b) Estimativa Mais Provável é definida como o tempo mais provável de ocorrer a execução da alternativa, pois baseado em condições consideradas normais. No método em pauta essa alternativa é notada m. c) Estimativa Pessimista é definida como a estimativa de tempo de maior duração, dado a possível ocorrência de uma conjugação de acontecimentos desfavoráveis para a execução da atividade. No presente caso essa alternativa é notado b. O estabelecimento dos tempos acima definidos pode ser efetuado por um grupo de especialistas no assunto ou, em havendo a disponibilidade de dados relativos a serviços similares, empregada a própria experiência acumulada. 8.. Hipóteses. Para passar das três alternativas, a; m; b, para a estimativa de tempo esperado e a definição da variância, são adotadas duas hipóteses: 1ª Hipótese: O desvio padrão,, deve ser igual a um sexto (1/6) do intervalo da variação da variável aleatória. Isto porque, a partir do intervalo de 3, a própria Distribuição Normal apresenta distorções. ª Hipótese: Para que a distribuição de probabilidade seja uma distribuição Beta, deve-se ter: m = o valor da moda, estatisticamente falando; a = limite inferior da distribuição; b = limite superior da distribuição. t e = tempo esperado de cada atividade. 8..3 A Função Beta. Considerando ser o tempo total de um programa definido pelo caminho crítico, somente são consideradas no calculo da estimativa de duração do mesmo os tempos das atividades dele integrantes. Deste modo, são calculadas as variâncias e desvios padrão, apenas, das atividades integrantes do caminho crítico, pois ocorrendo atraso em qualquer delas, decorre em atraso no evento final. Associando a cada uma das durações das atividades uma função de variável aleatória estatisticamente independente, cujas somas sigam uma distribuição normal de probabilidade, é possível caracterizar uma função de probabilidade denominada de função BETA. Então, associando a cada t ek VE ( t ek ) t ea t eb... t ek Fig. 9.1 Tempos Esperados = t e (k) PlnjArq~aula8~PRBLT 134

Da teoria da probabilidade sabe-se que: a) O Valor Esperado, VE, de uma soma de variáveis aleatórias estatisticamente independentes é igual à soma dos Valores Esperados das variáveis. VE ( t ea + t eb + L+ t ek ) = VE( t ea ) + VE( t eb ) + L + VE ( t ek ) b) A Variância de uma soma de variáveis aleatórias estatisticamente independentes é igual à soma das variâncias dessas variáveis. ( A+ B+ L + k) = A + B + L+ k A função Beta permite definir o Tempo Médio Estimado de cada atividade, a variância e o desvio padrão segundo o modelo: Considerando uma distribuição normal de probabilidade, a probabilidade de um evento ocorrer dentro de um Tempo Esperado é obtida utilizando a área sob a curva de distribuição normal. Do desenho abaixo, t e corresponde ao tempo médio estimado de ocorrência de um evento. Isto é, o tempo calculado conforme o item c, acima. O objetivo, então, é conhecer a probabilidade de ocorrência de um evento a ocorrer dentro do tempo Ts. Para tanto, é utilizada uma tabela que forneça a área sob a curva normal, área esta que expressa a probabilidade desejada. Considerando o desenho, a área a ser determinada e que expressa porcentagem é aquela definida como S 1. c) Tempo Médio Estimado: a + 4m + b t e (k) = 6 d) A Variância S e) O Desvio Padrão - s(k) = K = b a = 6 b a s(k) = 6 f) Probabilidade da Ocorrência de um Evento. Exprimindo a distância (Ts-te) em relação ao desvio padrão, obté-se a variável z, denominada de variável padronizada. PlnjArq~aula8~PRBLT 135 0,5 S 1 t e =0 Ts z Fig.9. Área sob a curva normal. Tempo(z)

Então: Ts z = Calculado o valor de z e disponível uma tabela que apresenta a área sob a curva normal, obtém-se o valor de probabilidade, representado graficamente pela área S 1. Ver na ultima página desate Capítulo a Tab.5.4 Área sob a Curva Normal (%). A probabilidade de ocorrer um evento dentro do tempo Ts é dada por: T e P ( z Ts ) = 0,5 + S 1 8.3 - Comentários sobre a Função Beta. A adequação da função Beta para o calculo das probabilidades considerando a adoção de três possíveis alternativas para o atributo tempo é justificada dado as suas seguintes características: º - É possível que a curva seja assimétrica para ambos o lado da média, situação comum em projetos de engenharia quando se efetuam varias estimativas de tempo; 8.3. Precisão das Informações. O parâmetro estatístico que define a precisão da informação sobre o atributo tempo é dado pela variância da variável aleatória - s. Assim: 1º - Quanto maior for a variância, maior a dispersão dos dados e, conseqüentemente, menor a precisão das informações; º - Quanto menor for a variância, menor é a dispersão dos dados, em decorrência de haverá maior a precisão das informações. MODA MODA 8.3.1 Forma da Curva. 1º - Sendo os extremos perfeitamente definidos e, conseqüentemente, não sendo assintótica ao eixo das abscissas ou dos tempos, fica perfeitamente caracterizado o intervalo de variação da função; a t e b a t e b PlnjArq~aula8~PRBLT 136

MODA MODA 0,5 K 1 t e = 500 Ts=515 dias a t e b a t e b Variância - s Quanto Maior Quanto Menor Segurança Maior Dispersão dos Dados; Menor precisão nas informações. Menor Dispersão dos Dados; Maior precisão nas informações. Sendo, z = 0,94, da tabela tem-se: K 1 = 0,364 P ( t = 515 ) = 0,5 + K 1 P ( t = 515 ) = 0,5 + 0,364 P( t = 515 ) = 0,864 ou, P( t = 515 ) = 8,64% 8.4 Exemplo de Cálculo de Probabilidade. 8.5 O Método do PERT. Dado o evento final de um programa cujo tempo mais cedo de fim foi calculado em 500 dias, estabelecer qual a probabilidade de que ele ocorra antes de 515 dias? É conhecida a variância do evento s = 56. z = Ts T e 515 500 = = 56 15 16 = 0, 94 A aplicação do método PERT segue a seguinte marcha: 1º Passo Estimar os três possíveis tempos de execução para cada atividades. a = tempo otimista ou de menor duração; b = tempo pessimista ou de maior duração; m = tempo mais provável de ocorrer ou moda. PlnjArq~aula8~PRBLT 137

º Passo - Calcular o Tempo Médio Esperado e a Variância de cada Atividade. O estabelecimento da probabilidade de conclusão de um projeto dentro de espaço de tempo pré-determinado, é função da variância conexa ao tempo total do programa. Para tanto, calcula-se a variância de cada nó (evento) integrante do Caminho Critico, após ter sido obtida a variância das atividades dele integrantes. Deste modo, a variância correlacionada ao tempo total de duração de um projeto é equivalente à soma das variâncias das atividades componentes do caminho crítico. s = Σ REDE s k caminhocritico a + 4m + b t e (k) = 6 s = Σ REDE s k caminhocritico Volta-se a ressaltar que o calculo da variância da rede deve ser efetuada utilizando as variâncias das atividades integrantes do caminho crítico, pois ocorrendo atraso em qualquer delas, decorre em atraso no evento final. 5º Passo Calcular a Probabilidade de Ocorrência do Evento Final. Ts z = Tendo z e dispondo de uma tabela que forneça a área sob a Curva Normal, obtêm-se k 1, coeficiente que estabelece a probabilidade de ocorrência ou de cumprimento do projeto dentro do tempo desejado, T s. T e s(k) = = b a 6 3º Passo - Determinação do Caminho Crítico. Nesta etapa, definir os TCI e TTI de cada evento da rede, considerando os tempos estimados das atividades, t e (k). 4º Passo - Calcular a Variância dos Nós e da Rede. PlnjArq~aula8~PRBLT 138

8.6 Exemplo de Aplicação. Dado o projeto abaixo, representado pelo conjunto de suas atividades, calcular a probabilidade dos serviços serem executados num prazo inferior a 100 dias. Para tanto, preencher e indicar os valores dos tempos e da variância correlacionados a cada nó da figura indicada. Atividade Evento a Estimativas m b t e s A 0-1 8 10 14 10,33 1 B 0-14 0 6 0 4 A 1-0 0 0 0 0 C -3 16 0 19,67 1 D -4 4 30 36 30 4 E 3-4 8 36 46 36,33 9 F 4-5 18,5 0 1,5 0 0,5 1 3 A A C E o 4 5 B D F º Passo Calcular a Média e a Variância das Atividades. 8 + 4 10 + 14 t e (A) = = 10, 33dias 6 b a 14 8 6 s(a) = ( ) = ( ) = ( ) = 1 6 6 6 1º Passo Cálculo do Tempo Esperado 3º Passo - Determinação do Caminho Crítico. PlnjArq~aula8~PRBLT 133

Nó t e(k) s (k) 0 0 0 1 10,33 1 0 4 =0+4 3 39,67 5 =4+1 4 76 14 =9+5 5 96 14,5 =14+0,5 Obs: é mais crítica a tarefa que apresentar a maior variância. Nó Tempo Mais Cedo Tempo Mais Tarde 0 0 0 1 10,33 0 0 0 3 39,67 39,67 4 76 76 5 96 96 4º Passo Calcular a Variância dos Nós e da Rede. 5º Passo Calculo da Probabilidade. 0,5 O,3554 t e = 96 Ts=100 dias Neste caso, adota-se o tempo mais cedo das atividades integrantes do Caminho Crítico. ( A+ B+ L + F) = A + B + L + F z = Ts t e REDE 100 96 = 14, 5 = 4 3, 77 = 106, PlnjArq~aula8~PRBLT 134

Sendo, z = 1,06, da tabela obtém-se K 1 = 0,3554, que corresponde a área da curva de probabilidade entre os valores 96 e 100 dias. Então: P (z < 100) = 0,5 + 0,3554 = 0,8554 ou, P (z < 100) = 85,54% 8.7 Exercício. a) Probabilidade de Ocorrência. Partindo do problema anterior, item 7.5, determinar o tempo total de execução para que ele ocorra com uma probabilidade de cumprimento de 90%. P(rede) = 90% P ( 0,50 + 0,40 ) Considerando que K 1 = 0,40, da tabela obtém-se: z = 1,8. Ts T Sendo: z = e Ts 96 Então, 18, = Ts 100 dias 3, 77 Logo, o tempo estimado para executar o referido projeto considerando uma probabilidade de êxito de 90% é de 100 dias. - A probabilidade de o programa ser executado com 90% de certeza. Atividade Dependência Previsão Previsão Mais Previsão Otimista Provável Pessimista A --- 1 15 0 B --- 16 18 19 C A 3 5 7 D B 7 10 1 E A 5 6 8 F B 5 8 1 G C,D 8 1 14 Atividade TCI Variância Desvio A B C D E F G Variância da Rede Para o calculo da variância da rede só considerar atividades integrantes do caminho critico. b) Dado o projeto representado pelo seu rol de atividades, definir: - Projeto da rede; - Caminho Critico; - A duração total do programa; PlnjArq~aula8~PRBLT 135

PlnjArq~aula8~PRBLT 136

c) Dado o projeto representado por suas atividades, informar: O tempo de execução para ser realizado com uma confiabilidade de 90%; A probabilidade de que seja realizado em 47 tempos. PlnjArq~aula8~PRBLT 137

Eng.º Civil Antonio Victorino Avila, MSc. Planejamento Atividade Dependência Tempo Otimista Tempo Médio Tempo Pessimista A - 3 4 5 B - 3 3 6 C - 4 6 D A 5 6 7 E B 7 8 9 F C 6 7 8 G D;B 1 3 3 H E 3 4 5 I I 1 3 5 J F;B 5 5 5 K G;H 8 10 11 L E 8 10 1 M I;J 9 10 11 N K 6 8 10 P M 7 7 10 R N;P;L 8 9 10 Tempo Estimado s²(k) s(k) Obs: para o calculo da variância da rede, somente considerar atividades integrantes do caminho critico. PlnjArq~aula8~PRBLT 138

Eng.º Civil Antonio Victorino Avila, MSc. Planejamento z 0.00 0.01 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.010 0.0160 0.0199 0.039 0.079 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0. 0.0793 0.083 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.106 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.117 0.155 0.193 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.168 0.1664 0.1700 0.1736 0.177 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.019 0.054 0.088 0.13 0.157 0.190 0.4 0.6 0.57 0.91 0.34 0.357 0.389 0.4 0.454 0.486 0.517 0.549 0.7 0.580 0.611 0.64 0.673 0.704 0.734 0.764 0.794 0.83 0.85 0.8 0.881 0.910 0.939 0.967 0.995 0.303 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.31 0.338 0.364 0.389 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.361 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.379 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1. 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.395 0.3944 0.396 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.403 0.4049 0.4066 0.408 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.416 0.4177 1.4 0.419 0.407 0.4 0.436 0.451 0.465 0.479 0.49 0.4306 0.4319 1.5 0.433 0.4345 0.4357 0.4370 0.438 0.4394 0.4406 0.4418 0.449 0.4441 1.6 0.445 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.455 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.458 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.465 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.476 0.473 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767.0 0.477 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.481 0.4817.1 0.481 0.486 0.4830 0.4834 0.4838 0.484 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857. 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916.4 0.4918 0.490 0.49 0.495 0.497 0.499 0.4931 0.493 0.4934 0.4936.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.495.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.496 0.4963 0.4964.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.497 0.4973 0.4974.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981.9 0.4981 0.498 0.498 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 Tab.5.4 Área sob a Curva Normal (%) PlnjArq~aula8~PRBLT 139