Aplicação do Capítulo VI à Classificação de Cónicas e Quádricas ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 1 / 1
A diagonalização de matrizes simétricas reais pode ser utilizada na classificação de curvas no plano e superfícies no espaço definidas por equações do o grau. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI / 1
A diagonalização de matrizes simétricas reais pode ser utilizada na classificação de curvas no plano e superfícies no espaço definidas por equações do o grau. Definição Uma cónica é o conjunto dos pontos (x, ) de R que satisfazem uma equação do segundo grau em duas variáveis da forma Ax + x + C + Dx + E = F. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI / 1
A diagonalização de matrizes simétricas reais pode ser utilizada na classificação de curvas no plano e superfícies no espaço definidas por equações do o grau. Definição Uma cónica é o conjunto dos pontos (x, ) de R que satisfazem uma equação do segundo grau em duas variáveis da forma Ax + x + C + Dx + E = F. Esta equação pode escrever-se da seguinte forma [ x. [ A C. + [ D E. = F ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI / 1
Efectuando uma mudança de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, é possível dar à equação anterior uma forma mais simples. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 3 / 1
Efectuando uma mudança de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, é possível dar à equação anterior uma forma mais simples. A matriz quadrada real M = [ A C é simétrica, logo, existe uma matriz Q ortogonal, tal que Q T MQ = D, com D diagonal. As colunas de Q são vectores próprios ortonormados de M e os elementos diagonais de D são os correspondentes valores próprios λ 1 e λ de M. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 3 / 1
Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotação) = Q, ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 4 / 1
Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotação) = Q, obtém-se uma equação da forma λ 1 (x ) + λ ( ) + D x + E = F. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 4 / 1
Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotação) = Q, obtém-se uma equação da forma λ 1 (x ) + λ ( ) + D x + E = F. Em seguida, eliminam-se os termos do primeiro grau, procurando quadrados perfeitos de modo a obter uma equação da forma λ 1 (x + x 0 ) + λ ( + 0 ) = F. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 4 / 1
Fazendo uma outra mudança de coordenadas (uma translação) obtém-se uma equação reduzida x = x x 0, = 0 λ 1 (x ) + λ ( ) = F e pode-se finalmente classificar a cónica. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 5 / 1
Proposição Considere-se a cónica de equação Ax + x + C + Dx + E = F. [ A Sejam λ 1 e λ os valores próprios de M = C. Então: ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 6 / 1
Proposição Considere-se a cónica de equação Ax + x + C + Dx + E = F. [ A Sejam λ 1 e λ os valores próprios de M = C. Então: (a) Se 4AC = λ 1 λ > 0, a cónica é uma elipse ou uma elipse degenerada (um ponto ou o conjunto vazio); ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 6 / 1
Proposição Considere-se a cónica de equação Ax + x + C + Dx + E = F. [ A Sejam λ 1 e λ os valores próprios de M = C. Então: (a) Se 4AC = λ 1 λ > 0, a cónica é uma elipse ou uma elipse degenerada (um ponto ou o conjunto vazio); (b) Se 4AC = λ 1 λ < 0, a cónica é uma hipérbole ou uma hipérbole degenerada (duas rectas concorrentes); ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 6 / 1
Proposição Considere-se a cónica de equação Ax + x + C + Dx + E = F. [ A Sejam λ 1 e λ os valores próprios de M = C. Então: (a) Se 4AC = λ 1 λ > 0, a cónica é uma elipse ou uma elipse degenerada (um ponto ou o conjunto vazio); (b) Se 4AC = λ 1 λ < 0, a cónica é uma hipérbole ou uma hipérbole degenerada (duas rectas concorrentes); (c) Se 4AC = λ 1 λ = 0, a cónica é uma parábola ou uma parábola degenerada (duas rectas paralelas, uma recta ou o conjunto vazio). ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 6 / 1
Exemplo A cónica de equação x 4x 4x + 10 = 13 pode escrever-se da seguinte forma [ x. [ 1. + [ 4 10. = 13 ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 7 / 1
A matriz quadrada real M = [ 1 [ 5 5 é simétrica, logo, existe uma matriz Q = Q T MQ = [ 3 0 0. 5 5 5 5 5 5 ortogonal, tal que ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 8 / 1
Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotação) = Q, ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 9 / 1
Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotação) = Q, obtém-se uma equação da forma 3(x ) ( ) + 18 5 5 x + 16 5 = 1. 5 ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 9 / 1
Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotação) = Q, obtém-se uma equação da forma 3(x ) ( ) + 18 5 5 x + 16 5 = 1. 5 Em seguida, procuram-se quadrados perfeitos e obtém-se uma equação da forma (x 3 5 5 ) 4 ( 4 5 5 ) 6 = 1. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 9 / 1
Fazendo uma outra mudança de coordenadas (uma translação) obtém-se uma equação reduzida x = x 3 5 5, = 4 5 5 (x ) 4 ( ) 6 = 1, equação de uma hipérbole com semieixo transverso alinhado com o eixo dos x com comprimento. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 10 / 1
Definição Uma quádrica é o conjunto dos pontos (x,, z) de R 3 que satisfazem uma equação do segundo grau em três variáveis da forma Ax + x + Cxz + D + Ez + Fz + Gx + H + Iz = J. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 11 / 1
Definição Uma quádrica é o conjunto dos pontos (x,, z) de R 3 que satisfazem uma equação do segundo grau em três variáveis da forma Ax + x + Cxz + D + Ez + Fz + Gx + H + Iz = J. Esta equação pode escrever-se da seguinte forma [ x z. A C C D F F E. x z + [ F G H. x z = F ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 11 / 1
Definição Uma quádrica é o conjunto dos pontos (x,, z) de R 3 que satisfazem uma equação do segundo grau em três variáveis da forma Ax + x + Cxz + D + Ez + Fz + Gx + H + Iz = J. Esta equação pode escrever-se da seguinte forma [ x z. A C C D F F E. x z + [ F G H. x z = F Analogamente, a diagonalização de matrizes simétricas reais de ordem 3 ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 11 / 1 pode ser utilizada na classificação de quádricas.
De igual modo se pode obter uma equação reduzida de uma quádrica. ALGA 007/008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 1 / 1