OTIMIZANDO ELEMENTOS ESTRUTURAIS PLANOS ATRAVES DE METODO ADAPTATIVO Elian Rgina Flôrs Olivira Univrsidad Fdral d Ubrlândia UFU, Instituto d Física INFIS 38400-000 Ubrlândia, MG -mail: lian@infis.ufu.br Elain Goms Assis Univrsidad Fdral d Ubrlândia UFU, Faculdad d Engnharia Mcânica FEMEC 38400-000 Ubrlândia, MG -mail: lainga@mcanica.ufu.br Rsumo. Um procsso adaptativo usando gradints ou dnsidads da nrgia d dformação pod lvar a um bom modlo d lmntos finitos, idntificando-s d forma clara quais as rgiõs rqurm ou não rfinamnto d malha. O modlo dv contr uma stratégia d adaptação para vitar a formação d lmntos distorcidos, principalmnt quando s usa o método adaptativo d rlocação nodal (Método r), qu possui ssa caractrística qu lh é dsfavorávl. D manira hurística é dlinado o acoplamnto do concito d malha forma otimizadas, passando por uma rmalhagm, qu tm a função d atnuar no procsso itrativo o problma da distorção no uso do método r. Exmplos d aplicação são utilizados para studar a influência, do modlo proposto, na otimização d forma d s usar o módulo intrmdiário d rmalhagm, o qual quilibra o dsbalancamnto das áras dos lmntos na discrtização do modlo. Introdução A otimização d forma tm atraído grand atnção da comunidad cintífica muitas técnicas têm sido dsnvolvidas usadas com sucsso m análiss projtos d ngnharia. Gralmnt, stas técnicas consistm m variar alguns contornos do modlo a sr projtado a fim d mlhorar su comportamnto mcânico, como por xmplo, rduzir as altas concntraçõs d tnsõs qu normalmnt acontcm m locais d cantos furos ou próximos a ls. Est procsso normalmnt é fito impondo rstriçõs usando um método d otimização slcionado, ond aspctos tais como dfiniçõs gométricas, gração d malhas, anális procssamnto d rsultados são normalmnt nvolvidos. Além disso, outros lmntos fazm um papl dcisivo no procsso d otimização, tal como a anális d snsibilidad o algoritmo d otimização utilizado. O primiro passo é dfinir os modlos físicos gométrico ond no modlo gométrico as variávis d projto são facilmnt impostas prmitm uma xplícita intgração com outras frramntas d projto, tal como os sistmas CAD ou CAM. O modlo físico é usado para obtr a rsposta da part strutural, submtida a açõs xtrnas com uma anális numérica d snsibilidad das variávis prdominants finalmnt, um algoritmo d otimização apropriado dv sr usado para rsolvr o problma d um modo ficaz sguro. Como o progrsso da otimização muitas vzs dpnd do dsnvolvimnto d um bom modlo d lmntos finitos, st trabalho utiliza uma técnica para stimar rros numéricos na discrtização d problmas bidimnsionais, utilizando-s o lmnto finito triangular hirárquico com função d forma quadrática. Vrifica-s a xistência da homognidad do rro ao longo do domínio nos lmntos; caso sta não ocorra, os nós livrs pré stablcidos, srão ralocados m função da difrnça d gradint do rro, riniciando-s uma nova anális do modlo físico otimizando a malha automaticamnt. São avaliados dois métodos adaptativos usando ralocação nodal (método r): método hurístico método gométrico. Com o objtivo d atnuar o problma da distorção qu ocorr no uso do procsso itrativo do método r, st trabalho dsnvolv uma técnica d rmalhagm automática d lmntos finitos, usando o lmnto triangular hirárquico d grau, através do balancamnto da ára dos lmntos da malha obtndo-s um método gométrico d rlocação nodal. A otimização d forma é basada 49
no método d otimização d malha, Clapis [1999], sndo qu a formulação da otimização d forma lva m conta a homognização da dnsidad d nrgia d dformação por distorção dos lmntos finitos. O critério d otimalidad é smpr o da máxima dnsidad d nrgia d dformação por distorção. Em linguagm Fortran foi implmntado o acoplamnto do otimizador d forma com o rmalhador com o otimizador d malha d manira itrativa automática. A avaliação da potncialidad dos métodos é fita por mio d uma strutura tradicional citada na litratura, como aprsntado por Olivira [003]. Otimização da malha d lmntos finitos. Uma malha d lmntos finitos é considrada ótima, gralmnt, quando a norma do rro é a msma para todos os lmntos, sndo assim como o método (FEM) é basado na minimização da nrgia total, torna-s natural stimar-s o rro d discrtização m um modlo basando-s também na norma dsta nrgia. O modlo físico utilizado nst trabalho é a quação d lasticidad linar. A aproximação plo método d lmntos finitos consist m minimizar a nrgia potncial total, dada pla quação (1) n T T T 1 d, (1) f 1 u B D B u f u m rlação as variávis nodais as coordnadas nodais. Na quação (1) n é o númro total d lmntos da malha ncssários para discrtizar a strutura, D é a matriz d constants lásticas, B é a matriz d transformação d dslocamntos m dformaçõs, u é o vtor d dslocamntos associados ao lmnto, u é o vtor global d dslocamntos, f é o vtor carga aplicada é o volum ocupado plo lmnto. Método 1 Método Hurístico McNic Marcal (1971) considraram o problma d distribuir os nós d uma malha d forma mlhorada para obtr mlhors rsultados. A técnica utilizada consist m minimizar a nrgia potncial total, dada pla quação (1).m rlação as variávis nodais as coordnadas nodais. S c é o vtor d coordnadas nodais, a condição para qu a nrgia potncial sja mínima é qu as drivadas da quação (1) m rlação a c u s igualm a zro. Considrando a dcomposição do vtor u sgundo Olivira (003), chgamos à sguint quação n K u f, K K T D B d nh un f n K B ou sja 1 Khn Khh uh f h O rro por lmnto pod sr stimado, m trmos da nrgia d dformação, corrspondnt às variávis hirárquicas como: T u K u, h hh h u (3) h 1 1 3 3 ond: {, } rprsnta os novos graus d librdad hirárquicos introduzidos, conform mostra a Fig. 1 K hh a matriz d rigidz dos parâmtros hirárquicos. 3 3 () 3 y 1 1 1 x Figura 1 - Parâmtros hirárquicos do lmnto triangular 50
Considrando como uma prssão ngativa agindo num lmnto finito do modlo gométrico da strutura, Clapis (1999), o vtor das forças nodais quivalnts, lmnto triangular linar é dado por, y x y x y x T D 3 3 31 31 1 1 D para um (4) Impondo-s a condição gométrica d qu a forma do contorno não dv sr altrada lvando-s m conta a suprposição dos vtors D para todos os lmntos, obtém-s um vtor d carga nodal quivalnt global, D G. Tm-s, portanto, novas condiçõs d contorno consquntmnt uma nova quação d quilíbrio global. A dirção d 0 do movimnto dos nós com uma ou duas dirçõs livrs para s movrm pod sr obtida d: K d sndo: D G 0 (5) 0 K 0 é a matriz d rigidz obtida do modlo gométrico, d 0 é a dirção d busca ond s procura homognizar a distribuição da dnsidad do rro d discrtização D G é o vtor carga nodal quivalnt global. Através d uma busca unidimnsional, utilizando-s o método da scant, calcula-s o fator d scala *, o qual minimizará a norma do vtor dsbalancamnto, ou sja: MIN D x d 0 (6) ond {x} é o vtor d coordnadas dos nós móvis. Dvido a rlocação nodal, a dnsidad do rro d discrtização também s altra o procsso d busca é ralizado d modo itrativo com a anális d novos modlos físicos discrtizados. O programa xcuta automaticamnt o balancamnto dos rros ntr os lmntos, usando o método do gradint conjugado para grar novas dirçõs d busca no caso d não havr convrgência numa dtrminada dirção. A condição d ótimo para o problma é qu o rro d discrtização sja uniformmnt distribuído ao longo d todo o domínio. Método Método Gométrico Considr um nó os lmntos finitos circunvizinhos ao msmo, Figura. Sndo o cntróid d cada lmnto o ponto ond atuam forças atrativas, com origm no nó comum. A intnsidad d cada uma é o indicador d rro do lmnto. A rsultant dstas forças nos fornc uma nova posição do nó, caso xista dsquilíbrio ntr os indicadors dos rros d discrtização na rgião considrada, Chng (1993). y Figura Esquma d rposicionamnto nodal x 51
A soma das contribuiçõs d todos os lmntos circunvizinhos, para a coordnada x, val: m xn * m1 m1 ( x* xn ) xn * (7) ond m indica o númro da itração, x n x * são, rspctivamnt, a posição do nó considrado dos cntróids dos lmntos circunvizinhos, * é o rro por lmnto finito. Est pod sr stimado, m trmos da norma da nrgia d dformação, Eq. (1), ond o critério d parada é a homognização do msmo ao longo do domínio. Analogamnt, para a coordnada y, tm-s quação para yn como a aprsntada na quação (7). Nota-s qu apnas os nós dos vértics do lmnto têm a prmissão d movrm sndo qu os nós do mio do lado, s houvr, não podm participar do procsso d rposicionamnto. Suas coordnadas são localizadas no mio ntr os nós da xtrmidad. Est procsso tm naturza itrativa ond os nós s movm m dirção aos lmntos d indicador d rro maior até não s tr difrnça nos indicadors d rro dos lmntos ou a rlocação dos nós tornar-s suficintmnt pquno. Algoritmo d otimização d forma Propomos um método d otimização d forma com bas no método d otimização d malha, Clapis (1999). Enquant o Método 1 lva m considração o dsbalancamnto do rro d discrtização do modlo, a formulação da otimização d forma toma por bas o dsbalancamnto da dnsidad d nrgia d dformação por distorção dos lmntos finitos. O critério d otimalidad utilizado é o da máxima dnsidad d nrgia d dformação por distorção, d forma qu os lmntos com mnor nrgia migrm para as áras ond as dnsidads d nrgia são maiors. Sja U D uma prssão ngativa agindo num lmnto finito do modlo gométrico da D, para um lmnto triangular é dado pla strutura. O vtor das forças nodais quivalnts, quação (4). Da suprposição dos vtors D para todos os lmntos obtém-s um vtor d D. A dirção d 0 do movimnto dos nós pod sr obtido carga nodal quivalnt global, G utilizando-s a quação (5). d, passa a sr uma dirção d busca procurando homognizar a distribuição Portanto, 0 da dnsidad d nrgia d distorção, conform a quação (6), ond {x} é o vtor das coordnadas nodais dos nós livrs para ralocarm-s nas duas ou m uma das dirçõs. Algoritmo d rmalhagm O código numérico d rmalhagm prmit rstruturar malhas d lmntos finitos m problmas bidimnsionais, utilizando lmntos triangulars hirárquicos com funçõs d forma d grau. Automaticamnt, o vtor dsbalancamnto, na formulação gométrica d rlocação nodal, é função do difrncial ntr as áras dos lmntos funcionando como cargas nodais passando plos cntróids dos lmntos circunvizinhos ao nó considrado, Chug (1993). Vrifica-s s xist uma homognidad d áras dos lmntos da malha na rgião considrada, caso sta não ocorra, os nós livrs, pré-stablcidos, srão dslocados m função da rsultant das cargas a nova coordnada x, val: A x xn m xn m xn m * 1 1 * * A (8) 5
ond m indica o númro da itração, x n x * são, rspctivamnt, a posição do nó considrado dos cntróids dos lmntos circunvizinhos, A * é a ára d cada lmnto finito.analogamnt para a coordnada y, tm-s quação análoga a quação (8). Est procsso tm naturza itrativa ond os nós s movm até diminuir a distorção ntr as áras dos lmntos ou a rlocação dos nós até o valor m m xn 1 xn tornar-s suficintmnt pquna. Exmplo d aplicação - Coluna d auto strada O projto d otimização conjunta d forma malha d uma das colunas da pista d uma dtrminada auto strada é considrado nst xmplo. Oda (1977), Kikuchi (1986), Rossow (1976) Clápis (1999) utilizaram dst msmo tipo d strutura para avaliarm suas propostas na busca da forma idal ou mlhorada, do lmnto strutural considrado. A Figura 3 mostra as caractrísticas d projto, considrando-s para fito d somnt avaliar o método proposto, qu a strutura é d aço m vz d concrto armado o qu usualmnt é utilizado para confccionar um componnt strutural dst port. Os dados adotados são: módulo d lasticidad 05000 MPa, coficint d Poisson 0.30, spssura constant da strutura d 1000 mm limit d scoamnto à tração igual a 7 x 10 7 N/m. Convém salintar qu a scolha do matrial basia-s no critério da nrgia d distorção (von Miss) lvando m conta o scoamnto, o qu não é apropriado para o caso quando s usa um matrial frágil como o concrto, ond o mais apropriado sria utilizar um critério d ruptura. Dvido à simtria m rlação ao ixo vrtical, utiliza-s somnt a mtad do modlo físico na otimização conjunta d forma malha,. As Figuras 4 (b). 4 (c) mostram, rspctivamnt, o modlo gométrico utilizado na otimização d forma com 156 lmntos triangulars linars o modlo gométrico utilizado na rmalhagm na otimização da malha com 156 lmntos triangulars hirárquicos m xpansão quadrática na função d forma. 16 m 1000 N/m 1 m 4 m 8 m 6 m Figura 3 Sção transvrsal da coluna d uma auto-strada (a) (b) (c) Figura 4 Discrtizaçõs da coluna: (a) modlo físico, (b) modlo gométrico da forma (c) modlo gométrico utilizado na rmalhagm na otimização da malha 53
Após 4 itraçõs, considrando-s o stado plano d tnsõs, chgou-s à forma otimizada utilizando-s somnt o programa otimizador d forma o critério d parada pré-stablcido, Figura 5. Nota-s, nst caso, qu o volum da sção transvrsal passou d um volum inicial d 48,5m 3 para um volum final d 38,9m 3 (rdução d 4,68%), bm como s obsrva uma mlhor concordância do contorno na rgião ond xist uma alta concntração d tnsõs. Notas também nsta rgião uma grand distorção dos lmntos finitos ocasionado pla rlocação nodal no balancamnto da nrgia d distorção. Fazndo-s a mudança d forma com a intrcalação dos módulos d rmalhagm d otimização d malha no procssamnto numérico stimando-s para a anális m qustão o númro d itraçõs para cada módulo, tm-s para o método hurístico: 1 itração para a forma; 6 itraçõs para a rmalhagm; 10 itraçõs para a otimização d malha. Para os rros d discrtização após a otimização da malha. O procsso é rfito 8 vzs até qu o critério d parada sja atingido. Através do método gométrico tm-s: 1 itração para a forma; 5 itraçõs para a rmalhagm, 7 itraçõs para a otimização d malha. Para os rros d discrtização após a otimização da malha o procsso é rfito 9 vzs utilizando-s o critério d parada antrior. Obsrva-s qu no procsso d otimização d forma intrcalando-s a otimização d malha, a rdução do volum da sção transvrsal é muito maior a distorção dos lmntos finitos é bm mnor do qu no caso ond foi utilizado somnt o otimizador d forma, obtndo-s uma discrtização final d qualidads física gométrica mlhorada qu s dv a influência da introdução do módulo d rmalhagm. Usando-s a otimização conjunta forma malha, plo método hurístico, o volum passou d um valor inicial d 48,5 m 3 para um volum final d 3,47 m 3 (rdução d 49,37%). Plo método gométrico, o volum final foi para 33,06m 3 (rdução d 46,7%), nquanto qu s utilizando o módulo somnt do otimizador d forma o volum final é d 38,9 m 3 (rdução d 4,68%). Figura 5 Tnsõs quivalnts após otimização d forma 4 itraçõs Figura 6 (a) Otimização da forma / tnsõs quivalnts método hurístico (1 itração, 8ª vz), (b) Rmalhagm método hurístico (7 itraçõs, 8ª vz), (c) Otimização da malha método hurístico (10 itraçõs, 8ª vz). (a (b (c Fazndo-s a mudança d forma com a intrcalação dos módulos d rmalhagm d otimização d malha no procssamnto numérico stimando-s para a anális m qustão o númro d itraçõs para cada módulo, tm-s para o método hurístico: 1 itração para a 54
forma, Figura 6: (a); 7 itraçõs para a rmalhagm; 6(b); 10 itraçõs para a otimização d malha, Figura 6(c). A snsibilidad do uso do programa quanto ao númro d itraçõs a sr utilizada m cada um dos três módulos (forma, rmalha malha), dpnd da intuição xpriência do projtista. No módulo d otimização d forma o númro d itraçõs pod sr aumntado até qu não ocorra grand distorção dos lmntos finitos. No módulo d rmalhagm o critério d parada utilizado foi m função do balancamnto das áras dos lmntos finitos no módulo d otimização d malha o númro d itraçõs foi fixado m função da obtnção d rros d discrtização dos lmntos finitos mais homogênos sndo qu na maioria dos casos fz-s ncssário alguns tsts iniciais para s obtr a mlhor solução do problma. Conclusõs Dsnvolvu-s um programa d lmntos finitos para otimizar a forma d um lmnto strutural basado na homognização da nrgia d distorção ntr os lmntos, adaptado itrativamnt com um rmalhador com um otimizador d malha, a cada itração ou a partir d crto númro d itraçõs prviamnt fixado. Conclui-s qu o otimizador d forma dv sr acoplado ao otimizador d malha dsd qu o modulo d rmalhagm sja introduzido para corrigir a distorção dos lmntos após a otimização da forma a convrgência do sistma sja alcançada. Na formulação numérica do modulo otimizador d forma optamos por usar o lmnto triangular linar, pois usando-s o lmnto triangular hirárquico o programa s torna lnto d difícil convrgência. A utilização do programa m struturas ond havia alta concntração d tnsõs nos cantos, a técnica d intrcalar o otimizador d forma com o rmalhador com o otimizador d malha lvou a uma forma ótima na qual houv um dcréscimo no valor das tnsõs quivalnts a uma mlhor distribuição d tnsõs ao longo do contorno móvl quando comparado com o uso somnt do programa otimizador d forma. Pod-s obsrvar ainda qu, na mdida m qu o procdimnto aqui aprsntado tnd a suavizar a distribuição d tnsõs no contorno, o msmo pod rsultar m conomia d matrial, pois o volum final é mnor qu o inicial, o qu abr a prspctiva d utilizá-lo no projto ótimo d componnts struturais. O programa utiliza o método d lmntos finitos, qu é uma ficint técnica para obtr soluçõs aproximadas para problmas ond a solução xata é difícil d sr obtida, a discrtização inicial da malha, o tipo o númro d lmntos influnciam nos rsultados finais da forma ótima. A partir do xmplo mostrado, pod-s concluir qu o algoritmo dsnvolvido aprsnta rsultados satisfatórios, quando comparado com a bibliografia ncontrada. Rfrências [1] Clápis, A. P., 1999, Um método hurístico d otimização d forma d componnts struturais no stado plano d lasticidad linar, Ts d Doutorado, Univrsidad Estadual d Campinas, Campinas, SP, Brasil. [] Chng, Jung-Ho, 1993, Adaptativ grid optimization for structural analysis-gomtry-basd approach, Comp. Mth. in Applid Mch. and Eng., 107,1- [3] Kikuchi N., Chug, K. Y., Torigaki, J. E., Taylor, J. E., 1986, Adaptativ finit lmnts mthods for shap optimization of linarly lastic structurs, Comp. Mth. in Applid Mch. and Eng., 67-89. [4] McNic B.M. and Marcal P.V., 1971, Optimization of Finit Elmnt Grids Basd on Maximum Potntial Enrgy, Tchnical Rport no. 7, Brown Univrsity, Providnc. [5] Oda, J., Yamazaki, K., 1977, On a tchniqu to obtain an optimum stngth shap by th finit lmnt mthod, Bulltin of JSME, vol. 0, pp. 154-153. [6] Olivira, E. R. F., 003, Otimização d forma d lmntos struturais planos, Ts d Doutorado, Univrsidad Fdral d Ubrlândia, MG, Brasil [7] Rossow, M. P., Taylor, J. E., 1976, An optimal structural dsign algorithm using opmality critria, Socity Engnring Scinc, 13 th Annual Mting, Hampton, VA. 55