Tópico D mtm B PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Tópico D mtm B PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Definição Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica. Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? a 1 = P a 0 = P q = 1,12 a n = a 1. q n-1 a n = P. (1,12) n-1 ERRADO q = 1,12 a n = a 0. q n a n = P. (1,12) n

Definição Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? População Inicial Após 1 ano Após 2 anos..... Após n anos P 1,12.P (1,12)².P..... (1,12) n.p x 1,12 x 1,12

Definição Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? População Inicial Após 1 ano Após 2 anos..... Após n anos P O,88.P (0,88)².P..... (0,88) n.p x 0,88 x 0,88

Classificação PG crescente Ex.: (2, 4, 8, 16,...) Ex.: (- 25, - 5, - 1,...) a 1 > 0 e q > 1 a 1 < 0 e 0 < q < 1 PG constante Ex.: (100, 100, 100...) q = 1 PG decrescente Ex.: (- 2, - 4, - 8, - 16...) Ex.: (18, 6, 2, 2/3...) a 1 < 0 e q > 1 a 1 > 0 e 0 < q < 1 PG oscilante Ex.: (1, -3, 9, -27...) q < 0 PG singular Ex.: (0, 0, 0, 0...) a 1 = 0 ou q = 0

Classificação Exemplo 2: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V )...taxa de crescimento de 100%... trata-se de uma PG crescente com q = 2. ( F )...taxa de crescimento de 0%... trata-se de uma PG constante com q = 0. ( F )...taxa de decrescimento de 30%... trata-se de uma PG crescente com q = 0,3. ( V ) Em toda PG oscilante a razão é negativa.

Notações Especiais x, x, xq q PG de 3 termos ou ( x, xq, xq 2 ) PG de 4 termos x, x, xq, xq³ q³ q PG de 5 termos x, x, x, xq, xq² q² q

Notações Especiais Exemplo 3: (FGV) Três números cuja soma é 248 e a diferença entre o terceiro e o primeiro é 192 estão em PG de razão igual a: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 x, x, xq q x q + x+xq = 248 xq- x q = 192 (x, xq, xq 2 ) x + xq + xq 2 = 248 xq 2 x = 192 Não é a melhor maneira de resolver.

Notações Especiais Exemplo 4: (UFAL) O produto dos três primeiros termos de uma PG é 216. Se a razão dessa progressão é - 3, o quinto termo é: a. 162 b. 54 c. 18 d. 54 e. - 162 x, x, xq q x q.. x xq = 216 x 3 = 216 x = 6 a 2 = 6 a 5 = a 2. q 3 a 5 = 6. (- 3) 3 a 5 = 6. - 27 a 5 = - 167 Gabarito: e

Notações Especiais Exemplo 5: (Escola Naval) A soma de três números em PG crescente é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro, eles passam a formar uma PA. Calcule-os : PA (x r, x, x + r) PG (1 + 6 r, 6, 6 + r) (6)² = (7 r)(6 + r) x r + x + x + r = 18 x r + x + x + r = 18 3x = 18 x = 6 PG (7 r, 6, 6 + r) (7 - (3), 6, 6 + 3) (4, 6, 9) 36 = 42 +7r 6r - r² r² - r 6 = 0 r 1 = - 2 r 2 = 3

Termo Geral da PG a n = a 1. q n - 1 Exemplos: a n a 1 n e-nésimo termo primeiro termo termo a) a 10 = a 3. q 7 b) a 10 = a 7. q 3 c) a 10 = a 12. q -2 q razão

Termo Geral da PG Exemplo 3: (UDESC) Sabendo que a 4 + a 6 = 160 e a 7 + a 9 = 1280, calcule : a) A razão da PG b) a 2 a) a 7 + a 9 = 1280 b) a 2.q² + a 2.q 4 = 160 a 4.q³ + a 6.q³ = 1280 q³(a 4 + a 6 ) = 1280 q³. 160 = 1280 q³ = 8 q = 2 a 2 (q² + q 4 ) = 160 a 2 (2² + 2 4 ) = 160 a 2.20 = 160 a 2 = 8

Interpolação Geométrica Numa PG finita (a 1, a 2,, a n - 1, a n ), os termos a 2, a 3, a n 1 são chamados de meios geométricos da PG. Inserir, ou interpolar, K meios geométricos entre dois números a e b, nessa ordem, significa determinar a PG de K + 2 termos com o primeiro termo igual a a e o último termo igual a b.

Interpolação Geométrica Exemplo 4: (UDESC) Qual a razão quando interpola-se geometricamente 6 termos entre 3 e 384. PG (3, a, b, c, d, e, f, 384) a 1 a 8 a 8 = a 1. q 7 384 = 3. q 7 q 7 = 128 q = 2

Média Geométrica e Termo Médio PA (a, b, c) b² = a.c Exemplo 5: (UFRJ) Quatro números são tais que, o primeiro é igual ao quarto, os três primeiros formam uma PA de razão 6 e os três últimos uma PG. Determine-os : (x r, x, x + r, x r) (x 6, x, x + 6, x 6) P.G. (- 2-6, - 2, - 2 + 6, - 2-6) (- 8, - 2, + 4, - 8) (x + 6)² = x(x 6) x² + 12x + 36 = x² - 6x 18x = - 36 x = - 2

Produto Equidistante Produto de PG a m. a n = a x. a y m + n = x + y a 3. a 7 = a 4. a 6 P n = a 1. a 2. a 3..... a n-2. a n-1. a n x P n = a n. a n-1. a n-2..... a 3. a 2. a 1 (P n ) 2 = a 1. a n. a 2. a n-1. a 3. a n-2..... a n-2. a 3. a n-1. a 2. a n. a 1 a 1. a n a 1. a n a 1. a n a 1. a n a 1. a n (P n ) 2 = (a 1. a n ) n n vezes

Produto Equidistante Exemplo 6: (UFPR) Sabendo que a 4. a 7 = 32, o produto dos dez primeiros termos da PG é 2 n. Calcule n. Produto de PG (P n ) 2 = (a 1. a n ) n (P 10 ) 2 = (a 1. a 10 ) 2 2 n = (32) 5 2 n = (2 5 ) 5 2 n = 2 25 n = 25 a 4. a 7 = 32 a 1. a 10 = 32

Soma e Produto de PG Exemplos: 6 =S n = 1 6 20 =S -S n = 10 20 9 6 =P n = 1 6 20 n = 10 P = P 20 9

Soma de PG Finita n S= a 1(q -1) n, q 1 q-1 Infinita a 1 S =, q 1 1- q Finita de termos iguais (PG constante) q= 1 S n =n.a1 Exemplo 7: (UFSC) Seja G = a. a. a.... Então o valor de G é a. 3 9 27 G = a 1/3. a 1/9. a 1/27... G = a1/3 + 1/9 + 1/27 +... a 1 1 S = = 3 1- q 1-1 3 1 3 = 23 1 = 2 Os expoentes formam uma PG infinita de razão 1/3. G = a 1/2 = a Correto

Soma de PG Exemplo 8: (UNESP) No início de 2004, Fábio montou uma página na Internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004 houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi: a. 36 b. 24 c. 12 d. 16 e. 18 PG q = 2 n = 6 S 6 = 756 n S= a 1(q -1) n q-1 6 a 1(2-1) 756= 2-1 756=a. 63 1 a =12 1 Gabarito: c

Soma de PG Exemplo 9: (UFSC) Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava 60 kg e ao completar 17 anos pesava 64 kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 1/2, então ele nunca atingirá 68 kg. Aumento anual de massa 64 60 = 4 (4, 2, 1, ½,... ) a 1 S = = 4 = 4 =8 1- q 1-1 12 2 60 + 8 = 68kg A S indica o limite em que a soma dos termos chega. Mas ela nunca alcança esse valor. Correto

PG de Ordem Superior Uma sequência de números reais se denomina progressão geométrica de ordem superior se as diferenças entre termos sucessivos formarem uma PG. Exemplo : 3, 5, 11, 29,... 3 5 11 29 - - - 2 6 18 PG de razão 3 29 = 2 + 6 + 18 + 3 a n = S n 1 + a 1

PG de Ordem Superior Exemplo 10: (IME) Uma seqüência de gerações de uma determinada bactéria são dados pelos números da progressão, considerando que o número 2 representa a primeira geração, calcule quantas bactérias teremos na oitava geração, sabendo que a sequência inicial das gerações foi : 2, 5, 11, 23,... 2 5 11 23 - - - 3 6 12 PG de razão 2 a n = S n 1 + a 1 a 8 = S 7 + a 1 a 8 = 384 + 2 a 8 = 386 386 bactérias na 8ª geração. S = 7 S = 7 7 a 1(q - 1) q - 1 7 3(2-1) 2-1 S = 384 7

Relacionamento Juros X P.G. Os montantes calculados através dos juros compostos podem ser interpretados como uma PG e sua representação gráfica é uma função exponencial.

Exemplo 11: UFSC Sejam (a n ) uma progressão geométrica e (b n ) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão geométrica (a n ). Sabendo que a 1 = b 1 = 2 e que a 2 = b 7 calcule a soma b 1 + b 2 +.+ b 7. Progressão Geométrica: (a 1, a 2, a 3, a 4, ) razão: q Progressão Aritmética: (b 1, b 2, b 3, b 4, ) razão: r a 2 = b 7 a 1 q = b 1 + 6r 2q = 2 + 6. (3/10).q 2q (9/5).q = 2 10q 9q = 10 q = 10 r = (3/10).q r = (3/10).10 r = 3 S = 7 PA: (2, 5,, b 7 ) b 7 = b 1 + 6r b 7 = 2 + 6.3 b 7 = 20 (a 1 + a 7)7 = 2 (2 + 20)7 2 = 77

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