Questão TIPO DE PROVA: A Sabe-se que o quadrado de um número natural k é maior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é maior do que o seu quadrado. Dessa forma, k k vale: a) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 Das condições dadas: k > k k(k ) > 0 5k > k k(k 5) < 0 (k < 0ouk > ) < k < 5 k 4 0 < k < 5 Portanto k k. Seja a o lado do triângulo e h a altura relativa a esse lado. Ao diminuirmos o lado de 5% e aumentarmos a altura de 0%, obtemos um novo ( 0,5)a ( + 0,0)h triângulo de área,0 ah, que é a área do triângulo original aumentada de %. Questão 4 Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g. A soma f(g()) + g(f( )) é igual a: Questão Se, na igualdade 0 n 4,néumnúmero natural positivo e um número ímpar, o produto n. vale: a) 450 b) 75 c) 75 d) 60 e) 0 n n n n 0 4 5 Como é um número ímpar, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, n en 0 450. a) b) 0 c) d) e) Do gráfico, temos g() para 0. Como f( ) < 0, temos g(f( )). Portanto f(g()) + + g(f( )) f(0) + 0 +. Questão Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 5% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada de 0%. A área desse triângulo: a) aumenta de % c) aumenta de % e) não se altera b) diminui de,5% d) diminui de,5% Questão 5 Pelo vértice da curva y 4 +, e pelo ponto onde a mesma encontra o eio das ordenadas, passa uma reta que define com os eios um triângulo de área: a) b) 4 c) 4 d) e) 9 4
matemática O vértice da parábola y 4 + é o ponto ( 4) ; ( 4) 4 4 (; ) e o ponto onde a mesma encontra o eio das ordenadas é (0; ). Uma equação da reta que passa por (0; ) e (; )éy ( 0) + y 0, 0 que intercepta o eio das abscissas no ponto ;0. Logo essa reta define com os eios um triângulo de área 9. 4 Questão 6 + y Se as seqüências ; ; e (; y; ) são, respectivamente, uma progressão geométrica e uma progressão aritmética, o valor de y é: a) b) c) d) e) 0 Temos: + y + y + ( ) + y + y + y + y + + y y 4 + y Assim, y. Questão 7 Se as equações + m + n + p 0 e + 0 têm o mesmo conjunto solução, então o produto m.n.p vale: a) b) c) 0 d) e) Como + 0 ou, as raízes de + m + n + p 0 são e, onde ou é uma raiz dupla. Conseqüentemente, pelas relações entre coeficientes e raízes: m ( ) + ( ) + m ; n ( ) ( ) + ( ) + ( ) 0 e p ( ) ( ) 4 p 4 m ( ) + + 0 m 0; n ( ) + ( ) + e p ( ) p. Em ambos os casos, m n p 0. Questão 8 O produto (log ) (log 4) (log 4 5)... (log 6 64) é igual a: a) log 64 b) log 6 c) d) 4 e) 6 Temos log log4 log45... log664 log 64 6. Questão 9 A soma das raízes da equação 9 0 log ( + ) log ( + ) 0 0 é igual a: a) b) c) 0 d) e) 9 0 log ( + ) log ( + ) 0 0 log ( + ) 9 log ( + ) 0 ( 9 ) log ( + ) 0 log ( + ) 0 ou 9 0 ( + ou ) > ( ou 0) ou 0 > Logo a soma das raízes é + 0.
matemática Questão 0 Em [0; π], as soluções da equação sen são em número de: cos + sen a) b) c) d) 4 e) 5 Para [0; π], sen sen cos + sen ( sen ) + sen sen + sen π sen 76 o π u 6 Assim, a equação admite duas raízes no universo [0; π]. Questão A circunferência da figura tem raio e centro O. Se sen 0 + cos 0 a, a área do o o triângulo ABC é igual a: a) a b) a c) a d) a e) Sendo BP a altura relativa ao lado AC do triângulo ABC, temos sen 55 o BP OB sen (45 o +0 o ) BP (sen0 o + cos0 o ) BP BP a. Logo a área do triângulo ABC é igual a AC BP a a. Questão + y + z k O sistema k + y + z + y z k a) é impossível para um único valor de k b) tem solução única para um único valor de k c) tem solução (k, 0, 0), qualquer que seja k 0 d) tem mais de uma solução para um único valor de k e) pode admitir a solução nula + y + z k k + y + z + y z k + y + z k (k ) k + y z k + y + z k (k ) k z 0 (k ) k y k z 0 Logo: se k 0 k, y k + z 0 V {( ; k + ; 0)} ; esek 0 k, y z 0 V {( α; α; 0) R, α R}. Questão O número de filas diferentes que podem ser formadas com homens e mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos, é: a) 96 b) 7 c) 48 d) 84 e) 0
matemática 4 O número total de filas que podem ser formadas sem restrições é 5! 0. Porém devemos descontar o número de filas onde os homens ficam juntos, ou seja, 4!! 48. Logo o número de filas onde os homens não ficam juntos é0 48 7. Questão 4 Dois prêmios iguais são sorteados entre 6 pessoas, sendo 4 homens e mulheres. Supondo que uma mesma pessoa não possa ganhar os prêmios, a probabilidade de pelo menos um homem ser sorteado é: a) 5 b) 7 c) 4 d) e) 8 6 8 5 4 9 Os prêmios podem ser dados para 6 5 pares de pessoas, sendo que em oportunidade nenhuma delas é homem. Conseqüente- mente, a probabilidade pedida é 4 5 5. Questão 5 Se a reta de equação (k k )+ y + + k k 0 passa pela origem e é perpendicular à reta de equação + 4y 0,ovalor de k + é: a) b) c) d) e) Como a reta de equação (k k ) + y + + k k 0 y (k k) k + k + 0 passa pela origem, temos k k 0 k ou k. Visto que esta reta é perpendicular à reta de equação + 4y 0 y 4 +, seu coeficiente angular é k k 4 4 k k 4 0 k ou k 4. Logo k ek + ( ) +. Questão 6 Por um ponto P que dista 0 do centro de uma circunferência de raio 6 traçam-se as tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência são A e B,então a medida do segmento AB é igual a: a) 9,6 b) 9,8 c) 8,6 d) 8,8 e) 0,5 Na figura anterior, temos: OA OB 6, OP 0 e OA + AP OP 6 + AP 0 AP 8. Assim, OP AM OA AP 0 AM 6 8 AM 4,8eAB AM 9,6. Questão 7 Na figura, o triângulo ABC é eqüilátero e o segmento BD é perpendicular ao plano do triângulo. Se Méoponto médio de AC e a medida de BD é a metade da medida do lado do triângulo, então o ângulo MDB mede: a) 45 o b) 0 o c) 60 o d),5 o e) 5 o
matemática 5 Como o segmento BD é perpendicular ao plano do triângulo eqüilátero ABC, o triângulo MBD é retângulo de catetos BD AB AB ebm. BD Assim, de tg(mdb ) BM 60 o. Questão 8, temos m(mdb ) Considere o recipiente da figura, formado por um cilindro reto de raio e altura 0, com uma concavidade inferior na forma de um cone, também reto, de altura e raio de base. O volume de um líquido que ocupa o recipiente até a metade de sua altura é igual a: a) 89π b) 7π c) 64π d) 48π e) 44π Questão 9 Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é: a) 8 π b) 4 π c) 6 π d) π e) 8π Seja a a aresta do cubo. Sendo a área total do cubo igual a 8, temos 6a 8 a. Como o diâmetro R da esfera é igual à diagonal do cubo, R a R. Assim o volume da esfera é 4 π R 4. π Questão 0 Se os pontos que representam os compleos z a + biew c + di, com a.b.c.d 0, pertencem a uma mesma reta que passa pela origem, então z é sempre igual a: w a) a c b) a c c c) a(c ) d) a e) ac Como a altura do cone é menor do que a metade da altura do cilindro, o volume do líquido é igual a 0 π π 45π π44π. Como a b c d 0, a reta que contém ambas as imagens dos compleos admite equação y m, m R. z Logo b ma e d mc e, portanto, w a + ma i c + mc i a( + mi) c( + mi) a c.