SISTEMAS DE MANUTENÇÃO E CONFIABILIDADE TP077

SISTEMAS DE MANUTENÇÃO E CONFIABILIDADE TP077 6 DISPONIBILIDADE DE EQUIPAMENTOS 6.1 INTRODUÇÃO Diversas teorias em confiabilidade pressupõem o descarte dos componentes de interesse após a primeira falha. Sendo assim, a modelagem estatística das características dos componentes é mantida em um nível básico de complexidade, entretanto, na prática, grande parte de equipamentos e maquinários são projetados para operar sofrendo algum tipo de manutenção devido ao seu custo, caso seja descartado. Definem-se equipamentos (e sistemas) reparáveis como sendo aqueles que ações de manutenção podem ser aplicadas, durante um intervalo de tempo. Basicamente as ações de manutenção podem ser divididas em duas classes: ações corretivas e ações preventivas. A manutenção corretiva é efetuada após a falha do equipamento com o objetivo de trazê-lo de volta ao estado operante no menor tempo possível. A manutenção preventiva ocorre antes da falha do equipamento, sendo constituída de ações como lubrificação, reposição de partes (componentes) e pequenos ajustes com o objetivo de aumentar a confiabilidade do equipamento, retardando assim, a ocorrência de falhas. A medida de eficiência das ações de manutenção corretiva é feita pela disponibilidade do equipamento, sendo a mesma representada pela probabilidade de o equipamento estar operante quando necessitado. Em contrapartida, a eficiência das ações de manutenção preventiva é avaliada pelo incremento resultante na confiabilidade do equipamento. O objetivo principal em relação a equipamentos reparáveis submetidos a ações de manutenção corretiva, recai principalmente na determinação de medidas de disponibilidade para esses equipamentos, além de algumas informações derivadas do cálculo da disponibilidade. De posse dessas informações, é possível determinar a frequência de utilização da equipe responsável pelos reparos e seu número ideal de integrantes, bem como o número de peças de reposição a serem mantidas em estoque, de forma a minimizar o custo total do sistema de manutenção. Existem duas abordagens bem difundidas para a determinação da disponibilidade em equipamentos: (1) Baseada em processos estocásticos; (2) Baseada em equações diferenciais. A primeira, baseada nos processos estocásticos que compõe a teoria da renovação, é a mais genérica, modelando equipamentos em que a intensidade de ocorrência de falhas e a intensidade com que reparos são feitos apresentam ou não dependência entre si. A segunda abordagem, baseada em equações diferenciais, é mais restrita, limitando-se a situações em que a intensidade de ocorrência de falhas e reparos é independente. 6.2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 1

Os tempos até falha de equipamentos não-reparáveis são descritos pela distribuição de probabilidade de uma única variável aleatória. Esses equipamentos apresentam, assim, uma única falha no tempo. O momento no tempo em que a falha ocorre depende da função de risco do equipamento, h(t), que modela a ocorrência temporal das falhas. Se h(t) é decrescente, existe uma maior chance de falha prematura do equipamento; caso contrário, a falha ocorre mais tarde. Esses dois cenários estão apresentados na Figura 20. FIGURA 20 FUNÇÕES DE RISCO DECRESCENTE E CRESCENTE PARA EQUIPAMENTOS NÃO REPARÁVEIS FONTE: FOGLIATTO; RIBEIRO (2009) Em equipamentos reparáveis, falhas ocorrem em diversos pontos no tempo. A ocorrência das falhas é descrita por uma função de intensidade, análoga à função de risco h(t). Valores altos da função de intensidade indicam uma maior probabilidade de falhas. Se a função de intensidade é decrescente, diz-se que o equipamento apresenta melhoria; caso contrário, diz-se que o equipamento apresenta deterioração (de seu estado funcional). Esses dois cenários, similares aos da Figura 20, estão apresentados na Figura 21. A Figura 20 traz dois exemplos de realização da variável aleatória tempo até falha em um equipamento não-reparável. Cada realização consiste na ocorrência de exatamente uma falha. Em contrapartida, a Figura 21 traz dois exemplos de realização de uma sequência de variáveis aleatórias em um equipamento reparável; essas variáveis são o tempo até a primeira falha, tempo até a segunda-falha, e assim por diante. Os tempos até falha em equipamentos reparáveis são descritos por processos 2

probabilísticos caracterizados por uma sequência de variáveis aleatórias. Tais processos são denominados processos estocásticos. FIGURA 21 FUNÇÕES DE INTENSIDADE DECRESCENTE E CRESCENTE PARA EQUIPAMENTOS REPARÁVEIS FONTE: FOGLIATTO; RIBEIRO (2009) Os processos estocásticos citados pertencem à categoria dos processos de renovação. Nesses processos, as falhas no equipamento reparável ocorrem nos tempos T 1, T 2,..., e os tempos até reparo R 1, R 2,..., do equipamento podem ser tratados de duas maneiras distintas. Uma das maneiras é desconsiderando o tempo de reparo do equipamento, que pode ser considerado muito pequeno frente ao tempo médio entre as falhas (MTBF) dos equipamentos, sendo este processo de renovação denominado de simples. No entanto, quando os tempos de reparo são considerados para uma modelagem do desempenho do equipamento, o processo de renovação é denominado de alternante. PRINCIPAIS MEDIDAS DE PROCESSOS DE RENOVAÇÃO SIMPLES 1) Número de falhas entre o início da operação do equipamento e um tempo t; a. Notação - (N(t)) i. Objetivo da medida planejar o número de ações de manutenções corretivas no equipamento e provisionar materiais e mão-de-obra necessários para o mesmo. 3

2) Comportamento dos tempos X 1, X 2,..., até falha. a. Notação X i -> é definido como tempo transcorrido entre o final do reparo do equipamento após a falha (i - 1) e a ocorrência da falha i. i. Objetivo da medida Visualização do impacto do tempo de uso do equipamento na velocidade de sua degradação. Por exemplo, se os tempos entre falhas do equipamento diminuírem, tem-se indícios da degradação do equipamento, e medidas de manutenção preventivas devem ser associadas às ações de manutenção corretivas. PRINCIPAIS MEDIDAS DE PROCESSOS DE RENOVAÇÃO ALTERNANTES 1) Medida de disponibilidade do equipamento; i. Objetivo da medida informar o desempenho do equipamento e do próprio processo produtivo. 2) Tempo médio de reparos i. Objetivo da medida permite dimensionar a equipe de manutenção. PROCESSOS DE RENOVAÇÃO DEFINIÇÃO: uma renovação ocorre sempre que o equipamento voltar a funcionar, isto é, quando o reparo estiver completo. FUNÇÃO CONTADORA N(t): Informa o número de renovações no período (0, t]. Considerando os tempos de reparo desprezíveis, tem-se que o tempo até a k-ésima renovação é igual a soma do tempo até a k-ésima falha, ou seja, T k = X 1 + X 2 + + X k (70) que representa a soma dos tempos entre as falhas até a falha k. A função N(t) pode ser definida, para t > 0, como N(t) = máx{k T k t} (71) O interesse recai sobre o valor esperado de N(t), ou seja, E[N(t)] = Λ(t) denominada de função de renovação do processo. A derivada da função de renovação corresponde a taxa de falhas do processo, representada por λ(t). 4

CONDIÇÕES PARA UM PROCESSO DE RENOVAÇÃO (1) N(0) = 0; (2) O processo apresenta incrementos independentes; (3) Os tempos até falha (X 1, X 2, ) e os tempos até reparo (R 1, R 2, ) são variáveis aleatórias não-negativas independentes e identicamente distribuídas; VARIÁVEIS DE INTERESSE NOS PROCESSOS DE RENOVAÇÃO (1) T k = (X 1 + R 1 ) + (X 2 + R 2 ) + + (X k + R k ) (Tempo até a k-ésima renovação) a. Onde: R k = k ésimo tempo de reparo (2) N(t) = máx{k T k t} (Número de renovações) (3) E[N(t)] = Λ(t) (Função de renovação) (4) λ(t) = Λ (Função de intensidade Correspondente a f.d.p. da renovação) t A função de renovação Λ(t) é dada pelo valor esperado do número de renovações até a k-ésima falha. Esse número, por sua vez, é função da soma de tempos até falha (X) e tempos até reparo (R) do equipamento. Considerando que as variáveis aleatórias X e R podem assumir qualquer distribuição de probabilidade, a determinação da distribuição que caracteriza sua soma pode não ser uma tarefa trivial. A especificação da função de renovação, em aplicações em que X e R assumem distribuições simples como a exponencial, envolve a utilização de transformadas de Laplace. À medida que o número de parâmetros das distribuições de X e R aumenta, a derivação analítica da função de renovação torna-se inviável, e o número esperado de renovações no equipamento pode ser aproximado utilizando integração numérica ou técnicas de simulação. A função de renovação Λ(t) escrita no domínio de Laplace é dada por Λ (s) = w (s)g (s) s[1 w (s)g (s)] (72) ONDE: w (s) = função densidade de probabilidade w(s) das variáveis X no domínio de Laplace; g (s) = função densidade de probabilidade g(s) das variáveis R no domínio de Laplace. A função de densidade de renovação é dada por λ(s) = w (s)g (s) 1 w (s)g (s) (73) 5

QUADRO 1 ALGUMAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE EXEMPLO: Um sensor eletrônico exibe uma intensidade de falhas constante. O tempo até reparo do equipamento pode ser considerado desprezível se comparado ao seu tempo médio entre falhas (ou seja, R = 0). Assim, o tempo entre renovações segue uma distribuição exponencial com densidade de probabilidade dada por f(t) = λe λt. Deseja-se determinar o número esperado de renovações no intervalo (0, t]. EXEMPLO: Considere o mesmo equipamento do exemplo anterior, com intensidade constante de ocorrência de renovações dada por 8 10 4 renovações/hora. Deseja-se determinar qual o número esperado de renovações no equipamento em um ano de operação. 6.3 MEDIDAS DA DISPONIBILIDADE EM COMPONENTES INDIVIDUAIS O conceito de disponibilidade de um equipamento pressupõe períodos de operação e reparo não-desprezíveis. Assim, o estudo da disponibilidade de equipamentos pressupõe um processo de ocorrência de falhas e reparos durante sua operação, representado na figura 22. Tal figura ilustra que a disponibilidade do equipamento é dada pela razão dos tempos X e R. OBS.: Em situações em que o tempo até reparo for considerado desprezível, a disponibilidade do equipamento, para uma dada missão de duração t, será de 100%. 6

ESTADO DE UM EQUIPAMENTO: é representado por uma variável binária X(t). Quando X(t) = 0, o equipamento está inoperante para um dado tempo t e quando X(t) = 1, o equipamento está operante para um dado tempo t. Durante a vida de um equipamento, espera-se que os valores de X(t) alternem-se entre 0 e 1. O equipamento estará disponível sempre que X(t) = 1. Assim, uma medida de desempenho do equipamento é dada pela fração do tempo em que este encontra-se no estado igual a 1. FIGURA 22 REALIZAÇÃO DO PROCESSOO DE FALHAS E REPAROS FONTE: FOGLIATTO; RIBEIRO (2009) A disponibilidade pode ser definida como a probabilidade de o equipamento estar funcionando em um determinado tempo t. FORMAS DE SE MEDIR A DISPONIBILIDADE (1) DISPONIBILIDADE PONTUAL: é a probabilidade de o equipamento estar funcionando em um determinado tempo t. A(t) = P[X(t) = 1] = E[X(t)], t > 0 (74) (2) DISPONIBILIDADE ASSINTÓTICA: pode ser interpretada como a disponibilidade de longo prazo. A(t) = lim t A(t) (75) EXEMPLO: Se A = 0,85, pode-se concluir, a longo prazo, que o equipamento estará operante 85% do tempo. (3) DISPONIBILIDADE MÉDIA NO INTERVALO [0, c): corresponde à fração média de tempo em que o equipamento está operando nas primeiras c unidades de tempo após o início de sua operação. A c = 1 c A(t)dt, c > 0 c 0 (76) 7

(4) DISPONIBILIDADE MÉDIA ASSINTÓTICA NO INTERVALO [0, c): possui o mesmo conceito que a disponibilidade assintótica do equipamento. A c (t) = lim c A c (77) CÁLCULO DA DISPONIBILIDADE DO EQUIPAMENTO NO DOMÍNIO DE LAPLACE A equação da disponibilidade de um equipamento no domínio de Laplace é dada por A (s) = 1 w (s) s[1 w (s).g (s)] (78) ONDE: w (s) = função densidade de probabilidade w(s) das variáveis X no domínio de Laplace; g (s) = função densidade de probabilidade g(s) das variáveis R no domínio de Laplace. A disponibilidade assintótica do equipamento é dada por A = lim t A(t) = lim s 0 s A (s) (79) Em muitas aplicações, o valor de A(t) converge rapidamente para A à medida que t aumenta. Prova-se que, nos casos em que a disponibilidade assintótica existe, a seguinte aproximação é válida A = A MTTF MTTF+MTTR (80) ONDE: MTTF = representa o tempo médio até a falha do equipamento, ou seja, E(X); MTTR = representa o tempo médio até o reparo do equipamento, ou seja, E(R). OBS.: Sempre que o cálculo de A(t) for complexo, a equação (80) pode ser utilizada como uma aproximação do seu valor. Vale ressaltar que a equação (80) dará um resultado exato somente quando a taxa de ocorrência de falhas e de reparos for constante. 8

EXEMPLO: Um equipamento apresenta tempos até falha e tempos até reparo exponencialmente distribuídos, com funções de densidade dadas por w(t) = λe λt e g(t) = μe μt. Determinar: (a) A disponibilidade A(t) do equipamento; (b) Sua disponibilidade assintótica. EXEMPLO: Suponha que os parâmetros nas funções de densidade no exemplo anterior sejam dados por λ = 5 10 4 falhas/hora e µ = 3 10 2 reparos/hora. Determine (i) o número esperado de renovações a serem observadas no equipamento em um período de dois anos; e (ii) a disponibilidade do equipamento no final do segundo ano de operação. Compare a disponibilidade em (ii) com a disponibilidade assintótica do equipamento. EXEMPLO: Nos últimos seis meses, ocorreram dez falhas em uma máquina perfiladeira. Os dias em que ocorreram as falhas, os tempos até falha e o tempo (em dias) para reparo do equipamento vêm apresentados a seguir. Suponha tempos até falha e tempos até reparo exponencialmente distribuídos. Pede-se: (i) estimativas do MTTF e MTTR do equipamento; (ii) a disponibilidade do equipamento num período de seis meses; (iii) o número esperado de renovações durante um período de seis meses; (iv) a disponibilidade assintótica do equipamento. Falha Tempo até falha Tempo até reparo 1 5,8 0,2 2 32,8 0,6 3 3,1 0,4 4 13,2 1,9 5 7,4 0,3 6 2,6 0,9 7 23,1 0,1 8 31,9 3,7 9 22,1 3,3 10 16,9 0,1 6.4 MEDIDA DA DISPONIBILIDADE EM SISTEMAS Anteriormente, foi visto o cálculo da disponibilidade em sistemas de um único componente ou com componentes investigados de forma agregada. Para melhor avaliar os benefícios da utilização de redundância ou de diferentes estratégias de reparo, sistemas devem ser investigados considerando seus componentes individualmente. Sendo assim, torna-se importante a determinação da disponibilidade de sistemas de componentes arranjados em série e paralelo. Como a disponibilidade é representada por uma probabilidade, a disponibilidade de sistemas pode ser determinada utilizando as expressões de confiabilidade de sistemas em série e paralelo, pressupondo taxas de falha e reparo independentes para os componentes. 9

SISTEMAS EM SÉRIE Para sistemas em série, o cálculo da disponibilidade segue a lei do produto de probabilidades. Assim, n A(t) = i=1 A i (t) (81) onde A i (t) representa a disponibilidade pontual do i-ésima componente. Quando a taxa de falhas é constante, tem-se que a disponibilidade do componente é dada pela equação A i (t) = μ i (λ i +μ i ) + λ i (λ i +μ i ) e (λ i+μ i )t (82) Se o interesse da análise recai sobre a disponibilidade assintótica, tem-se A i ( ) = μ i (λ i +μ i ) (83) onde μ i e λ i são as taxas de reparos e de falhas do i-ésimo componente, respectivamente. Assim, para o cálculo da disponibilidade assintótica, a equação (81) pode ser reescrita como n μ i (λ i +μ i ) A( ) = i=1 (84) SISTEMAS EM PARALELO Para sistemas em paralelo, a disponibilidade do sistema é dada pela equação n A(t) = 1 i=1 [1 A i (t)] (85) Para o cálculo da disponibilidade assintótica, a equação (85) pode ser reescrita como n A( ) = 1 [1 i=1 μ i (λ i + μ i ) ] onde μ i e λ i são as taxas de reparos e de falhas do i-ésimo componente, respectivamente. 10

EXEMPLO: Considere dois componentes, i = 1 e 2, idênticos, apresentando uma razão entre as taxas de reparos e falhas dada por μ λ = 100. Deseja-se determinar as disponibilidades assintóticas para (i) cada componente individual; (ii) um arranjo em série contendo os dois componentes; e (iii) um arranjo em paralelo contendo os dois componentes. Exercícios: 1) Um torno mecânico tem um taxa de falha constate igual a 0,05 falha por dia. O seu tempo até reparo pode ser considerado desprezível. Sabendo que o torno trabalha 300 dias por ano, determine o número de renovações em um ano. 2) Os tempos entre renovações de um brunidor são distribuídos exponencialmente, sendo o tempo médio igual a 40 dias. Considere R = 0 para determinar o número de falhas por mês dessa máquina. 3) Sabendo que o MTTF de um torno é igual a 45 dias, e o seu MTTR é igual a 1,5 dia, determine sua disponibilidade. 4) Considere o torno do exercício anterior. Determine sua disponibilidade média no intervalo (0,27] e sua disponibilidade média assintótica nesse mesmo intervalo. 5) A tabela a seguir lista dados de 15 falhas (em dias) de um equipamento. Determine a disponibilidade deste equipamento. Falha Tempo até falha Tempo até reparo 1 7,1 0,3 2 4,8 0,5 3 16,8 1,2 4 22,4 0,8 5 17,3 0,9 6 6,5 1,5 7 15,2 0,2 8 12,2 0,6 9 3 0,3 10 18,2 0,8 11 29,9 2,4 12 13,4 1,1 13 10,2 0,6 14 5,7 3,8 15 2,9 0,4 6) Supondo que as duas distribuições do exercício anterior sejam exponenciais, determine o número esperado de falhas em um mês. 11

7) Um equipamento apresenta tempo até falha e tempo até reparo distribuídos exponencialmente, e dados, respectivamente, por: w(t) = 0,025e 0,025t e g(t) = 0,8e 0,8t. Calcule o número esperado de falhas e a disponibilidade do equipamento no instante t = 90 dias e a sua disponibilidade assintótica. 8) Para o equipamento do exercício anterior, determine a disponibilidade média e qual o número de falhas esperado nesse mesmo intervalo. 9) Três equipamentos idênticos estão arranjados em série e apresentam o tempo médio até a falha 20 vezes maior que o tempo médio até reparo. Calcule a disponibilidade assintótica do sistema. 10) Se os equipamentos do exercício anterior estivessem em paralelo, qual seria a disponibilidade assintótica? 11) Determine a disponibilidade de um sistema composto por oito máquinas iguais. As máquinas apresentam µ = 0,8 e λ = 45 e estão distribuídas em um sistema série-paralelo com n = 2 e m = 4. 12) Três equipamentos em série apresentam tempo até falha e tempo até reparo seguindo uma distribuição exponencial. Seus MTTF e MTTR (em dias) são dados na tabela a seguir: Equipamento MTTF MTTR 1 60 1 2 45 2,5 3 80 4 Calcule a disponibilidade assintótica desse sistema. 13) Considere que os equipamentos do exercício anterior estejam em paralelo. Determine a disponibilidade para essa disposição. 12