Definição (R n 1 a Parte R n é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais. (1,, R Paulo Goldfeld Marco Cabral (1, (, 1 R Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Soma em R n Multiplicação por Escalar em R n Definição (Soma em R n Definição (multiplicação por escalar u + v = (u 1, u,..., u n + (v 1, v,..., v n = (u 1 + v 1, u + v,..., u n + v n Propriedades da Soma em R n comutativ.: u + v = v + u, associativ.: (u + v + w = u + (v + w, u, v, w elemento neutro: t.q. u + = u u inverso aditivo: dado u, ( u t.q. u + ( u = αu = α(u 1, u,..., u n = (αu 1, αu,..., αu n Propriedades da Multiplicação por Escalar em R n (αβu = α(βu, α, u elemento neutro: 1u = u, u Propriedades Distributivas de R n α(u + v = αu + αv, α, u, v (α + βu = αu + βu, α, β, u Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 6 Representações Gráficas Soma de Vetores (, (, u = (u 1, u (, (1,, v = (v 1, v w = u + v = (u 1 + v 1, u + v 1 w = u + v = (u 1 + v 1, u + v w = u + v = (v 1 + u 1, v + u Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 6 Regra do Triângulo Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 6 Regra do Paralelogramo Somando Vários Vetores Multiplicação por Escalar v = (v 1, v w = αv = (αv 1, αv α > 1 < α < 1 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 6 α < Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 6
Definição (espaço vetorial Conjunto (de vetores no qual estão definidos uma soma vetorial e uma multiplicação por escalar. Definição (escalar Axiomas da soma vetorial comutativ.: u + v = v + u, associativ.: (u + v + w = u + (v + w, u, v, w elemento neutro: t.q. u + = u u inverso aditivo: dado u, ( u t.q. u + ( u = Escalares são um conjunto de números no qual estão bem definidas as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Neste curso, entenderemos sempre por escalar um número real. Axiomas da multiplicação por escalar (αβu = α(βu, α, u elemento neutro: 1u = u, u Axiomas distributivos α(u + v = αu + αv, α, u, v (α + βu = αu + βu, α, β, u Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 6 Exemplo 1 Exemplo R n P n = {polinômios a + a 1 x + + a n x n } ( ( Soma vetorial: a i x i + b i x i = (a i + b i x i ( Multiplicação por escalar: α a i x i = (αa i x i Observação: (x = x i Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 6 Exemplo Subespaço Vetorial F = {funções de R em R} Definição (Subespaço Vetorial Soma vetorial: (f + g(x = f (x + g(x x Multiplicação por escalar: (αf (x = α (f (x x Observação: (x = x Subconjunto de um espaço vetorial que também é espaço vetorial. Lema (Primeira Caracterização de Subespaço H V é subespaço vetorial se H, H é fechado para a soma vetorial e H é fechado para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 6 Subespaço Vetorial Exemplos Subespaço Vetorial Exemplo 4 1 V V é subespaço vetorial de V. H = {(x, y,, x, y R} R é subspaço. {} V é subespaço vetorial de V. (,, H. Seja u V. H = {v V v = αu, α R} é subespaço de V. Sejam (x 1, y 1,, (x, y, H. Então (x 1, y 1, + (x, y, = (x 1 + x, y 1 + y, H. H v 1 = α 1 u, v = α u v 1 + v = (α 1 + α u H Sejam (x, y, H e α R. Então α(x, y, = (αx, αy, H. v = αu, β R βv = (βαu H Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 6
Subespaço Vetorial Contra-exemplo 4 Subespaço Vetorial Exemplo 5 H = {(x, y, 1, x, y R} R não é subspaço. P n F é subespaço (de F (,, H. Sejam (x 1, y 1, 1, (x, y, 1 H. Então (x 1, y 1, 1 + (x, y, 1 = (x 1 + x, y 1 + y, H. Sejam (x, y, 1 H e α R. Então α(x, y, 1 = (αx, αy, α H, se α 1. É espaço vetorial com soma e multiplicação de P n, mas é espaço vetorial com soma e multiplicação de F Sejam p(x = a i x i, q(x = b i x i. Então (p + q(x = p(x + q(x = n a ix i + n b ix i F = n (a i + b i x i = (p + q(x x R Pn Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 6 Subespaço Vetorial Exemplo 6 Combinação Linear H = {p P p(1 = } P é subespaço. Definição (combinação linear H. v é combinação linear de v 1, v,..., v p se pode ser expresso como Sejam p, q H. Como p(1 = q(1 =, então (p + q(1 = p(1 + q(1 =. Sejam p H e α R. Como p(1 =, então (αp(1 = α(p(1 =. v = α 1 v 1 + α v + + α p v p = onde α i s são escalares. α i v i, (, = (1, 1 + (, = 1(1, 1 (, (, 4 α(1, 1 + β(, α, β Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Combinação Linear Mais Exemplos Combinação Linear Ainda Mais Exemplos x x + 4x = (x + x (x x x + x + 1 α(x + x + β(x x α, β (, 1, 7 é c.l. de (1,,, (4, 5, 6 e (7, 8, 7 Sim. α(1,, + β(4, 5, 6 + γ(7, 8, 7 = ((α + 4β + 7γ, (α + 5β + 8γ, (α + 6β + 7γ = (, 1, 7 5 8 1 6 7 7 1α +4β +7γ = α +5β +8γ = 1 α +6β +7γ = 7 6 7 1 5.5 1 8 1.5 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Combinação Linear Trivial Definição (combinação linear trivial Definição (conjunto gerado = v 1 + v + + v p O conjunto gerado por v 1, v,..., v p é o conjunto de todas as combinações lineares de v 1, v,..., v p. { } α i R, i = 1,,..., p v 1, v,..., v p = α i v i Definição (conjunto gerador {v 1,..., v p } gera (é gerador de o conjunto S se v 1,..., v p = S. Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 6
Exemplos Outro Exemplo (1,,, (, 1, = {(x, y, x, y R} = R (x 1, x(x 1,..., x n 1 (x 1 = {p P n p(1 = } ( n 1 n 1 p(x = (x 1 a i x i = a i (x i (x 1 φ φ 1 φ φ φ,..., φ = funções tipo Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 6 Observação 1 vetor vetores vetores Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto vazio ( de vetores é {}. Isto é consistente com a convenção de que v i =. Observação caso típico caso típico caso típico O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é um subespaço. De fato, sejam u = u i v i, w = w i v i. H, u + w = (u i + w i v i, αu = (αu i v i redundância redundância Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 6 redundância : um vetor é c.l. dos demais, v k = α i v i i k α 1 v 1 +... + 1 v k 1 1v k + +1 v k+1 +... + α p v p = Se pode ser expresso como c.l. não-trivial dos v i s, α i v i =, com, então, dividindo-se por (, pode ser expresso como c.l. não-trivial dos v i s. α 1 v 1... 1 v k 1 1v k +1 v k+1... αp v p = Vale a volta e portanto v k = i k α i v i. Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Definição (dependência linear Definição (independência linear Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD se existe um vetor que é c.l. dos demais ou, equivalentemente, se o vetor nulo pode ser expresso como c.l. não-trivial destes vetores. Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI se ele não é LD ou, equivalentemente, se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l. destes vetores é com uma c.l. trivial. Convenção O conjunto vazio é dito LI. Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6
Exemplos Teorema (caracterização dos conjuntos LD Os vetores v 1, v,..., v p são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, v k = α i v i. i<k Prova Se: trivial. Só se: seja k 1 mínimo tal que v 1, v,..., v k são LD. Seja k α ivi = c.l. não-trivial. Se fosse zero, k 1 α iv i = seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, e v k = k 1 α i v i. {v 1, v, v } = {(1,,, (,, 4, (, 4, 5} é LD. De fato, v 1 v + v =. {v 1, v, v } é LD, onde v 1 (x = sin(x. v (x = sin(x e v (x = sin(x cos(x De fato, v v =, isto é, sin(x sin(x cos(x = x R. {1, t,..., t n } é LI. De fato, a + a 1 t + + a n t n = t a i = i. Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 6 Exemplos Exemplos (1,,, (4, 5, 6 e (7, 8, 7 é LI Sim. (1,,, (4, 5, 6 e (7, 8, 9 é LI Não. α(1,, + β(4, 5, 6 + γ(7, 8, 7 = ((α + 4β + 7γ, (α + 5β + 8γ, (α + 6β + 7γ = (,, α(1,, + β(4, 5, 6 + γ(7, 8, 9 = ((α + 4β + 7γ, (α + 5β + 8γ, (α + 6β + 9γ = (,, 5 8 6 7 1α +4β +7γ = α +5β +8γ = α +6β +7γ = 6 5 8 6 9 1α +4β +7γ = α +5β +8γ = α +6β +9γ = 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 6 Álgebra Linear II 8/ Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 6