Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados. 3. Efeitos de um terceiro pólo e um zero na resposta de um sistema de segunda ordem

Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados 1. Sinais de teste 2. Desempenho de sistemas de segunda ordem 3. Efeitos de um terceiro pólo e um zero na resposta de um sistema de segunda ordem 4. Estimação do Coeficiente de Amortecimento 5. Localização das raízes no plano-s e sua relação com a resposta transitória pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas Realimentados Análise da Resposta Temporal de Sistemas de Controle A resposta temporal de um sistema de controle é dividida em duas partes: a resposta transitória, y t (t), e a resposta de regime permanente ou estado estacionário ( steady-state ), y( ): y(t) = y t (t) + y( ) pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas Realimentados Análise da Resposta Temporal de Sistemas de Controle A resposta transitória é definida como a parte da resposta que tende a zero quando o tempo tende a infinito: lim y t(t) = 0 t A resposta de estado estacionário é a parte da resposta que permanece quando a resposta transitória iguala a zero, podendo ser constante ou podendo ser um sinal que varia no tempo com padrão constante, como um sinal senoidal de amplitude, freqüência e fase constante, ou um sinal tipo rampa com inclinação constante. pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas Realimentados Especificações de Desempenho? Pode-se incluir vários índices de resposta temporal para uma entrada de comando específica bem como uma precisão em regime permanente esperado Especificações concorrentes? No geral sim... O que fazer? Compromisso entre características desejadas que é obtido após ajustes sucessivos No controle clássico: tentativa e erro... pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Sinais de Teste Impulso Unitário, δ(t) Propriedades δ(t)dt = 1 e g(t τ)δ(τ)dτ = g(t) Considerando um diagrama de bloco padrão com entrada r(t) = δ(t) r(t) R(s) g(t) G(s) y(t) = R t 0 Y (s) = G(s)R(s) g(t τ)r(τ)dτ então a integral tem um valor apenas em τ = 0 e portanto y(t) = g(t), sendo g(t) (G(s)) a resposta impulsiva pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Sinais de Teste Degrau r(t) = A t > 0 0 t < 0 R(s) = A/s Rampa r(t) = At t > 0 0 t < 0 R(s) = A/s 2 Parabólica r(t) = At 2 /2 t > 0 0 t < 0 R(s) = A/s 3 pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas Resposta Transitória do Sistema de Primeira Ordem Considere o sistema de primeira ordem G 1 (s) = Y (s) R(s) = k s+a Para uma entrada tipo impulso unitário, a saída do sistema é Y (s) = G 1 (s)r(s) = k s + a 1 y(t) = L 1 {Y (s)} = g 1 (t) = ke at Considere p = a o pólo de G 1 (s) Importância da localização do pólo e especificação da resposta temporal? Se p < 0, então lim t y(t) = 0. Se p = 0, então y(t) = 1. Se p > 0, então lim t y(t) = pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas Resposta Transitória do Sistema de Primeira Ordem Para uma entrada tipo degrau unitário, a resposta do sistema é Y (s) = G 1 (s)r(s) = k s + a 1 s = k s(s + a) = k/a s k/a s + a y(t) = L 1 {Y (s)} = k a (1 e at ) Quando p = a < 0, o valor τ = 1/a é a constante de tempo do sistema e corresponde a 63% do transitório, conforme mostrado na figura a seguir pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas Resposta Transitória do Sistema de Primeira Ordem y(t) inclinação = 1/τ 1 95,0% 98,2% 99,3% 0.75 0.632 63,2% 0.5 0.25 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ t pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Considere um sistema de segunda ordem G 2 (s) = Y (s) E(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s Quando interconectado com realimentação unitária obtém-se Y (s) = ω 2 n R(s) s 2 + 2ζω n s + ωn 2 para R(s) = 1/s Y (s) = ω 2 n s(s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ) pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem A resposta temporal (aula 1) é dada por: y(t) = 1 e ζω nt β = 1 e ζω nt β (βcos ω n βt + ζsen ω n βt) (sen ω n βt + θ), θ = cos 1 ζ, 0 < ζ < 1 Sendo β = 1 ζ 2 Para entrada impulso unitário (derivada da resposta a entrada degrau...): Y (s) = ω 2 n (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ) e y(t) = ω n β e ζω nt (sen ω n βt) pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Para o sistema de 2a. ordem G(s) = ω 2 n s 2 +2ζω n s+ω 2 n Os pólos do sistema são dados p 1, p 2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 pólo X jω Plano - S θ ω = ω 1 ζ2 d n α = ζω n σ pag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem O sistema de segunda ordem pode ser classificado de acordo com o valor de ζ que define o tipo dos pólos do sistema: ζ = 0 p 1, p 2 = ±jω n não-amortecido p 0 < ζ < 1 p 1, p 2 = ζω n ± jω n 1 ζ2 = α ± jω d subamortecido ζ = 1 p 1, p 2 = ±ω n criticamente amortecido p ζ > 1 p 1, p 2 = ζω n ± ω n ζ2 1 superamortecido p ζ < 0 p 1, p 2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 instável ( ζω n > 0) pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Resposta do Sistemas de Segunda Ordem y(t) 2 1.8 ζ = 0,1 ζ = 0,2 ζ = 0 1.6 1.4 ζ = 0,4 ζ = 0,7 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ζ = 2 ζ = 1 0 0 2 4 6 8 10 12 ω t n pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Especificações de Resposta Transitória 1. tempo de subida t r ( rise time ): é o tempo necessário para a sinal de saída variar de 10% a 90% (sistemas sobre-amortecidos) ou de 0% a 100% (sistemas subamortecidos) do valor final 2. tempo de acomodação t a (ou settling time t s ): é o tempo gasto para o sinal acomodar na faixa de ±2% a ±5%) do valor final 3. sobre-sinal máximo percentual M p ( overshoot ): diferença entre o valor máximo de pico atingido e o valor final em percentual do valor final 4. tempo do primeiro pico t p : instante de tempo em que ocorre o sobre-sinal máximo do sinal 5. tempo de atraso t d ( delay time ): é o tempo para o sinal alcançar 50% do valor final pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Especificações de Resposta Transitória 1.4 1.05 1 0.95 0.9 M p e ss y(t) t r 0.5 0.1 0 td t s t pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Especificações de Resposta Transitória Veja que se convencionar 2% para tolerância no tempo de acomodação, t a, a envoltória da resposta é então limitada por e ζω nt a < 0.02 t a = 4τ = 4 ζω n pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Especificações de Resposta Transitória M p e t p são pontos de máximo especificados em termos de ζ portanto dy(t) basta considerar = 0... dt dy(t) dt = 1 β ζω ne ζω nt [βcos(ω n βt) + ζsen(ω n βt)] + 1 β β2 ω n sen(ω n βt)e ζω nt 1 β ζω nβcos(ω n βt)e ζω nt = ( ) 1 β ζ2 ω n + βω n e ζωnt sen(ω n βt) = ζ2 ω n + (1 ζ 2 )ω n β = ω n β e ζω nt sen(ω n βt) e ζω nt sen(ω n βt) pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Especificações de Resposta Transitória Então dy(t) dt = ω n β e ζω nt sen(ω n βt) = 0 Logo para que dy/dt = 0, sen(ω n βt) = 0... E isto ocorre no tempo de pico... ω n βt p = π t p = π ω n 1 ζ 2 pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Especificações de Resposta Transitória Do mesmo modo, veja que a sobre-elevação máxima ocorre exatamente no instante do tempo de pico, t p, logo M p = 1 1 β e ζω nt p [βcos(ω n βt p ) + ζsen(ω n βt p )] = 1 1 β e ζω n ωn π 1 ζ 2 [βcos(π) + ζsen(π)] M p = 1 + e ζπ/ 1 ζ 2 P.O. = 100e ζπ/ 1 ζ 2 pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Efeito de um Terceiro Pólo e/ou um Zero Efeito de um Terceiro Pólo na Resposta do Sistema de 2a. Ordem Por que analisar sistema de 2a. ordem? possuem um par de pólos dominantes Pelo fato que muitos sistemas Quando um sistema possui dois pólos complexos (oscilações sub-amortecidas) e um pólo real (resposta exponencial), a resposta total será uma combinação das duas, predominando aquela que for mais lenta (pólos mais próximos da origem) Para um sistema de 3a. ordem T(s) = 1 (s 2 + 2ζs + 1)(γs + 1), ω n = 1 Experimentalmente verifica-se que se 1/γ 10 ζω n então o desempenho do sistema pode ser determinado pelo desempenho de um sistema de 2a. ordem pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Efeito de um Terceiro Pólo - Resposta ao Degrau 1.6 2º ordem 1.4 1.2 p 3 = 10 p 3 = 2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 G(s) = p 3 = 1 p 3 = 0,5 5 2 (1/p 3 s + 1)(s 2 + 2s + 5 2 ) 0 0 1 2 3 4 5 6 pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior será uma combinação de respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segunda ordem: y(t) = A 0 + n 1 i=1 A i e σ it + n i=n 1 +1 A i e α it 1 ζ 2 i sen(ω d,i t + θ i ) O efeito dos zeros da função de transferência sobre a resposta transitória é que os mesmos tendem a atenuar o efeito dos pólos em suas proximidades, influenciando os coeficientes A i pólos aparentemente dominantes podem ter influência reduzida na resposta transitória devido a presença de zeros em suas proximidades pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros Exemplo Este efeito pode ser visto quando se inclui um zero em z = 0.4, próximo ao pólo em p = 0.5 para o sistema considerado anteriormente: T(s) = 5 2 (1/ps + 1)(s 2 + 2s + 5 2 ) A resposta do sistema de terceira ordem pode se obtida como: e t y(t) = 1 1.03e t 2 + 0.05 sen(4.899t + 1 0.2 2 78.46 ) e, quando incluído o zero próximo ao pólo real, a resposta torna-se: e t y(t) = 1 + 0.26e t 2 0.64 sen(4.899t + 1 0.2 2 78.46 ) onde nota-se claramente a mudança no peso de cada termo pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros 2 1.8 1.6 1.4 3 pólos e 1 zero 2 pólos y(t) 1.2 1 0.8 0.6 3 pólos 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 t Efeito de um zero próximo ao pólo real comparando as respostas transitórias de um sistema de segunda ordem com pólos em s = 1 ± j4.899, terceira ordem com pólo adicional em s = 0.5 e terceira ordem com zero em s = 0.4 pag.25 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

Estimação do Coeficiente de Amortecimento Meça P.O. e determina-se o valor correspondente do coeficiente de amortecimento no gráfico P.O. versus ζ, ou de P.O. = 100e ζπ/ 1 ζ 2 pag.26 Controle de Sistemas Lineares Aula 3

100 90 5.00 4.80 MASTER 58 Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. Percent maximum overshoot 80 70 60 50 40 30 20 10 Percent overshoot n T p 4.60 4.40 4.20 4.00 3.80 3.60 3.40 3.20 0 3.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 n T p Damping ratio, Figure 5.8 Peak overshoot and normalized peak time versus damping ratio for a second-order system (Eq. 5.8)

Localização das Raízes no Plano-s Resposta Transitória A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior será uma combinação de respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segunda ordem Y (s) = G(s)/R(s) = A 0 s + n 1 i=1 A i s + a i + n i=n 1 +1 A i ω 2 n,i s 2 + 2ζ i ω n,i s + ω 2 n,i cuja resposta temporal é dada por y(t) = A 0 + n 1 i=1 A i e σ it + n i=n 1 +1 A i e α it 1 ζ 2 i sen(ω d,i t + θ i ) Os pólos de G(s) definem o comportamento da resposta transitória Os zeros determinam os pesos relativos de cada modo pag.28 Controle de Sistemas Lineares Aula 3