Análise de Laplace Prof. André E. Lazzaretti lazzaretti@utfpr.edu.br
Introdução Objetivo principal: resolução de equações diferenciais; Similar à análise fasorial: transformação para o domínio da frequência; Vantagens da TL: Álgebra mais simples ; Permite analisar uma gama maior de circuitos; Condições iniciais; Resposta transitória e em regime do circuito com uma única operação.
Definição jω Transformada bilateral; F(s) é independente do tempo;
Exemplo 1 Calcule a transformada de Laplace das seguinte funções:
Tabela de Transformadas Definida para t 0 Incluir u(t)!
Propriedades Escala: Prova:
Deslocamento no tempo: Prova: Propriedades
Propriedades Deslocamento na frequência: Prova:
Propriedades:
Exemplo 2 Calcule a transformada de Laplace das seguinte funções (utilizando as propriedades):
Exemplo 3 Encontre os valores inicial e final da função cuja transformada de Laplace é:
Transformada Inversa Procedimento geral: Decompor F(s) em termos mais simples utilizando frações parciais; Utilizar a tabela para determinar a transformada inversa de cada termo.
Exemplo 4 Encontre transformada inversa de Laplace:
Definição: Integral de Convolução Consiste em inverter no tempo um dos sinais, deslocá-lo e multiplicá-lo ponto a ponto com o segundo sinal e integrar o produto. Visão geral: www.fit.vutbr.cz/study/courses/iss/public/demos/conv
Integral de Convolução Dobramento: pegue a imagem espelhada de h(λ) em relação ao eixo das ordenadas para obter h(-λ) Deslocamento: desloque ou atrase h(-λ) de t para obter h(t-λ) Multiplicação: determine o produto de h(t-λ) e x(λ) Integração: para um dado instante t, calcule a área sob o produto h(t-λ)x(λ) para obter y(t) em t.
Propriedades
Exemplo 5 Determine a convolução entre os sinais:
Exemplo 6 Determine a convolução entre os sinais:
Aplicações TL na resolução de circuitos; Equações diferenciais resolvidas no domínio da frequência (s); Teoria de sinais e sistemas: Sinal: Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Exemplos: tensão, corrente, sinal de voz, imagem, etc. Sistema: é um modelo matemático de um processo físico que estabelece uma relação entre entrada e saída. Exemplo: circuito elétrico.
Etapas: Modelos de Circuitos em s Transformar o circuito do domínio do tempo para o domínio s Resolver o circuito usando análise nodal, análise de malhas, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos Efetuar a transformada inversa da solução e, portanto, obter solução factível no domínio do tempo
Modelos de Circuitos em s
Modelos de Circuitos em s Assumindo as condições iniciais nulas:
Exemplo 7 Determine v 0 (t) no circuito a seguir, supondo as condições iniciais zero:
Exemplo 8 Determine v 0 (t) no circuito a seguir, supondo v 0 (0)=5V :
Exemplo 9 Determine i(t) no circuito a seguir para t>0, supondo que a chave move da posição a para a posição b em t=0:
Exemplo 10 Determine o valor da tensão no capacitor suponde que v s (t)=10u(t) e que em t=0 flui uma corrente igual a -1A através do indutor, e no capacitor tem uma tensão de +5V:
Exemplo 11 Suponha que não haja nenhuma energia armazenada no circuito da figura a seguir em t=0 e que i s (t)=10u(t)a. (a) Determine V 0 (s) usando o teorema de Thévenin. (b) Aplique os teoremas dos valores inicial e final para determinar v 0 (0 + ) e v 0 ( ). (c) Determine v 0 (t).
Função de Transferência A função de transferência H(s) é a razão entre a resposta de saída Y(s) e a excitação da entrada X(s), supondo que todas as condições iniciais sejam nulas: Diferentes casos:
Função de Transferência Quando a entrada é a função impulso unitário, X(s)=1, então: Y(s)=H(s) ou y(t)=h(t) Portanto: Que é chamada de resposta a um impulso unitário. Função de transferência: transformada de Laplace da resposta ao impulso. Uma vez conhecida h(t) ou H(s), podemos obter a resposta a qualquer entrada usando:
Exemplo 12 Determine a função de transferência H(s)=V 0 (s)/i 0 (s) do circuito a seguir.
Exemplo 13 Para o domínio s do circuito a seguir, determine: (a) a função de transferência H(s)=V 0 /V i. (b) a resposta ao impulso. (c) a resposta quando v i (t)=u(t). (d) a resposta quando v i (t)=8cos(2t) V.
Referências Principalmente: Notas de Aula do Prof. Dr. Alessandro Koerich (PUCPR): http://www.ppgia.pucpr.br/~alekoe/cir Charles K. Alexander; Matthew N. O. Sadiku; Fundamentos de Circuitos Elétricos; 5ª Edição J. David Irwin; Análise Básica de Circuitos Para Engenharia; 10ª Ed. Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin, William H. Hayt; Análise de Circuitos de Engenharia; 8ª Ed Robert Boylestad; Introdução À Análise de Circuitos; 12ª edição