MÉTODOS MATEMÁTICOS. Prof. Dr. Paulo H. D. Santos.

MÉTODOS MATEMÁTICOS Prof. Dr. Paulo H. D. Santos psantos@utfpr.edu.br

AULA 1 10/03/2015 Apresentação do Plano de Ensino; EDOs de 1ª Ordem Parte 1.

Sumário Conteúdo Programático Metodologia Avaliação Critério de Aprovação Data das Avaliações Referências Capítulo 1 - EDO de 1ª Ordem 1.1) Conceitos Básicos; 1.2) Equações Diferenciais Separáveis; 1.3) Equações Diferenciais Exatas. Métodos Matemáticos 3/48

Conteúdo Programático Métodos Matemáticos 4/48

Capítulo 1 1.1) Conceitos Básicos; 1.2) Equações Diferenciais Separáveis; 1.3) Equações Diferenciais Exatas; 1.4) Fatores de Integração; 1.5) Equações Diferenciais Lineares Capítulo 2 2.1) Equações Diferenciais de 2ª Ordem Lineares Homogêneas; 2.2) Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes; 2.3) Modelagem: Sistema Massa-Mola; 2.4) Equação de Euler- Cauchy; 2.5) Teoria da Existência e Unicidade (Wronskiano); 2.6) Equação Não-Homogênea; 2.7) Solução por Coeficientes Indeterminados; 2.8) Solução por Variação de Parâmetros; 2.9) Modelagem: Oscilação Forçada e Ressonância. Métodos Matemáticos 5/48

Capítulo 3 3.1) Método das Séries de Potência; 3.2) Teoria e Conceitos Básicos; 3.3.1) Equação de Legendre; 3.3.2) Polinômio de Legendre; 3.4) Método de Frobenius; 3.5) Equação e Função de Bessel; 3.6) Algumas Propriedades de J n (x); 3.7) Funções de Bessel de 2ª Espécie. Capítulo 4 4.1) Transformada de Laplace: Transformada, Inversão e Linearidade; 4.2.1) Derivadas e Integrais. 4.2.2) Equações Diferenciais e Problemas de Valor Inicial; 4.3) Deslocamento em s e t; 4.4) Diferenciação e Integração de Transformadas; 4.5) Convolução e Equações Integrais; Métodos Matemáticos 6/48

Capítulo 5 5.1) Séries de Fourier: Funções Periódicas e Séries Trigonométricas; 5.2.1) Séries de Fourier; 5.2.2) Ortogonalidade de um Sistema Trigonométrico; 5.3) Funções de Período p = 2L Qualquer; 5.4) Funções Pares e Ímpares. Capítulo 6 6.1) Equações Diferenciais Parciais: Definição; 6.2) Separação de Variáveis: Uso das Séries de Fourier; 6.3) Equação da Difusão: Solução por Séries de Fourier; 6.4) Membrana Circular: Uso das Séries de Fourier-Bessel. Métodos Matemáticos 7/48

Metodologia Métodos Matemáticos 8/48

Aulas expositivas do conteúdo programático com a utilização de recursos audiovisuais. Trabalhos para fixação do conteúdo. Métodos Matemáticos 9/48

Avaliação Métodos Matemáticos 10/48

As avaliações serão compostas por duas provas e listas de exercícios. As provas terão 70% de peso na avaliação. As listas de exercícios (entregues na data marcada) terão 30% de peso na avaliação. Um trabalho final deve ser apresentando no final do curso. Métodos Matemáticos 11/48

O conceito da disciplina será computado, de forma normalizada, através da média das avaliações e do trabalho: MF = Av1Av 2 Trab 3 Métodos Matemáticos 12/48

Data das Avaliações 1ª Avaliação: 16/04/15 2ª Avaliação : 26/05/15 Apresentação do Trabalho: 27/05/15 (Quarta-feira) e 28/05/15 Métodos Matemáticos 13/48

Trabalho Final 1. Será escolhido através de sorteio um método matemático; 2. Deve-se escolher um problema de um artigo de periódico ou de um livro para ser resolvido através do método matemático escolhido; 3. O modelo matemático deve ser implementado e simulado no software Maple; 4. O programa implementado deve ser impresso e os resultados devem ser apresentados no final do curso. Métodos Matemáticos 14/48

Referências Métodos Matemáticos 15/48

Referências 1. Hartman P. Ordinary differential equations, Wiley, 1964. 2. Ince E.L. Ordinary Differential Equations, 1920. 3. Figueiredo D. G, Equações Diferenciais Aplicadas, IMPA, 2009, Terceira Edição. 4. Soares M. Ordinary Differential Equations with Applications to Mechanics, Springer, 2007. 5. Agarwal R. and O'Regan D., Ordinary and Partial Differential Equations - With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems, Springer,2009. 6. Kreider, D. L.; Kuller, R. G.; Ostberg, D. R. e Perkins, F. W., (1972). 7. Introdução a Análise Linear, Vol. 1, e 3. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. 8. Figueiredo D. G, _Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA, 2010. 9. Lima E. L., Espaços Métricos, Terceira Edição, IMPA, 1993. 10. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10 Ed., 2011. Métodos Matemáticos 16/48

Capítulo 1 EDOs de 1ª Ordem Métodos Matemáticos 17/48

1.1) Conceitos Básicos O processo de criação de um modelo, obtenção da sua solução matemática e a interpretação dos resultado obtidos em termos físicos é chamado de modelagem matemática ou, resumidamente, modelagem. Muitas concepções físicas, tais como a velocidade e aceleração, são representadas por derivadas. Um modelo é muitas vezes uma equação (chamada de uma equação diferencial) contendo derivadas de uma função desconhecida. Métodos Matemáticos 18/48

1.1) Conceitos Básicos Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação que contém uma ou várias derivadas de uma função desconhecida, que costumamos chamar de y(x) (ou, por vezes, y(t) se a variável independente é tempo t). A equação y também pode conter funções conhecidas de x (ou de t) e constantes. Uma EDO é dita ser de ordem n, se a enésima derivada da função y desconhecida é a maior derivada de y na equação. O conceito de ordem dá uma classificação útil para as EDOs de primeira ordem, segunda ordem e assim por diante. Logo, (1) é de primeira ordem, (2) de segunda ordem e (3) de terceira ordem. Métodos Matemáticos 19/48

1.1) Conceitos Básicos Neste capítulo vamos considerar EDOs de primeira ordem. Tais equações contem apenas a primeira derivada y' e pode conter y e qualquer função de x. Portanto, podemos escrevê-la como (4) F(x, y, y ) = 0 ou nesta forma y = f (x, y). Esta é chamada de forma explícita, em contraste com a forma implícita (4). Por exemplo, a EDO implícita x 3 y 4y 2 = 0 (onde x 0) pode ser escrita na forma explícita: y = 4x 3 y 2. Métodos Matemáticos 20/48

1.1) Conceitos Básicos Uma função y = h(x) é chamada de uma solução para uma determinada EDO (4) num intervalo aberto a < x < b, se h(x) está definida e é diferenciável ao longo deste intervalo; Além disso, a equação se torna uma identidade se y e y são substituídas por h e h', respectivamente. A curva (gráfico) de h é chamada de curva da solução. Aqui, o intervalo aberto significa que os pontos finais a e b não são considerados como pontos pertencentes ao intervalo. Além disso, a < x < b inclui intervalos infinitos - <x <b, a <x <, <x < (a reta real) como casos especiais. Métodos Matemáticos 21/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 1: Solução por Cálculo (Curvas de solução). A EDO y = dy/dx = cos(x) pode ser resolvida diretamente por integração de ambos os lados. De fato, usando o cálculo obtemos y = cos(x)dx = sen(x) + c, onde c é uma constante arbitrária. Esta é uma família de soluções. Logo, cada valor de c, por exemplo: 2,75 ou 0 ou -8 dá uma dessas curvas abaixo (Fig. c = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4). Métodos Matemáticos 22/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 2: Crescimento Exponencial. Do cálculo sabemos que y = ce 0.2t possui a derivada dy 0.2 y 0.2 ce t 0.2y dx Assim y é uma solução de y = 0.2y. Esta EDO tem a seguinte forma y = ky. Se a constante k for positiva, pode-se modelar o crescimento exponencial, por exemplo, de bactérias ou de colônias de populações de animais. Ela também se aplica aos seres humanos para determinar o crescimento populacional de pequenos países (conhecida como lei de Malthus). Métodos Matemáticos 23/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 2: Crescimento Exponencial. Da mesma forma, y'= -0.2y (k possui um sinal de menos à direita) tem a solução y = ce -0.2t, modelo para o decaimento exponencial (por exemplo, uma substância radioativa). Crescimento exponencial Métodos Matemáticos 24/48 Decaimento exponencial

1.1) Conceitos Básicos Notem que cada EDO nestes exemplos tem uma solução que contém uma constante c arbitrária. Tal solução contendo uma constante c arbitrária é chamada de solução geral da EDO. Veremos que c às vezes não é completamente arbitrária, mas deve ser restrita a algum intervalo para evitar expressões complexas na solução. Devemos desenvolver métodos para encontrar soluções gerais únicas. Logo, poderemos dizer que é a solução geral de uma determinada EDO (em vez de uma solução geral). Métodos Matemáticos 25/48

1.1) Conceitos Básicos Geometricamente, a solução geral de uma EDO é uma família de infinitas curvas de solução, uma para cada valor da constante c. Se escolhermos uma c específica (por exemplo, c = 6,45 ou 0 ou -2,01) obteremos o que é chamado de uma solução particular da EDO. Uma solução particular não contém quaisquer constantes arbitrárias. Na maioria dos casos existem soluções gerais e cada solução que não contém uma constante arbitrária é obtida como uma solução particular, atribuindo um valor adequado para c. Exceções para essa regra podem ocorrer, mas são de menor interesse pois não possuem aplicações práticas. Métodos Matemáticos 26/48

1.1) Conceitos Básicos PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI) Na maioria dos casos, a única solução de um determinado problema (solução particular) é obtida a partir de uma solução geral para uma condição inicial y (x 0 ) = y 0, com valores dados x 0 e y 0, que são usados para determinar um valor para a constante arbitrária c. Geometricamente esta condição significa que a curva de solução deve passar pelo ponto (x 0, y 0 ) no plano-xy. Uma EDO juntamente com uma condição inicial é chamado de um Problema do Valor Inicial. Assim, se a EDO é explícita, y = f (x, y), o problema do valor inicial possui a forma (5) y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0. Métodos Matemáticos 27/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial). Dada uma quantidade de uma substância radioativa, por exemplo, 0,5 g (grama), determine a quantidade dessa substância num tempo qualquer posterior. Informações físicas: experimentos mostram que em cada instante a substância radioativa se decompõe, assim diminui com o tempo. Siga as seguintes passos para resolver o problema: 1º Passo: Desenvolvimento de um modelo matemático para o processo físico. 2º Passo: Determinação de uma solução matemática. 3º Passo: Interpretação do resultado. Métodos Matemáticos 28/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial). (6) 1º Passo: Desenvolvimento de um modelo matemático para o processo físico. y(t) representa a quantidade de substância ainda presente num instante t qualquer. Pelas leis da física, a velocidade (ou taxa) de decomposição y'(t) = dy/dt é proporcional a y(t). Esta formulação é representada pela EDO de primeira ordem: dy dt ky Onde a constante k é positiva. Para que ocorra um decaimento (decomposição), deve existir um sinal negativo do lado direito da igualdade da EDO. O valor de k foi determinado experimentalmente (por exemplo para o Aula rádio 1 Apresentação do Plano de Ensino; EDOs de 1ª Ordem Parte 1. 88 Ra 226, k = 1,4 10-11 s -1 ). Métodos Matemáticos 29/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial). 1º Passo: Desenvolvimento de um modelo matemático para o processo físico. Agora, o valor inicial dado é de 0,5 g, e podemos chamar o instante correspondente t = 0. Em seguida, temos a condição inicial y (0) = 0,5. Este é o momento no qual o processo se inicia. Esta condição é chamada de condição inicial (a qual, no entanto, é também utilizada quando a variável independente não é o tempo t ou quando se escolhe um tempo t que não seja t = 0). Por isso, o modelo matemático do processo físico é um problema do valor inicial dy (7) ky, y(0) 0.5. dt Métodos Matemáticos 30/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial). 2º Passo: Solução Matemática. A EDO (6) modela o decaimento exponencial e tem a solução geral (com a constante arbitrária c e k, já definida pelo modelo) (8) y (t) = ce -kt. Vamos agora determinar c usando a condição inicial. Como y (0) = c a partir de (8), obtém-se y (0) = c = 0,5. Assim, a solução particular que rege o nosso processo é dada por (9) y (t) = 0.5e -kt (k> 0). Métodos Matemáticos 31/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial). 2º Passo: Solução Matemática. Sempre verifique seus resultados você pode ter cometido algum erro ao resolver o problema ou pode ter digitado errado alguma variável num determinado software no computador! Verifique pela diferenciação da equação da solução (9) se a equação (7) e a condição inicial (y (0) = 0,5) são satisfeitas: dy/dt = 0.5ke kt = k 0.5e kt = ky, y(0) = 0.5e 0 = 0.5. Métodos Matemáticos 32/48

1.1) Conceitos Básicos EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial). 3º Passo: Interpretação dos Resultados. A equação (9) fornece a quantidade de substância radioativa em função do tempo t. O processo de decomposição inicia-se a partir da uma quantidade inicial e diminui com o tempo (k é positivo). Notem que o limite de y é zero quando t. Métodos Matemáticos 33/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis Muitas EDOs úteis na prática, por meio de manipulações puramente algébricos, podem ser reduzidas à forma (1) g(y) y = f (x) Então, podemos integrar em ambos os lados em relação a x, obtendo (2) g(y) y dx = f (x) dx + c. Sabendo que y dx = dy, obtém-se (3) g(y) dy = f (x) dx + c. Se f e g são funções contínuas, as integrais em (3) existem e pela solução delas obtém-se uma solução geral para equação (1). Este método de resolução de EDOs é chamado de método da separação de variáveis, e (1) é chamada de equação separável, porque em (3) as variáveis são agora separáveis: x só aparece no lado direito e y apenas no lado esquerdo. Métodos Matemáticos 34/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis EXEMPLO 4: Problema de Transferência de Calor (Lei de Resfriamento de Newton) Uma esfera de cobre é subitamente resfriada. Inicialmente ela está a 100 o C e é colocada num banho termostatizado, no qual o fluido de trabalho está a 30 o C. Após 3 min, a temperatura da esfera é de 70 o C. Determine o tempo necessário para a esfera atingir 31 o C. Métodos Matemáticos 35/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis EXEMPLO 4: Problema de Transferência de Calor (Lei de Resfriamento de Newton) Solução: 1º Passo (4) O modelo é dado pela Lei de Resfriamento de Newton que é representado pela seguinte EDO, dt k T T dt Inicialmente, a temperatura da esfera está a 100 o C. Assim, T(0) = 100, é a condição inicial. Além disso, após 3 min a temperatura da esfera está a 70 o C. Essa condição, T(3) = 70, deve ser utilizada para calcular a constante de proporcionalidade k. Métodos Matemáticos 36/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis EXEMPLO 4: Problema de Transferência de Calor (Lei de Resfriamento de Newton) Solução: 2º Passo (5) A ODE (4) é separável. Fazendo a separação, a integração e aplicando exponencial em ambos os lados obtém-se Utilizando a condição inicial e a condição em t = 3 min, obtémse a constante arbitrária c e a constante de proporcionalidade, Assim, T T ce kt T T 70e c = 70 e k = -0,1865 0,1865t Métodos Matemáticos 37/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis EXEMPLO 4: Problema de Transferência de Calor (Lei de Resfriamento de Newton) Solução: 3º Passo Notem que as condições de contorno e inicial estão reproduzidas no gráfico. Métodos Matemáticos 38/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis Redução da EDO para Forma Separável (8) Certas EDOs não-separáveis podem se tornar separáveis por transformações que introduzem para y uma nova função desconhecida. Discutiremos esta técnica para uma classe de EDOs de importância prática, por exemplo: y y' f. x onde f é uma função qualquer (diferenciável) de y/x, tal como sen(y/x), (y/x) 4 e assim por diante. (Tais EDOs são às vezes chamadas de EDOs homogêneas). Métodos Matemáticos 39/48

1.2) Equações Diferenciais Separáveis Redução da EDO para Forma Separável A forma dessa ODE sugere que se estabeleça y/x = u; logo, (9) y = ux e pela derivada do produto, y = u x + u. Substituido em y = f (y / x), então obtém-se u'x + u = f (u) ou u'x = f (u) - u. Percebe-se que se f(u) - u 0, esta pode ser separada: du dx. f ( u) u x (10) Métodos Matemáticos 40/48

1.3) Equações Diferenciais Exatas Relembrando dos cálculos que se uma função tem derivadas parciais contínuas, sua derivada (também chamada de derivada total) é dada por: u u du dx dy. x y A partir disso, afirma-se que se u (x, y) = c = const, du = 0. Métodos Matemáticos 41/48

1.3) Equações Diferenciais Exatas Uma EDO de primeira ordem M(x, y) + N(x, y)y = 0, escrita como (dy = y'dx) (1) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é chamada de uma equação diferencial exata se a forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy é exata, ou seja, essa forma é o diferencial (2) u u du dx dy x y de alguma função u(x, y). Então, (1) pode ser escrita como: du = 0. Pela integração obtemos imediatamente a solução geral de (1) na seguinte forma, (3) u(x, y) = c. Métodos Matemáticos 42/48

1.3) Equações Diferenciais Exatas Comparando (1) e (2), percebe-se que (1) é uma equação diferencial exata se houver alguma função u(x, y) tal que (4) (a) (b) A partir disso pode-se obter uma equação para verificar se (1) é ou não é exata. u M x u N. y Suponde que M e N sejam contínua e que as suas primeiras derivadas parciais sejam também contínuas numa região no plano-xy, cujo limite é uma curva fechada sem auto-interseções. Portanto, pela diferenciação parcial de (4), obtém-se M y 2 u yx N x 2 u. xy Métodos Matemáticos 43/48

1.3) Equações Diferenciais Exatas (5) Pela consideração de continuidade, as duas derivadas parciais segundas são iguais, assim, M N y x. Esta condição não é apenas necessária, mas também suficiente para que (1) seja uma equação diferencial exata. Se (1) é exata, a função u(x,y) pode ser encontrada por inspeção ou pela seguinte maneira sistemática. A partir de (4a), temos por integração em relação a x: (6) u Mdx k( y); Métodos Matemáticos 44/48

1.3) Equações Diferenciais Exatas Nesta integração, y é considerada como uma constante e k(y) desempenha o papel de uma "constante" de integração. Para determinar k(y), deriva-se u/ y de (6) e utiliza-se (4b) para obter dk/dy; Por fim, integra-se dk/dy para obter k. Métodos Matemáticos 45/48

1.3) Equações Diferenciais Exatas Se uma determinada EDO não for exata, pode-se transformála em exata da seguinte maneira. Multiplica-se a EDO não-exata (7) por uma função F que, em geral, será uma função de x e y: (12) P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. O resultado é dado pela seguinte equação: (13) FP dx + FQ dy = 0, que é exata. Logo, pode-se resolvê-la como acabamos de discutir nos slides anteriores. Tal função é chamada de fator de integração de (12). Métodos Matemáticos 46/48

Lista de Exercícios 1 (Entregar no dia 17/03/15) Métodos Matemáticos 47/48

Referências Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10 th Ed., JOHN WILEY & SONS, INC., USA, 2011. Métodos Matemáticos 48/48