Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA Dados de identificação Escola: Escola de Educação Básica Professora Maria Solange Lopes de Borba Município: São João do Sul, SC. Disciplina: Matemática Série/Ano: 3º Turma: 301 Níveis: Ensino Médio Período: Vespertino Professor: Suzana Scandolara Selau Tempo prevista: 10horas/aulas. 1. Temas: Números Complexos. 1.1. Subtemas: Números Complexos: Historicização; Retomando: conjuntos numéricos; Conjunto dos números complexos: forma algébrica; Conjugado de um número complexo; Operações com números complexos; Representação geométrica de um número complexo; Módulo de um número complexo; Argumento de um número complexo; A forma trigonométrica de um número complexo; Operações na forma trigonométrica de um número complexo Teorema de De Moivre; Exercícios. 1.2. Justificativa: A importância dos números complexos está marcada pelas suas múltiplas aplicações em diversas áreas (Matemática, Física, Engenharia, Tecnologia,...). Números Complexos introduzem-se para dar sentido à raiz quadrada de números negativos. Abre-se assim a porta a um curioso e surpreendente mundo em que todas as operações (exceto a divisão por zero) são possíveis. Desta forma, se faz necessário aprender a expressão dos números complexos, a sua representação gráfica, operações e forma trigonométrica/geométrica para facilitar sua compreensão. 2. Objetivos:
Identificar um número complexo; Distinguir parte real e imaginária de um número complexo; Operar com números complexos; Representar números complexos na sua forma trigonométrica. 3. Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula). As operações básicas; Conjuntos numéricos; Plano cartesiano; 4. Estratégias: 4.1. Recursos: quadro, caneta para quadro, multimídia, maquete, EVA. 4.2. Técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula. 5. Procedimentos: 5.1. Problematização Na maquete da cidade Triangonópolis apresentada na figura 01 a seguir, estão destacados os pontos de A até N 1, como fazer a representação algébrica destes, no plano de Argand-Gauss, sendo que o eixo x representa o eixo real e o eixo y representa o eixo imaginário. Como fazer a representação na forma trigonométrica? Que elementos são necessários para tal representação?
Figura 01: Maquete da cidade Triangonópolis Fonte: Elaborado pela autora 5.2. Historicização: O conceito de número complexo se desenvolveu gradativamente, como ocorreu com os demais tipos de números. Algumas equações do 2 grau, como x² + 1 = 0 não haviam solução até o século XVI, pois para os matemáticos da época a raiz negativa não existia. Porém, não foi este o motivo pelo qual os números complexos surgiram. Ao passar dos anos, alguns matemáticos viram o mesmo problema para equações do 3º grau, onde percebeu-se que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação. Curiosidade: os números complexos surgiram na época do Renascimento, onde a Europa estava se recuperando da peste negra e tinha uma forte influência do Humanismo. A matemática grega não era compreendida, pois poucos sabiam ler grego e era um assunto complexo. Assim, os europeus acabaram seguindo para outros ramos e continuaram a difundir a Matemática. Para resolver este problema, alguns matemáticos europeus, principalmente italianos desenvolveram pesquisas, e houve algumas disputas. Antes das lutas, os números complexos começaram a serem desenvolvidos por Scipione Dal Ferro. Ferro desenvolveu uma teria para a solução das equações do tipo x³ + px + q = 0, mas acabou não publicando sua teoria. Porque os matemáticos não divulgavam suas teorias? Nesta época os matemáticos tinham costume de desafiar outros matemáticos, para se mostrar algumas vezes mais inteligentes. Outra hipótese seria o medo de outro matemático encontrar algum erro na fórmula, e assim surgiram alguns problemas sobre a notoriedade de algumas teorias. Antonio Maria Fior conheceu a teoria de Ferro e ampliou para as equações do tipo x³ + px² + q = 0. Fior acabou desafiando o jovem Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia a resolver equações de grau 3. Para a surpresa de Fior, Tartaglia conseguiu resolver. Com muita
dedicação e esforço, Tartaglia procurou um método para a resolução destas equações e acabou encontrando. Por este motivo, ele acabou vencendo todas as disputas com Fior. Neste momento, chega aos ouvidos de Girolamo Cardano que Tartaglia sabia resolver tal tipo de equação. Cardano implorou a fórmula para resolver estas equações. Tartaglia recusou e acabou sendo acusado de mesquinho e egoísta. Com a insistência de Cardano e jurando que não divulgaria o resultado, Tartaglia revelou a solução. Porém, Cardano não cumpriu com sua palavra, e em 1545 fez a publicação num livro. Ele somente fez uma menção de Tartaglia na sua obra e até hoje a fórmula é conhecida como Fórmula de Cardano. Esta descoberta foi tão inusitada que ficou conhecida como o início da matemática moderna. Após esta luta surge um problema inquietante que Cardano trouxe conhecido na época como números sofisticados, ou seja, as raízes quadradas de números negativos. Cardano concluiu que estas raízes seriam um número tão sutil quando inútil. Ao passar dos anos seria provado que estes números não eram inúteis como Cardano achava. Mas, como resolver o problema dos números sofisticados? O que fazer com estes números? Fica evidente que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação. Assim, seguiram a mesma ideia que os pitagóricos seguiram quando descobriram o número raiz quadrada de 2. Neste momento da história, se introduz a ideia de aceitar o imaginário, e não somente o real. Rafael Bombelli surge para trabalhar com este problema e mostrou que ao conhecer uma raiz de uma equação cúbica, conseguimos encontrar as outras duas. Por exemplo, se x = 4. Sabemos que a soma das outras duas raízes deve ser 4, logo a parte real da equação é 2. Bombelli teve a ideia de somar um número imaginário a esta parte real, e na outra raiz somar o inverso relativo à adição deste número imaginário. Mais tarde, essa teoria vai ficar conhecida como raiz conjugada. René Descartes escreveu no seu livro Géométrie a seguinte frase: Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias. Com esta citação ficou definido que o número raiz quadrada de -1 seria chamado de número imaginário e que poderia ser manipulado de acordo com as regras da álgebra. Abraham de Moivre foi um grande matemático e ficou conhecido pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria. Provavelmente Moivre descobriu esta relação em 1707. Tudo na matemática possui uma simbologia, seja o sinal de divisão, seja uma integral, então como ficariam definidos estes números imaginários? Foi Leonhard Euler que criou vários símbolos, assim à raiz quadrada de -1 seria simbolizada por i, em 1777. Segundo Euler, os números complexos também podem possuir uma parte real. Logo, o número complexo é do tipo: z = a + bi, onde a e b são números reais e i² = -1, mas esta ideia só foi aceita quando Gauss introduziu esta ideia. Em 1797, Caspar Wessel trabalhou geometricamente os números complexos, fazendo uma correspondência objetiva entre estes e os pontos do plano, mas somente foi publicado em 1806, por Jean Argand. Hoje, Argand recebe o mérito por esta representação. Em 1798 o matemático Carl Friedrich Gauss demonstrou em sua tese de doutorado que toda equação
algébrica de grau n (n > 0) e coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa. Esse é o chamado Teorema Fundamental da Álgebra. Tal teorema resolveu a questão das soluções de equações algébricas. Em 1831, Gauss retomou a ideia Argand e pensou nos números a + b(raiz -1), como coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, tendo assim (a, b). Deu-se também uma interpretação geométrica para a adição e multiplicação dos símbolos. Esta representação geométrica, fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade quanto aos números imaginários, pois estes agora podiam ser visualizados no sentido de que cada ponto no plano corresponde a um número complexo e vice versa. E para finalizar, em 1832, Gauss introduz a expressão número complexo. 5.3. Operacionalização da aula: Retomando: Conjuntos numéricos Iniciar a aula resolvendo algumas equações e classificando os resultados em seus respectivos conjuntos. 1. Resolva as seguintes equações abaixo, classificando os resultados nos conjuntos numéricos. a) x 2 25 = 0 b) 2x + 5 = 1 c) 2x + 1 = 4 d) x 2-2= 0 e) x 2 + 4 = 0 O conjunto dos números complexos O surgimento dos números complexos levou a uma ampliação dos conjuntos numéricos tendo sido criado, então, o conjunto dos números complexos. = Z Z = a + bi, com a, b R e i 2 = 1 Todo número complexo z pode ser escrito da maneira única na forma: z = a + bi em que a, b R, e i é a unidade imaginária. Essa é a chamada forma algébrica do número complexo z. Observemos que um número complexo escrito nessa forma tem duas partes: Z = a + bi
i é a unidade imaginária, tal que i 2 = -1. Parte Parte real imaginária Exemplos: a) z = 3-2i é um número complexo com Re(z) = 3 e Im(z) = -2 b) z = 3 = 3 + 0i é um número complexo com Re(z) = 3 e Im(z) = 0 Nesse caso, z é também m número real, pois a parte imaginária de z é nula. c) z = 4i = 0 + 4i é um número complexo com Re(z) = 0 e Im(z) = 4 Nesse caso, z é chamado imaginário puro, pois a parte real de z é nula. Igualdade de número complexo Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a, b, c, d R, definimos a igualdade z = w quando Re(z) = Re(w) e Im(z) = Im(w), ou seja: z = w a + bi = c + di a = c e b = d Os números complexos z = 8 + bi e w = a 2i, com a, b R, são iguais se, e somente se: Re(z) = Re(w) 8 = a Im(z) = Im(w) b = 2 Operações com números complexos Adição e subtração de números complexos: Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a, b, c, d R, podemos definir as operações de adição e subtração entre z e w da seguinte forma: Adição: z + w = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i Subtração: z - w = (a + bi) - (c + di) = a + bi - c - di = (a - c) + (b - d)i Exemplos: Sejam os números complexos z 1 = 1 + 3i, z 2 = i e z 3 = -7. Vamos calcular: a) z 1 + z 2 + z 3 = (1 + 3i) + (0 + i) + (-7 + 0i) = 1 + 3i + 0 + i -7 + 0i = (1 + 0-7) + (3 + 1 + 0)i = -6 + 4i b) z 2 (z 1 + z 3 ) = i (1 + 3i -7) = i (1-7 + 3i) = i (-6 + 3i) = i + 6 3i = 6 2i Multiplicação de números complexos:
Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + bi, com a, b, c, d R, podemos efetuar a multiplicação entre z e w aplicando a propriedade distributiva: z. w = (a + bi)(c + di) = ac + adi +bci + bdi 2 Dados os números complexos z 1 = 1 + i, z 2 = 4 2i e z 3 = 5, vamos calcular: a) z 1. z 2 = (1 + i).(4 2i) = 4 2i + 4i - 2i 2 = 4 + 2i 2.(-1) = 4 + 2i + 2 = 6 + 2i b) (z 2 ) 2 = (4 2i) 2 = (4 2i).(4 2i) = 16 8i 8i + 4i 2 = 16 16i + 4.(-1) = 16 16i 4 = 12 16i c) 2. (z 1.z 2.z 3 ) = 2.[(1 + i)(4 2i)(5)] = 2.[(1 + i)(20 10i)] = 2.[20 10i + 20i 10i 2 ] = 2. [20 + 10i +10] = 2. [30 + 10i] = 60 + 20i O conjugado de um número complexo: Dado um número complexo z = a + bi, com a, b R, chamamos de conjugado de z, cuja notação é z, o número complexo z = a bi. Para obter z, basta trocar o sinal da parte imaginária de z. Os conjugados dos números complexos z 1 = 1 + i, z 2 = -3 5i, z 3 = 3 e z 4 = -i são: z 1 = 1- i, z 2 = -3 + 5i, z 3 = 3 e z 4 = i Divisão de número complexo: Dados dois números complexos z e w, com w, com w 0, podemos efetuar a divisão entre z e w por meio de um processo semelhante à racionalização de denominadores. Para obter o quociente z, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do w denominador (w). Assim: z w = z. w w. w Calcular os quocientes: 1 i, 2+i 3 2i e (3 2i)2. 2+i 1 i = 1.( i) = i = i = i = i i.( i) i 2 ( 1) 1
2+i 2+i.(3+2i) = = 6 4i+3i+2i 2 3 2i 3 2i.(3+2i) 9+6i 6i 4i 2 = 8 i 13 = 8 13 1 13 i (3 2i)2 2+i = 9 12i+4i2 2+i = 5 12i 2+i = 5 12i. 2 i = 10 5i+24i+12i2 2+i. 2 i 4+2i 2i i 2 = 22+19i 5 = 22 5 + 19 5 i As potências de i i 0 = 1 i 4 = i 2. i 2 = 1. 1 = 1 i 1 =i i 5 = i 2. i 2. i = i i 2 =-1 i 6 = i 2. i 2. i 2 = 1 i 3 = i 2. i = 1. i = i i 7 = i 2. i 2. i 2. i = i As potências de i se repetem em grupos de quatro valores, seguindo o padrão das potências i 0, i 1, i 2 e i 3. Então, para calcular a potência i n, com n N, efetuamos a divisão de n por 4 e consideramos o resto dessa divisão como o novo expoente de i. Exemplos: Simplificar: 3i44 +12i 33 3i 50 i 44 = i 0 = 1 i 33 = i 1 = i i 50 = i 2 = 1 3.1+12.i = 3+12i = 3 + 12i = 1 + 4i 3.( 1) 3 3 3 Representação geométrica de um número complexo Da mesma forma que a cada número real pode-se associar um único ponto da reta real, a cada elemento a + bi (com a, b R) do conjunto dos números complexos corresponde um único ponto P(a, b) do plano cartesiano e vice-versa. A parte real de z é representada no eixo das abscissas, que é chamado de eixo real, e a parte imaginária, no eixo das ordenadas, que é o eixo imaginário.
O plano cartesiano assim definido passa a ser chamado de plano de Argand-Gauss ou plano complexo. O ponto P(a, b) é a imagem de z nesse plano ou o afixo do número complexo z = a + bi (com a, b R). Vamos representar no plano complexo as imagens dos números complexos: z 1 = 3 i, z 2 = 4i e z 3 = -1. Módulo de um número complexo O módulo de z = a + bi, indicado por z ou ρ, é o módulo do vetor OP que o representa (comprimento do vetor), ou seja, é a distância da origem O(0,0) ao ponto P(a,b).
Assim, no triângulo OAP, temos: z = d O,P = a 0 2 + (b 0)² = a² + b² z = ρ = a² + b² Argumento de um número complexo A direção do vetor OP é dada pelo ângulo θ (com 0 θ < 2π), formado pelo vetor e pelo semieixo real positivo, considerado no sentido anti-horário. Para um complexo não nulo z (z = a + bi, com a, b R), o ângulo θ é chamado de argumento de z, indicado por arg(z). Também temos que: θ é o ângulo tal que sen θ = b e cos θ = a, com ρ = z e 0 θ < 2π ρ ρ Representar geometricamente o número complexo z = 2 + 2i e obter o módulo e o argumento de z. O módulo de z é dado por: ρ = d O,P 2² + 2² = 8 = 2 2 Para obter o argumento de z, vamos considerar o triângulo retângulo OAP. sen θ = AP OP cos θ = OA OP = Im (z) ρ = Re (z) ρ Como 0 θ < 2π, temos θ = π 4 = 2 = 1. 2 = 2 2 2 2 2 2 = 2 = 1. 2 = 2 2 2 2 2 2 ou 45.
A forma trigonométrica de um número complexo Vamos ver agora como expressar o número complexo z = a + bi, não nulo e com a, b R, por meio de suas coordenadas polares, obtendo a chamada forma trigonométrica ou forma polar de z. Já sabemos que: ρ = a² + b² sen θ = b b = ρ. senθ cos θ = a a = ρ. cosθ ρ ρ Substituindo esses valores na forma algébrica de z, temos: z = a + bi = ρ. cos θ + ρ. sen θ. i = ρ. cos θ + ρ. i. sen θ z = ρ(cos θ + i. senθ) Escrever z = -1 + 1 na forma trigonométrica e representa-lo geometricamente. ρ = a² + b² ρ = ( 1)² + 1² = 2 sen θ = b ρ = 1 2 = 2 2 cos θ = a ρ = 1 2 = 2 2 θ = 3π 4 Logo: z = ρ(cos θ + i. senθ) z = 2. (cos 3π 4 + i. sen 3π 4 ) O número complexo z pode ser representado por um vetor de módulo 2 e direção θ = 3π 4 ou 135.
Operação na forma trigonométrica Multiplicação e divisão: considere os números complexos z 1 e z 2 de módulo ρ 1 e ρ 2 e argumento θ 1 e θ 2, respectivamente não nulos, na forma trigonométrica: z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i. senθ 1 ) e z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i. senθ 2 ) Vamos obter o produto z 1 z 2 : z 1 z 2 = [ρ 1 (cos θ 1 + i. senθ 1 )]. [ρ 2 (cos θ 2 + i. senθ 2 )] = ρ 1 ρ 2 (cos θ 1 + i. senθ 1 ). (cos θ 2 + i. senθ 2 ) = ρ 1 ρ 2 (cos θ 1. cos θ 2 + i. cos θ 1. senθ 2 + i. sen θ 1. cosθ 2 + i². sen θ 1. senθ 2 ) = ρ 1 ρ 2 [(cos θ 1. cos θ 2 sen θ 1. senθ 2 ) + i. ( cos θ 1. senθ 2 + sen θ 1. cosθ 2 )] Assim: z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i. sen(θ 1 + θ 2 )] Vamos obter o quociente z 1 z 2 multiplicando-o por z 2 z 2 : z 1 = ρ 1(cos θ 1 +i.sen θ 1 ) = ρ 1(cos θ 1 +i.sen θ 1 )(cos θ 2 i.sen θ 2 ) z 2 ρ 2 (cos θ 2 +i.sen θ 2 ) ρ 2 (cos θ 2 +sen θ 2 )(cos θ 2 i.sen θ 2 ) = ρ 1 ρ 2. cos θ 1. cos θ 2 i.cos θ 1. sen θ 2 + i.sen θ 1.cos θ 2 i 2. sen θ 1. sen θ 2 cos ² θ 2 +sen ² θ 2 = ρ 1. (cos θ 1. cos θ 2 +sen θ 2 )+i.( sen θ 1. cos θ 2. sen θ 2. cos θ 1 ) ρ 2 1 Assim: z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [cos θ 1 θ 2 + i. sen(θ 1 θ 2 )] Dados os números complexos z 1 = 3. cos π 2 + i. sen π 2 e z 2 = 4. cos π 4 + i. sen π 4, calcular: a) z 1 z 2 ρ 1 ρ 2 [cos θ 1 θ 2 + i. sen(θ 1 θ 2 )] = 3 4 [cos π 2 π 4 + i. sen(π 2 π 4 )] = 3 4 (cos π 4 + i. sen π 4 ) b) z 1 z 1 3². (cos π 2 + i. sen π 2 ). (cos π 2 + i. sen π 2 ) = 9. [(cos π 2 )² (i. sen π 2 )²] = 9. (cos² π 2 i². sen² π 2 ) = 9 (cos² π 2 +. sen² π 2 ) = 9. 1 = 9 Potenciação: 1ª Formula de De Moivre
Considere o número complexo z, não nulo, na forma trigonométrica. Vamos obter z n = [ρ(cos θ + i. senθ)] n, com n N e n > 1, recorrendo à multiplicação de complexos na forma trigonométrica vista anteriormente. Z n = z.z.. z.z = ρ(cos θ + i. senθ). ρ(cos θ + i. senθ).. ρ(cos θ + i. senθ) = = ρ. ρ.. ρ. ρ. [cos θ + θ + + θ + θ + i. sen(θ + θ + + θ + θ] Ou seja: z n = ρ n. (cos nθ + i. sen nθ) Dado z = 2. (cos π 3 + i. sen π 3 ), vamos calcular z7. z 7 = 2 7. [cos(7. π 3 ) + i. sen(7. π 3 )] = 128. (cos 7π 3 + i. sen 7π 3 ) 5.4. Conclusão da aula (atividades e sugestão de atividade). Lista de Exercícios: 1. Calcule as seguintes somas: a) (2 + 5i) + (3 + 4i) b) i + (2-5i) 2. Calcule as diferenças: a) (2 + 5i) - (3 + 4i) b) (1 + i) - (1 - i) 3. Calcule os seguintes produtos: a) (2 + 3i) (3-2i) b) (1 + 3i) (1 + i) 4. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: a) 3 + 4i b) 1 - i c) 3 + i d) 2 5i 6. Efetue as seguintes divisões de números complexos:
a) (-10 + 15i) / (2 i) b) (1 + 3i) / (1 + i) 6. Avaliação: A avaliação dar-se-á observando a participação e o interesse do discente em sala de aula e na resolução do exercício proposto, considerando as respostas dadas aos questionamentos sugeridos permitindo se houve entendimento sobre os conteúdos, conforme documento em apêndice. 6.1. Instrumentos de avaliação O processo avaliativo será operacionalizado durante o decorrer das aulas e ao concluir os conteúdos será aplicada uma avaliação 7. Bibliografia DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. ed. - Ática. São Paulo, 2013. LEONARDO, Fabio Martins de. Conexões com a Matemática. Organização editora moderna 2. ed. São Paulo: Moderna 2013. PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva. 2. ed.- São Paulo: Moderna, 2013.
APÊNDICE
Escola de Educação Básica Professora Maria Solange Lopes de Borba Professora: Suzana Scandolara Selau DISCIPLINA: Matemática Data: 03/11/2014 Aluno (a):...série: 3º ano PROVA 1) Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta para as falsas. ( ) O número 5 não é complexo,pois não pode ser escrito na forma algébrica z = a + bi. ( ) Todo número complexo é real, mas nem todo número real é complexo. ( ) Com o aparecimento dos números complexos, tornou-se possível resolver equações do 2 grau nas quais o discriminante ( ) é negativo. ( ) A parte imaginária de um número complexo pode ser um número irracional. ( ) A parte real de um número complexo não pode ser um número racional. 2) Identifique e escreva a parte real e a parte imaginária de z em cada caso. a) z = 3 i. 5 d) z = 9i b) z = 1+2i 3 c) z = - i e) z = 4 3) Some a(s) alternativas que você considera correta(s): 01. A multiplicação de z. z do número complexo z = - 3 2i é igual a 13. 02. A parte real de z é representada no eixo das ordenadas, que é chamado de eixo real, e a parte imaginária, no eixo das abscissas, que é o eixo imaginário. 04. θ é o ângulo tal que sen θ = b e cos θ = a com ρ = z e 0 θ π. ρ ρ 08. Efetuando o seguinte equação 2i 8 + (1 + 4i) 2 é igual a -13 + 8i. Soma: 4) Escreva z = 2i na forma trigonométrica e representá-lo geometricamente.