Números Complexos. Rafael Aguilar, Gabriella Martos - PIBID Matemática

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1 Números Complexos Rafael Aguilar, Gabriella Martos - PIBID Matemática 7 de outubro de 2015

2 0.1 Números Complexos Durante anos, muitos matemáticos foram movidos por problemas que eram aparentemente insolúveis, problemas esses que os motivaram a gastar uma vida a procura de respostas, correndo o risco de chegar no fim do caminho e não encontrar nada relevante, apenas mais e mais perguntas. Podemos encontrar na história vários momentos onde o conhecimentos foi centralizado e questionamentos relacionados à matemática poderiam ser consideradas como afronta e ainda gerar muitas punições. E mesmo assim, a beleza da matemática ainda encantava. Posso citar, como exemplo, a inquietação dos gregos em ver que não existia uma forma direta de se encontrar um valor para 2 e que precisavam estender o seu campo de visão para números que não tinham fim. Por consequência dessa inquietação, foram definidos os números irracionais. Mas, sem perder o foco, quero falar sobre um pequeno fato matemático que intrigou pesquisadores durante anos. Os números complexos são números que surgiram para responder a pergunta: a R, tal que a a = 1? Essa foi uma indagação que durou anos, pois por definição: se a, b R e a = b, então a a = b. Entretanto, temos que o produto de dois números negativos nos dá um resultado positivo, e o produto de dois números positivos nos dá um resultado positivo. E então, o que fazer? Antigamente, quando na resolução de uma equação obtinham-se raízes negativas, desconsiderava-se esse resultado dizendo que a equação não possuía solução. Isso perdurou durante anos e anos. Com o passar do tempo, foram sendo criadas áreas da matemática que naturalmente foram se juntando. A Aritmética e a Geometria foram cruciais para o desenvolvimento dos números complexos. Foram desenvolvidas em locais diferentes, mas com o tempo foram descobertas relações que as uniam, formando a Geometria Analítica. Foram os famosos matemáticos franceses Pierre de Fermat e René Decartes que tiveram a ideia genial de usar sistemas de coordenadas para representar pontos no plano e no espaço. René Decartes, em uma passagem da sua obra O Discurso do Método, escreveu uma frase célebre, que futuramente iria ser ligada aos números complexos. Nem sempre as raízes verdadeiras ou falsas de uma equação são reais. As vezes são imaginárias. Durante séculos, outros matemáticos também contribuíram para a estruturação dos números complexos, como por exemplo o matemático Abraham de Moivre, que desenvolveu a relação para encontrar as raízes n-ésimas de um número complexo. Mas, houve um matemático em especial que marcou o seu nome na história dos complexos. Ele era tão bom, que o seu nome se tornou interdisciplinar. Leonhard Euler é o cara. Foi ele, que no século XIII, definiu como seriam representados os números complexos e atribuiu 1 = i. Devido a ele, os números complexos começaram a ser referenciados como z = a + bi, onde a, b R, e i 2 = 1. 1

3 0.2 Representação Geométrica Para se representar os números complexos geometricamente é necessário que conheçamos o plano de Argand-Gauss. Para enfatizar os conceitos, vamos enunciar a definição de número complexo. Dados os números a, b e z, temos que z C se, e somente se, existe a, b R tal que z = a + bi. Com a definição enunciada, podemos começar a descrever o Plano dos Complexos ou Plano de Argand-Gauss. O Plano de Argand-Gauss é constituído de dois eixos, o eixo real e o eixo imaginário. O eixo real pode ser representado como o eixo das abscissas e o eixo imaginário como o eixo das ordenadas. Seguindo a definição enunciada anteriormente, temos que z C se, e somente se, a, b R e z = a + bi. As coordenadas de z podem ser extraídas da definição, formando o par ordenado (a, b), sendo a representado no eixo das abscissas e b no eixo das ordenadas, e z o ponto de encontro de a com b. Figura 1: Plano dos Complexos. Analisando a Figura 1, podemos ver que existe um ângulo formado entre o eixo real e o vetor que conecta a origem do plano com o número complexo z. Esse ângulo é chamado de argumento do número complexo, sendo representado por θ. Esse vetor recebe o nome de Módulo do número complexo e é representado por z. Mas, como podemos encontrar o valor de z? Basta aplicar o Teorema de Pitágoras 2

4 0.3 Próximo Conteúdo Posteriormente, iremos determinar a forma polar e calcular as raízes n-ésimas de um número. 0.4 Exercícios 1) Com base na definição de número complexo e com os conhecimentos adquiridos em sala, responda às questões que seguem. a) Existe algum número complexo que é imaginário puro? b) Quando z = b, quais são os possíveis valores de θ, sabendo que 0 θ 2π? c) Supondo que a, b R, com a 0 e b = 0, quais são os possíveis valores de θ tais que z = a? 2) Efetue algebricamente e represente geometricamente no plano de Argand-Gauss as seguintes operações envolvendo números complexos: a) (2 + 5i) + (3 + 4i) b) i + (2 5i) c) (2 + 5i) (3 + 4i) d) (1 + i) (1 i) e) (5 + 8i) (2 + i) f) (2 + 2i) + (4 + 3i) 3) Escreva os números complexos z 1 e z 2, representados geometricamente na figura 2, na forma algébrica e calcule o módulo de cada um deles. Figura 2: Representação geométrica de z 1 e z 2. 4) Sendo z = (2m 5m + 6) + 5i, determine m de modo que z seja um imaginário puro. 3

5 5) Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos: a) 4i b) 2 + 2i 0.5 Referências Bibliográficas 1. Figura 1: 2.html 2. Figura 2: 3. CERRI,Cristina; MONTEIRO, Martha S. História dos Números Complexos. São Paulo: IME-USP,