Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM122 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Encontre os pontos críticos das funções a seguir: Lista de Eercícios 1 a f = + 7 2 5 b g = 7/ + / 1/ c h = π d f = 2 + 9 e g = tg 2 f f = 1 + 2 2 g h = + 1 2 5 + h g = 2 sen cos Respostas: a 1 ; 5; b 1, 0, 7 ; c ; d ±; e kπ e 2k + 1π 8, k Z; f 2, 5, 1; g 1,, 1 ± 10; h 2k + 1 π, k Z 2 Encontre os valores máimo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se eistirem: a f = 2; [1, 6 b g = 1 ; [, 1] c h = + 2; [ 10, 20] d h = + 2; 10, 20 e gt = 5 sent; [ π, π] f f t = 1 [ 2 cossec2t; π, π ] 6 g h = + 2 2/ ; [, 2] h g = 6 2 / ; [ 1, ] Respostas: a valor máimo: f1 = 1; b valor máimo: g = 1 ; mínimo: g 1 = 1; c valor máimo: h20 = 18; mínimo: h = 2; d valor mínimo: h = 2; π e valor máimo: g = 5; mínimo: g π = 5; f Não eistem; 2 2 g valor máimo: h2 = ; mínimo: h 2 = 0; h valor máimo: g2 = 6; mínimo: g 1 = 6 + Teste da derivada primeira Para cada um das funções a seguir: i Encontre os pontos críticos ii Determine os intervalos onde as funções são crescentes iii Determine os intervalos onde as funções são decrescentes iv Encontre os máimos e mínimos locais se eistirem a f = + 2 b g = 2 cos c h = 1 d f = + e g = 2 f h = 2/ 1/ + 1 g f = + 1 2/ 2 1/ Respostas: a i 1; 1 ; ii, 1 1, + ; iii = 1 ; + 5 se < 1 j f = 2 + 1 se 1 < 2 7 se 2 h g = 1 sec2 k g = 2 ln { 2 + 9 se 2 i h = 1 2 + 1 se > 2 l h = 2 ln 1, 1 ; iv máimo local: = 1; mínimo local: 1 Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciação de Oliveira - DEMAT/UFOP
b i kπ, k Z; ii 2k + 1π, 8k + 1π, k Z; iii 8kπ, 2k + 1π, k Z; iv máimos locais: = 8kπ, k Z; mínimos locais: = π2k + 1, k Z; c i 1; ii 1, ; iii, 1; iv mínimo local: = 1; d i ; ii, + ; iii ; iv Não eistem; e i, 2; ii, ; iii, + ; iv máimo local: = ; mínimo local: = 2; f i 0; 1 1 ; 8 ; ii 8, + iii, 1 ; iv mínimo local: = 1 8 8 ; g i 1, 1, 2; ii, 1 1, + ; iii 1, 1; iv máimo local: = 1; mínimo local: = 1; h i kπ 2k + 1π k + 1π k + 1π 2k + 1π 2k + 1π k + π,, k Z; ii kπ,,, k Z; iii, 2 2 2 k + π 2k + 1π, k + 1π, k Z; iv máimo local: = ; mínimo local: = kπ, k Z; 2 i i 2, 0; ii, 2 0, + ; iii 2, 0; iv máimo local: = 2; mínimo local: = 0; j i 1, 0, 2; ii, 1 0, 2; iii 1, 0 2, + ; iv máimo local: = 1; = 2; mínimo local: = 0; k i e 1/2 ; ii e 1/2, + ; iii 0, e 1/2 ; iv máimo local: = 0; mínimo local: = e 1/2 ; l i e 1/2 ; ii 0, e 1/2 ; iii e 1/2, + ; iv máimo local: = e 1/2 ; mínimo local: = 0 Encontre os valores de a, b e c tais que a função f = a 2 + b + c tenha um máimo local no ponto 7, 1 e que o gráfico de y = f passe pelo ponto 2, 2 a = 25, b = 2 25, c = 122 25 5 Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta a Se uma função f é derivável no intervalo fechado [a, b] e f a f b < 0, então eiste pelo menos um número c no intervalo aberto a, b tal que f c = 0 b Se uma função f é derivável no intervalo fechado [a, b] e f a f b > 0, então eiste pelo menos um número c no intervalo aberto a, b tal que f c = 0 c Se uma função f é derivável no intervalo fechado [a, b] e f a f b = 0, então eiste pelo menos um número c no intervalo aberto a, b tal que f c = 0 d Se f = n, com n um inteiro positivo ímpar, então f não possui pontos de máimo e mínimo locais e Se uma função f é derivável no intervalo fechado [a, b] e g é derivável no intervalo fechado [fa, fb] com f e g funções crescentes então f g é crescente f Se uma função f é derivável no intervalo fechado [a, b] e g é derivável no intervalo fechado [fa, fb] com f e f g funções crescentes então g é crescente g Se f é uma função crescente e derivável no intervalo fechado [a, b] então g = f é decrescente h Se f > 0 é uma função crescente e derivável no intervalo fechado [a, b] então g = 1/f é decrescente Respostas: a Verdadeiro; b Falso; c Falso; d Verdadeiro; e Verdadeiro; f Verdadeiro; g Verdadeiro; h Verdadeiro 6 Encontre os máimos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível: a y = + 2 b y = cos2 c y = /2 2 1/ d y = 27 2 e y = 16 2 16 f y = cos Respostas: a máimo local: = 0; mínimos locais: = 2; = 1; b máimos locais: = kπ 2, k Z, k par; mínimos locais: = kπ 12/7 2 2, k,k ímpar; c mínimo local: = ; d máimo local: = ; mínimo local: = 2 2 ; e máimo local: = 27/ ; f Não é possível usar o teste
7 Se f = p p com p > 0 e p 1 verifique que: a Se 0 < p < 1, f possui um máimo local em = 1 b Se p > 1, f possui um mínimo local em = 1 8 Se f = a 2 + b + c, use o teste da derivada segunda para mostrar que se a < 0 então f possui um ponto de máimo local O que ocorre quando a > 0? f possui um ponto de mínimo local 9 Esboce os gráficos das funções abaio, indicando, quando eistirem, os pontos críticos, pontos de máimo e mínimo locais, pontos de infleão, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento e a concavidade do gráfico a y = 2 + 5 b y = c y = 2 2 d y = 62 1 + 2 e y = 1 + 2 f y = 121 2 g y = e h y = e2 i y = ln j y = 2 ln k y = 1 l y = 1 1 + 2 Respostas: a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i ; j ; k ; l 10 Calcule: 2 + a 2 2 2 2 + b 2 2 6 2 + 2 c + d e + e 12 + e f 0 e cos
+ 1 g ln + 1 h 2 2 i π 2 cotg 2 6 j 1 ln ln 1 2π cos k 1 sen l m 1 0 + tg [1 tg sec2] π n 0 e + 1 o 1 + 1 + p 2 + 1 q + 2 + r 2 2 1 2 2 Respostas: a 0; b 1 ; c 11; d + ; e 0; f 1; g 0; h + ; i Não eiste; j 0; k 1; l 1; 26 m Não eiste; n e 2 ; o e; p Não eiste; q 1; r Não eiste 11 Um reservatório de água está sendo esvaziado A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V t = 6110 t 2 a Qual é o volume inicial nesse reservatório? b A taa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas c Após quanto tempo a taa de variação do volume será de 1800l/h? d Supondo que tal reservatório possua formato de um cilindro circular reto, cuja a área da base é 1000 m 2, qual é a taa de variação da altura da água quando o tempo é 5 horas Respostas: a 72600 l; b dv = 096 l/h; c t = 20 h; d =, 2 m/h 12 Encontre a taa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento de sua diagonal Se a diagonal está se epandindo a uma taa de 2m/s, qual a razão de variação do volume quando a diagonal mede m? dv = D2 dd ; dv = 6 1 Os lados de um triângulo equilátero crescem à taa de 2, 5 cm/s a Qual é a taa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de comprimento? b Qual é a taa de crescimento do perímetros desse triângulo, quando os lados medirem 10 cm? c Qual é a taa de crescimento da altura desse triângulo, quando os lados medirem 8 cm? Respostas: a da = 15 cm 2 /s; b dp = 7, 5 cm/s; c = 1, 25 1 O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h Determine a taa de variação da área da base em relação ao volume do cone Volume do cone é dado pela epressão: V = πr2 h, onde h é a altura e r o raio da base da 2π = dv V 15 Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taa constante de 1 m/s Determine a taa de variação da área da região circular itada por essas ondas depois de 10 s da = 20π m2 /s 16 Cada lado de um quadrado está crescendo a uma taa de 5 m/s Com que taa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 20 m 2? da = 20 5 m 2 /s 17 Um avião, à velocidade constante de 1200 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de 500 m e passa diretamente sobre uma estação de radar Encontre a taa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 10000 m da estação Aproimadamente 112 km/h
18 Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical Se o pé da escada for puado horizontalmente, afastando-se da parede a unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede? 9 uc/s 19 Um tanque cilíndrico com raio de 20 m está sendo enchido com água a uma taa de m /s Quão rápido está crescendo a altura da água? = 00π m/s 20 Dois carros partem de um mesmo ponto Um viaja para leste a 95 km/h e o outro para o norte com velocidade de 65 km/h A que taa está aumentando a distância entre os dois carros duas horas depois da partida? 5 50 km/h 21 Um tanque tem a forma de um cone invertido com 20 m de altura e uma base de 5 m de raio A água é despejada dentro do tanque a uma taa de m /min Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m? = 8 25π m/min 22 O volume do cubo está aumentando à taa de 2 m /s Com que taa estará variando a área de uma de suas faces quando a aresta tiver 0 m? da = 2 5 m2 /s 2 Uma lâmpada está pendurada a, 5 m de um piso horizontal Se um homem com 1, 80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1, 5 m/s, responda: a Qual a velocidade de crescimento da sombra? b Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo? Respostas: a 1 m/s; b 2, 5 m/s 2 A lei de Boyle para a epansão de um gás é P V = C, onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m 2, o volume é 1, 5 m e está crescendo a uma taa de 1 m /min Ache a taa de variação da pressão nesse instante dp = 100 kg/m2 /s 25 Um foguete subindo verticalmente é acompanhado por uma estação de radar no solo a 5 km da rampa de lançamento Com que rapidez o foguete estará subindo quando a sua altura for 6 km e a distância entre a estação do radar estiver crescendo a uma taa de 2000 km/h = 1000 61 km/h 26 Suponha que z = y, onde e y estão variando com o tempo em segundos No instante em que = 2 e y =, está decrescendo a uma taa de 2 unidades de comprimento por segundo e y está crescendo a uma taa de 6 unidades de comprimento por segundo Com que rapidez z estará variando neste instante? z é crescente ou decrescente? dz Respostas: = 20 uc/s; crescente 27 Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m, cuja área é a maior possível 25 e 25 28 Sejam e y dois números positivos cuja soma é 16 Determine tais valores para que o produto y seja máimo = y = 8 29 João irá construir um jardim retangular cercado cuja a área é de 100 m 2 A cerca que será utilizada é composta por quatro fios esticados horizontalmente presos por mourões fiados nos vértices do retângulo Quais são as dimensões desse jardim para que seja utilizado a menor quantidade de fio possível? 10 e 10
0 Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja: a máima b mínima Respostas: a Não cortar e construir só o quadrado; b Em pedaços de comprimentos 109 + 8 9 + 90 e 9 + 1 Um arame de comprimento L centímetros é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em forma de quadrado e o outro em forma de círculo Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja: a máima b mínima Respostas: a Não cortar e construir só o círculo; b Em pedaços de comprimentos L 5 e L 5 2 Dentre os triângulos isósceles com perímetro fiado, mostre que o triângulo de maior área é o equilátero Um cartaz deve ter uma área de 600 cm 2 para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devem ser cada uma de 7, 5 cm, e de 5 cm nas margens laterais Determine as dimensões do cartaz para que seja mínima a quantidade de papel usada 5 e 0 Encontre o ponto sobre a reta y = + 7 que está mais próimo da origem 28 17, 7 17 5 Encontre o ponto da reta de equação y = + mais próimo do ponto 1, 2 Qual é a distância mínima? Respostas: 1 2, 5 ; 5 2 2 6 Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser inscrito na elipse de equação 2 9 + y2 = 1 Qual é a área desse retângulo? Respostas: 2 e 2; 12 7 Um fazendeiro tem 950 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está a margem de um rio reto Ele não precisa cercar a margem do rio Quais as dimensões do campo que tem maior área? 75 2 e 75 8 Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um círculo de raio r 2r 2 9 Um piscicultor deseja construir um aquário com base quadrada sem tampa cujo volume será de 2 m Quais as dimensões do aquário que minimizam a quantidade de material?, e 2 0 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto 1, 1 e que deita a menor área com os eios coordenados no primeiro quadrante y = 2 1 Um copo de papel é feito no formato cilíndrico, de modo que sua capacidade seja 0 cm Ache a altura h e o raio r da base que minimizam a quantidade de papel utilizada 0 r = π, h = 0 π 2 π 900 2 Um copo de papel é feito no formato de um cone reto, de modo que sua capacidade seja 0 cm Ache a altura h e o raio r da base que minimizam a quantidade de papel utilizada Vcone = πr2 h 050 r = 6 π 2, h = 90 6 π π 050 2