1. Inequações Uma inequação é uma expressão algébrica dada por uma desigualdade. Por exemplo: 3x 5 < 1 ou 2x+1 2 > 5x 7 3 ou x 1 2 + 2 > 3 Resolver a inequação significa encontrar os intervalos de números reais nos quais encontramos os números que satisfazem as desigualdades dadas. Por exemplo, a solução da inequação 3x 5 < 1 é o intervalo [2, [, e a solução da inequação x 1 2 + 2 > 3 são os valores de x que pertencem a união de intervalos ], 0 2, + [. Propriedades das desigualdades a) Se a > b, então a + c > b + c b) Se a > b, e c > 0 então a. c > b. c c) Se a > b, e c < 0 então a. c < b. c Ao multiplicarmos (ou dividirmos) os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, a desigualdade se inverte. Inequações polinomiais do primeiro grau Usando as propriedades das desigualdades para manipular os membros da inequação, qualquer inequação do primeiro grau pode ser escrita numa das seguintes formas: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 Podemos pensar os lados direitos destas desigualdades como funções polinomiais do primeiro grau (funções afins) do tipo = ax + b, e resolver a inequação estudando o sinal da função f(x). Por exemplo 2x + 1 2 2x + 1 5x 7 2 3 > 5x 7 3 > 5x 7 5x 7 3 3
2x + 1 5x 7 > 0 2 3 3 2x + 1 2 5x 7 6 > 0 6x + 3 10x + 14 6 > 0 7x + 11 > 0 6 Multiplicando os dois lados da inequação por 6 obtemos 7x + 11 > 0 Estudando os sinais da função = 7x + 11, temos que x = 11 é a raiz da função, 7 e à esquerda a função tera o sinal contrário de 7. Portanto = 7x + 11 > 0 quando x < 11. 7 O intervalo que possui valores que solucionam a inequação é o intervalo ], 11 7 [ Inequações Polinomiais do Segundo Grau Usando as propriedades das desigualdades para manipular os membros da inequação, qualquer inequação do segundo grau pode ser escrita numa das seguintes formas:, onde a 0. ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 Resolver, por exemplo a inequação ax 2 + bx + c > 0, significa encontrar os valores de x para os quais a desigualdade dada é verdadeira. Assim como fizemos para solucionar as equações polinomiais do primeiro grau, podemos pensar os lados direitos destas desigualdades como funções polinomiais do segundo grau grau (funções quadráticas) do tipo = ax 2 + bx + c, e resolver a inequação estudando o sinal da função f(x).
Para isto, temos que nos lembrar de que, entre duas raízes x 1 e x 2 (se existirem as duas ), o sinal da função quadrática é o sinal contrário do parâmetro a, e o sinal será o mesmo sinal de a no restante dos números reais, excetuando-se as próprias raízes. Ainda temos que lembrar que, se não houver raízes o sinal da função coincidirá sempre com sinal do parâmetro a,e, se houver apenas uma raiz o sinal da função coincidirá sempre com sinal do parâmetro a, exceto na raíz (já que = 0 quando x é raíz). Exemplo: Suponha que queremos encontrar os valores de x para os quais x 2 + 5x < 4 Esta inequação pode ser reescrita como x 2 + 5x 4 < 0. Vamos esntão estudas os valores de x para os quais o valor da função fx = x 2 + 5x 4 é negativo. As raízes da função serão x = 1 e x = 4. Portanto, pelo estudo do sinal da função quadrática, como a = 1 < 0, a função terá valor negativo quando x < 1 ou x > 4.
Inequações polinomiais Simultâneas Uma inequação polinomial do primeiro grau simultânea é uma inequação do tipo < g x < (x) Onde, g x e (x) são funções polinomiais do primeiro grau. Por exemplo: x + 1 7 3x < x 2 1 Para resolvermos uma inequação do tipo < g x < (x): encontramos o conjunto solução S 1 da inequação < g x encontramos o conjunto solução S 2 da inequação g x < x Fazemos a intersecção dos conjuntos S 1 e S 2, que terá como resultado o conjunto solução de < g x < (x). Por exemplo: Para resolver 3x + 2 x + 3 < x + 4 Resolvemos inicialmente 3x + 2 x + 3, para o que obtemos como solução o intervalo S 1 =], 1 4 ]. Depois resolvemos a inequação x + 3 < x + 4, para o que obtemos como solução o intervalo S 2 = [ 1 2, + ] A intersecção dos conjuntos S 1 e S 2 será dada pelo conjunto S:
Inequações Produto Se f(x) e g(x) são duas funções definidas no conjunto dos números reais, então inequações produto são inequações do tipo. g(x) > 0. g(x) < 0. g(x) 0. g(x) 0 Para resolver uma inequação produto, estudamos separadamente o sinal das funções que a compõem e depois usamos a regra de sinais dos números reais para decidir em quais intervalos se encontram as soluções da inequação. Por exemplo, para resolver mos a inequação 2x 4. x + 1 > 0 Estudamos o sinal da função = 2x 4, e obtemos que > 0 se x > 2; e, que > 0 se x > 2. Ao estudarmos o sinal da função g x = x + 1, obtemos que g x > 0 se x > 1; e, que g x > 0 se x > 1. Ao representarmos graficamente os intervalos onde a função f(x) e a função g(x) são positivas, obtemos: Aplicando a regra de sinais, como para x > 2 tanto a função f(x) quanto a função g(x) são positivas, então o produto também será; e, como para como para x < 1 tanto a função f(x) quanto a função g(x) são negativas, então o produto será positivo. Logo, as soluções da inequação serão dadas pelo conjunto ], 1 2, + [. Obs: Este processo pode ser estendido para uma inequação que envolve o produto de mais de duas funções.
Inequações Quociente Se f(x) e g(x) são duas funções definidas no conjunto dos números reais, então inequações quociente são inequações do tipo g(x) 0. g(x) > 0, ou < 0, ou 0, ou g(x) g(x) Para resolver uma inequação quociente, assim como fazemos para as inequações produto, estudamos separadamente o sinal das funções que a compõem e depois usamos a regra de sinais dos números reais para decidir em quais intervalos se encontram as soluções da inequação. Por exemplo, para resolver mos a inequação 3x+4 1 x 2, temos: 3x + 4 1 x 2 0 3x + 4 2(1 x) 0 1 x 3x + 4 2 + 2x 1 x 0 E então 5x + 2 1 x 0 Estudamos o sinal da função = 5x + 2, e obtemos que 0 se x 2 5 ; e, que > 0 se x > 2 5. Ao estudarmos o sinal da função g x = 1 x, obtemos que g x 0 se x 1; e, que g x > 0 se x < 1. Ao representarmos graficamente os intervalos onde a função f(x) e a função g(x) são positivas, obtemos: No que, neste caso, não podemos permitir x = 1, pois isto implicaria em denominador nulo. Então o conjunto solução S da inequação será a união de dois conjuntos. S =], 2/5] ]1, + [