47 6. Função Quadrática É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = ax² + bx + c Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim. Já estudamos um tipo de função quadrática. A que b = c = 0, como a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal e o vértice é o ponto V(0,0), pois nesse caso a equação é y = px². Aqui temos uma diversidade maior. Descubra qual as coordenadas do vértice, foco e reta diretriz para esses casos. 6.1. Raízes e intersecção com o eixo oy. As raízes são os valores de x em que a função assume y = 0 e vemos esses pontos no gráfico como intersecções com o eixo ox. Já que o gráfico é uma parábola, podemos ter no máximo duas raízes. Duas raízes. Uma raiz. Nenhuma raiz. Raízes: Soluções de ax²+ bx + c = 0. Intersecção com o eixo oy: Substituindo x = 0 na lei da função quadrática: y=a.0² + b.0 + c y = c. Na maioria dos casos, apenas com as raízes e a intersecção com o eixo oy traçamos um bom esboço da função quadrática. Exemplo: Esboce o gráfico da função quadrática: y = x² - 10x + 1.
48 6.. Forma fatorada da função quadrática. Podemos escrever a lei da função quadrática sendo conhecidos as raízes, x e x da função: y = a(x x )(x x ) Exemplo: Determine a forma fatorada da lei da função quadrática: y = x² - 10x + 1. 6.3. Vértice. Para a função quadrática o vértice agrega outro caráter, é o ponto de máximo ou mínimo da função e a partir daí podemos determinar o conjunto imagem da função e a reta de simetria do seu gráfico. Pela simetria, podemos pensar que a abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes da função. Sabemos da fórmula de Bhaskara, que as raízes da função quadrática são: b b x' e x'' Para definirmos a abscissa do vértice, façamos o ponto médio das raízes: x v x v b b b Para encontrarmos a ordenada do vértice, substituímos x v na equação da função quadrática: y v y v b b a b 4ac b². 4a 4a c b² a 4a² Logo o vértice tem coordenadas: b² V c b, b b² b² 4ac 4a 4a b a
49 Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da função quadrática, o conjunto imagem desta função e a equação do eixo de simetria do seu gráfico: (a) cuja lei é y = x² 10x + 1 (b) cuja lei é y = -3x² + 7x 4. 6.4. Concavidade. A parábola da esquerda (roxa) tem concavidade para cima e a parábola da direita (verde) tem concavidade para baixo. Como diferenciar a concavidade conhecido a lei da função quadrática y = ax² + bx + c? Notamos que se determinarmos as raízes da função e a intersecção com o eixo oy a concavidade fica automaticamente determinada. Podemos analisar diretamente pelo sinal do coeficiente a. Colocando a em evidência, obtemos: b c y ax² x a a Para valores de x + ou x - como x está ao quadrado resultará num valor positivo grande o suficiente para
50 b c b c superar o termo x, mesmo que este seja negativo. Deste modo x ² x a a a a sempre será positivo. Assim, se a é positivo y + se x + ou x -, fazendo com que a concavidade da parábola seja para cima. Agora, se a é negativo y se x + ou x -, fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo. Se a > 0, então o gráfico tem concavidade para cima. Se a < 0, então o gráfico tem concavidade para baixo. 6.5. Estudo do Crescimento. Independente do número de raízes, o estudo do crescimento é definido pela concavidade e o vértice do gráfico da função quadrática. Com a concavidade para cima, a > 0, tem-se: f é crescente: x ]x v, + [ f é decrescente: x ], x v[ Isso faz com que o vértice seja um Ponto de Mínimo. Com a concavidade para baixo, a < 0, tem-se: f é decrescente: x ]x v, + [ f é crescente: x ], x v[ Isso faz com que o vértice seja um Ponto de Máximo. 6.6. Estudo do Sinal. Para determinarmos os intervalos de x em que a função assume valores positivos, negativos ou nulos, necessitamos saber a concavidade do gráfico e as raízes da função. Com isso temos seis possibilidades. a > 0 a < 0 Duas raízes. Duas raízes.
51 a > 0 a < 0 Uma raiz. Uma raiz. a > 0 a < 0 Nenhuma raiz. Nenhuma raiz. Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo: (a) y = -x²+ 3x + 4 (b) y = x² +. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R y x² 5x 6 x
5 (b) g: A R y x 3 x² 3x 4 (b) h: A R y x² x² 3x 16 x² 3x
53 3. Resolva as inequações abaixo, em R: (a) 6 < x² 5x < 6 (b) x² 6 x² 0 x 3 0 (c) x² 3x x 4 x 3
54 7. Exercícios. Esboce o gráfico das funções f:r R abaixo, determinando as raízes, o vértice, a intersecção com eixo oy e a concavidade da função. 1- y=x²-x+4 - y=3x-x² 3- y=x²-10x+7 4- y=4x-x² Resolva, em R, as inequações abaixo: 5- (x-3)(x²-7x+10) < 0 6-0x-4x²-5 < 0 7-0 < x² - 3x + < 6 8- (1-4x²)(x²+3x) > 0 9- (x²-x+8)(x²-5x+6) < 0 10-11- 1-13- 4x² x 5 x² 3x 3x x² 3x 0 0 x x 0 x 1 x 1 x 3 x 1 x 8. Respostas dos exercícios item 5. 1- (a) A = [4,+[ 3 1 1 (b) A =,, (c) A = 1, (d) A = R - (a) A = R. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[. (b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[. (c) A = R. Não, há três intersecções com o eixo oy, ou seja, para x = 0 existem três valores de y relacionado a ele. (d) A = R - {1}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= R. 3- (a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal). (b) Não, uma reta vertical não é função.
55 4- (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1 S x lr / x ou S 3 1, 3 3 3 S x lr / x 1 ou x ou S, 1 5, 5 5 x lr / x ou x S ou S,, 4 x lr / x ou x 6 3 3 S ou S, 6, 5 3 1 1 S x lr / x ou x ou S,, 3 S x lr / x ou x ou 3 (g) S x lr / x 1 ou S 1, (h) 3 x lr / x 1 ou x ou x 3 4 3 3 S,, 3 S ou S,1, 3, 3