O círculo e o número π As formas circulares aparecem com freqüência nas construções e nos objetos presente em nosso mundo. As formas circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, roda do carro... Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. Uma circunferência no quadro, pode ser feito utilizando uma tachinha, um barbante e um giz. Algumas definições importantes Corda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observe que o diâmetro (d) é sempre a corda maior e sua medida é igual a duas vezes a medida do raio (r). (d = r) O comprimento da circunferência Várias circunferências nos levam a concluir que seu comprimento de qualquer circunferência depende da medida do diâmetro. Usando diferentes objetos com a forma circular, vamos medir o comprimento das circunferências e de seus diâmetros. No quadro abaixo foram anotadas algumas medidas dos comprimentos e diâmetros de várias objetos circulares. Na última coluna dividimos cada medida obtida do comprimento (C) pela medida do diâmetro correspondente (d). OBJETO MEDIDO COMPRIMENTO (C) DIÂMETRO (d) C/d Pires de xícara 47 cm 15 cm 3,133... Prato de refeição 73,5 cm 3,4 cm 3,141... Pirex de vidro 84,8 cm 7 cm 3,140... Fundo de copo 155 mm 49 mm 3,163... Moeda 69 mm mm 3,136... Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique que a razão C/d se aproxima de um número constante quanto mais precisas forem essas medidas. Este número é conhecido como pi, simbolizado pela letra grega π, que é um número irracional e possui infinitas casas decimais, mas na prática utilizamos apenas uma aproximação de seu valor. π = 3,14159653589793384664... ou π 3,14 Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em todas as razões C/d. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas com os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproximadas, o resultado das divisões também é uma aproximação. O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima. C = π C = πd C = πr d Exercício 1) Uma praça circular tem 00 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cerca-la? ) Complete a tabela abaixo: (Sugestão: use a aproximação π = 3,14) RAIO (r) DIÂMETRO (d) COMPRIMENTO (πr) cm 4 cm 1,56 cm 1 cm 5 cm 18,84 cm
A área do círculo Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área do círculo. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que foi obtido por Arquimedes. Este procedimento consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Assim a área do círculo pode ser aproximada por falta pela área de polígonos regulares inscritos neste círculo. Por outro lado, a área do círculo pode ser aproximada por excesso pela área de polígonos regulares nele circunscritos. Um polígono regular está inscrito num círculo quando seus vértices estão sobre a circunferência e seus lados são cordas. O polígono está circunscrito ao círculo quando seus lados são tangentes à circunferência. Os vértices de um polígono regular inscrito num círculo dividem a circunferência em partes iguais. A perpendicular baixada do centro do círculo sobre o meio do lado chama-se apótema. Se o polígono é inscrito, o apótema é menor do que o raio; se é circunscrito, seu apótema é igual ao raio do círculo. Assim, indiquemos com P n e Q n os polígonos regulares de n lados, respectivamente inscrito no, e circunscrito ao, círculo C de raio r. Seja A Pn a área do polígono P n (inscrito na circunferência) é o produto dos lados (l n ) pelo apótema (a n ) e o número de lados (n) dividido por, ou seja: A Pn = n l na n = p na n onde p n = nl n é e o perímetro do polígono P n. Seja A Qn a área do polígono Q n (circunscrito na circunferência) é o produto dos lados (L n ) pelo raio r e o número de lados (n) dividido por, ou seja: A Qn = n L nr = q nr onde q n = nl n é e o perímetro do polígono Q n. Como exemplo, vamos apresentar o cálculo da área dos polígonos para um círculo de 10 cm de raio: se n = 4 temos l 4 = r = 10, a 4 = r / = 5 e L 4 = r = 0 logo a área dos polígonos P 4 e Q 4 será: A P4 = 4 10 5 = 4 100 = 00 cm A Q4 = 4 0 10 = 4 00 = 400 cm se n = 6 temos l 6 = r = 10, a 6 = r 3/ = 5 3 e L 6 = r 3/3 = 0 3/3 logo a área dos polígonos P 6 e Q 6 será: A P6 = 6 5 3 10 A Q6 = 6 0 3/3 10 = 6 50 3 = 6 00 3/3 = 00 3 59,807 cm = 00 3 346,41 cm se n = 8 temos a 8 9,38, p 8 30,614 e L 8 33,137 logo a área dos polígonos P 8 e Q 8 será: A P8 30,614 9,38 8,84 cm A Q8 33,137 10 331,37 cm se n = 10 temos p 10 3,09, a 10 9,51 e L 10 3,49 logo a área dos polígonos P 10 e Q 10 será:
A P10 3,09 9,51,93,89 cm e A Q10 3,49 10 34,919 cm se n = 100 temos p 100 31,41, a 100 9,995 e L 100 31,46 logo a área dos polígonos P 100 e Q 100 será: A P100 31,41 9,995 313,95 cm e A Q100 31,46 10 314,6 cm se n = 1000 temos p 1000 31,415, a 1000 9,999 e L 1000 31,416 logo a área dos polígonos P 1000 e Q 1000 será: A P1000 31,415 9,999 314,157 cm e A Q1000 31,41 10 314,16 cm É evidentemente que A Pn < 100π < A Qn. Fazendo n crescer cada vez mais, isto e, n +, os polígonos P n e Q n toma-se uma aproximação do círculo. Os perímetros p n e q n aproxima-se do comprimento do círculo πr e a o valor apótema e h n aproximase do raio r. Temos, lim A P n n = πrr = πr e lim A Qn = πrr = πr n Logo obtemos a formula da área do círculo. Podemos ilustrar a idéia da área do círculo imaginamos que o círculo seja formado por várias circunferências concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar essas circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo retângulo com área equivalente ao círculo. Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base mede πr, isto é, o comprimento da maior circunferência que é a fronteira do círculo. Área do círculo = área do triangulo equivalente ao circulo Área do círculo = base altura πr r = = πr Portanto a área do círculo depende da medida de seu raio. Outra maneira de ilustrar a idéia da área do círculo é dividir o círculo em 16 partes iguais. Cada uma destas partes é denominada setor circular. O setor circular é uma região limitada por um arco de circunferência e por dois raios. Podemos pegar a metade destes setores e arruma-los de maneira que a outra metade pode ser encaixada sobre esta, de forma a não deixar espaços vazios. Essa figura ainda não é um quadrilátero, pois dois de seus lados são formados por arcos sucessivos e não por segmentos de reta. No entanto, usando um pouco a imaginação, podemos dividir nosso círculo em setores circulares cada vez menores. Repetindo o que fizemos com as 16 partes vamos pegar a
metade dos setores em uma certa posição e encaixarmos sobre estes a outra metade. Note que nos aproximamos muito mais de um retângulo de altura igual ao raio e comprimento igual a metade do comprimento da circunferência deste círculo. Área do círculo = área do retângulo equivalente ao circulo Área do círculo = πr r = πr EXEMPLO 1 Vamos agora calcular a área do círculo do de 10 cm de raio. Solução: Como r = 5 cm, r = 5 5 = 5 cm². A área então será: Área do círculo = 5π 3,14 5 = 78,5 cm Área do setor circular Muitas vezes estamos interessados em calcular apenas a área de um setor circular ( fatia do círculo). Todo setor circular está associado um ângulo central corresponde um ângulo central. O ângulo central é aquele que tem o vértice no centro da circunferência. O ângulo central máximo, que corresponde a uma volta completa e está associado à circunferência toda, mede 360º. Logo a área do setor circular, é proporcional á medida do ângulo central. Quando conhecemos o ângulo correspondente ao setor circular, podemos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. EXEMPLO O círculo ao lado tem raio medindo cm. Vamos calcular a área de um setor circular de 45º. Solução: Área do círculo = π = 4π 1,566 cm² Área do setor = x 360º 4π e ai x = 45 4π x = π 1,5707 cm 360 45º x 360º Exercícios 1) Um CD tem 1 cm de diâmetro. Calcule a sua área. ) Um disco de cobre tem 80 cm de diâmetro. Determine a área desse disco 3) Os dois azulejos da figura são quadrados com 0 cm de lado. Calcule a área da parte colorida em cada um deles. a) b) 4) Calcule a área da figura raio 4 cm
5) Denomina-se coroa circular à região pintada, que é obtida com dois círculos de mesmo centro O e raios diferentes. Na figura os dois círculos têm o mesmo centro. O raio do círculo pequeno é de 5 cm, já o raio do círculo grande é de 8 cm. Calcule a área da coroa circular. 6) Um terreno tem a forma de um quadrado com semicircunferência nas extremidades, conforme mostra figura. Sabendo que o preço do metro quadrado está valendo R$ 100,00, qual é o valor do terreno. Lado 0 m 7) Calcule a área do setor circular com raio de 6 cm e ângulo central de: a) α = 45 b) α = 60 c) α = 10 8) Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule: a) a área de um dos setores circulares assim obtidos; b) a medida do correspondente ângulo central. 9) No quadrado ABCD a diagonal mede 10. Nessas condições determine a área da figura abaixo. 10) No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com cm de raio. Calcule a área de cada setor. 11) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia. 1) Uma pizza com 0 cm de diâmetro custa R$ 4,80. Quanto você espera pagar por uma outra do mesmo sabor com 30 cm de diâmetro? (Sugestão: a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os comprimentos diâmetro ou raio).