ula n.4 : ESTUDO D FLEXÃO São Carlos, outubro de 001 Sergio Persival Baroncini Proença
3-) ESTUDO D FLEXÃO 3.1 -) Introdução No caso de barras de eixo reto e com um plano longitudinal de simetria, quando o carregamento externo ( incluindo-se forças distribuídas, concentradas ou mesmo momentos aplicados em pontos determinados) está contido naquele plano e possui componente transversal ao eixo, observa-se um comportamento particular dito de flexão. Genericamente o termo flexão indica uma mudança de curvatura do eixo. No caso das barras em consideração, como inicialmente a curvatura é nula, ela passa a ser diferente de ero, uma ve aplicado o carregamento. Eventualmente, um outro comportamento que a barra pode apresentar é a torção. Esta resposta tende a aparecer sempre que o plano de carregamento não coincida com o plano longitudinal de simetria; ou então, de modo mais geral, válido inclusive para as barras cujas seções transversais não apresentam qualquer eixo de simetria, quando o plano de carregamento não contenha pontos geométricos, que podem ser identificados em cada uma das seções, denominados centros de torção (*). Para diferenciar melhor os dois comportamentos, tome-se por base uma situação onde o carregamento é transversal ao eixo indeslocado. Geometricamente, enquanto que na flexão as seções transversais giram em torno de um eixo contido no plano da seção e que passa pelo centro de gravidade, na torção elas giram em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de torção (as posições do centro de gravidade e do (*) a determinação da posição do centro de torção será objeto de capítulo específico.
centro de torção coincidem nas seções com dois ou mais eixos de simetria). figura 3.1 ilustra os comportamentos em questão. y y Figura 3.1 Comportamentos de flexão e de torção Vale adiantar também que, em geral, por efeito da torção a seção transversal deixa de ser plana, num fenômeno denominado de empenamento (v.fig.3.1). torção é ainda dita livre quando os vínculos não impõem qualquer impedimento ao empenamento. Quando coexistem flexão e torção tem-se, na barra, um estado dito de torção composta. dmitindo-se válidas as hipóteses de proporcionalidade entre carga e deslocamento e de que os vínculos permitem a livre torção, os efeitos de flexão e de torção apresentam-se desacoplados e podem ser estudados independentemente; em outras palavras, vale a superposição de efeitos (v.fig.3.1). No estudo que se desenvolve neste capítulo, aborda-se exclusivamente o efeito de flexão provocado pelo carregamento aplicado, sendo que a torção será tratada em capítulo próprio.
3. -) flexão composta e os casos mais simples Inicialmente considere-se, de um outro ponto de vista, não o carregamento aplicado mas os esforços momento fletor, cortante e normal, por ele provocado nas seções transversais ao longo da barra. Sob esse ponto de vista, di-se que a flexão é uma resposta para a qual contribuem cada um daqueles esforços, sendo, por este motivo, denominada flexão composta. flexão composta constitui um caso geral. Entretanto, em algumas situações pode haver flexão sem que o conjunto de esforços mencionados esteja completo, isto é : mesmo na ausência de força normal ou das forças normal e cortante. Por exemplo, considere-se as vigas (*). Nos casos em que por efeito do carregamento e da vinculação apresentada não haja força normal nas seções transversais, as vigas podem exibir modos mais básicos de flexão, assim denominados : flexão simples e flexão pura. Tais modos decorrem da existência ou não, respectivamente, de força cortante acompanhando o momento fletor na seção. No que segue, desenvolve-se o estudo da flexão em seus diferentes modos: pura, simples e composta, deduindo-se expressões para o cálculo de deslocamentos, deformações e tensões nos pontos da barra. Destaca-se, particularmente, dentro do item da flexão pura, a hipótese cinemática geral, válida para todos os modos, que tem como finalidade dar uma interpretação simples para o comportamento das barras em regime de flexão. (*) barras dispostas horiontalmente, com um ou mais apoios e com carregamento transversal ao seu eixo
Nota-se que a seqüência de apresentação é a mesma adotada no estudo das barras sob esforço normal isto é : estabelecida a hipótese cinemática, obtém-se, para cada um dos casos, as expressões para a determinação dos valores das componentes de deformação e de tensão. Como se mostrará, as expressões para as componentes de deformação derivam da compatibilidade com o campo de deslocamentos e as de tensão por coerência com o modelo constitutivo adotado, que será, inicialmente, o elásticolinear. 3.3 -) Flexão pura normal Considere-se, inicialmente, uma viga, como a ilustrada na figura 3.a, prismática, simplesmente apoiada e cujas seções transversais apresentam um eixo de simetria. O carregamento externo é constituído por momentos contidos no plano longitudinal de simetria e aplicados nas extremidades apoiadas da viga. Numa análise preliminar sobre o comportamento da viga, é raoável imaginar que a deformação resultante leva ao aparecimento de tensões normais de tração e de compressão em pontos de uma seção transversal genérica. De fato, imaginando-se que a barra seja composta pela superposição de um número grande de lâminas, a mudança de curvatura imposta a todo o conjunto pelo carregamento externo fa com que algumas das lâminas sofram alongamento enquanto outras encurtamento; haverá, inclusive, uma delas que não apresentará qualquer alteração de seu comprimento. Observandose, então, as variações de comprimento de cada lâmina isoladamente, compreende-se que a essas variações devam estar associadas tensões normais longitudinais.
Nesse modelo simples de comportamento é usual desconsiderar a pressão exercida de uma lâmina sobre a outra, despreando-se, por conseqüência, tensões normais com direção transversal ao eixo. s tensões normais de tração e de compressão na seção transversal devem ter resultantes iguais em módulo, uma ve que não há força normal à seção, provocada pelo carregamento aplicado, a ser equilibrada internamente. Entretanto essas mesmas resultantes devem gerar um momento que equilibra o momento aplicado pelo carregamento externo. Numa situação como esta, em que nas seções transversais existe somente um momento aplicado e que está contido no plano de simetria da seção, conforme ilustrado na figura 3.b, caracteria-se a chamada flexão pura normal. a) b) Figura 3.- Flexão pura normal Nota-se que na figura 3.b) está representado o vetor do momento fletor, marcado perpendicularmente ao plano de atuação do momento e com sentido definido pela regra da mão direita. Nessa análise preliminar, nada se pode afirmar quanto à distribuição das tensões na seção. Como se mostrará, ela é conseqüência do regime de deformações e das propriedades do material. Como as deformações, por sua ve, derivam do campo de deslocamentos, todo o equacionamento matemático decorre da hipótese adotada sobre o mesmo, a chamada hipótese cinemática.
3.3.1-) Hipótese cinemática de Bernoulli-Navier e relação deformação-deslocamento Uma hipótese raoável para a flexão pura, justificada por observação experimental, é que o campo de deslocamentos seja tal que as seções transversais inicialmente planas permaneçam planas e ortogonais ao eixo deslocado. Decorrem dessa hipótese as seguintes relações para as componentes vertical e horiontal do vetor deslocamento d de um ponto P qualquer da viga (v.fig.3.3a): v( x ) = v0( x ) y( 1 cosθ ) u( x ) = y senθ a,b) (3.1 a) b) Figura 3.3 Representação da hipótese cinemática num corte longitudinal Uma ve que a seção permanece plana e ortogonal ao eixo deslocado, o ângulo θ confunde-se com a primeira derivada da função v(x). Por outro lado, nas situações em que o giro θ da
seção é muito pequeno, valem as aproximações : cosθ 1; sen θ tgθ θ. ssim, resultam as seguintes formas simplificadas para as componentes horiontal e vertical do deslocamento : a-) o deslocamento vertical de um ponto qualquer da viga é função somente da sua coordenada longitudinal x e igual ao deslocamento do ponto de mesma coordenada situado sobre o eixo : v( x ) = v0( x ) (3.1c) b-) o deslocamento horiontal de um ponto da viga é proporcional ao produto de sua distância ao eixo pela derivada da função deslocamento(v.fig.3.3b): ) d v( x ) u ( x ) = y = y v ( x ) ( 3.1b dx onde o sinal negativo indicada que, para um produto y v ( x ) positivo, o deslocamento é contrário ao sentido apontado pelo eixo x. Observa-se que todo o comportamento da viga está sendo descrito no seu plano longitudinal de simetria, onde variam as coordenadas x e y ; de fato, o campo de deslocamentos independe da coordenada. Portanto, usando-se de uma notação vetorial, e simboliando-se por d o vetor deslocamento de um ponto qualquer, vale a seguinte relação : [ y v ( x )] e1 + v( x ) d ( x,y ) = u( x,y )e ( 3. ) 1 + v( x )e +0 e3 = e
onde e 1, e e e 3 são versores associados aos eixos de referência. Tendo sido caracteriado o campo de deslocamentos, as deformações seguem por compatibilidade. Para o cálculo das componentes de deformação, valem as relações gerais (1.11), (1.1) e (1.13), deduidas no capítulo 1 e que as definem no plano. plicando-se aquelas relações resultam : 3.5) u(x) ε x = = y v ( x ) x ( 3.3) v(x) ε y = = 0 y ( 3.4) u(x) v(x) γ xy = + = v + v = 0 y x ( Nota-se, de imediato, que somente uma das componentes não é nula e isto é uma conseqüência direta da hipótese cinemática adotada. 3.3. -) Relações tensão-deformação s expressões das componentes de tensão no mesmo plano (x,y) resultam da consideração de uma resposta elástica linear para o material. Valem, naturalmente, as relações gerais que estendem a aplicação da lei de Hooke para o caso plano. Neste modelo simplificado, porque somente uma das componentes de deformação é não nula e também porque desprea-
se a tensão σ y (o que, de forma equivalente, implica em considerar nulo o efeito de Poisson) (*), resultam : a,b,c) σ x = E y v ( x ) ; σ 0 ; τ 0 (3.6 y = xy = Fixando-se numa certa seção, observa-se que σ x se distribui linearmente ao longo da altura. Por outro lado, tem valor constante para todos os pontos que ocupam uma mesma cota y, ou seja : invariável na largura por ser independente de. Nota-se, também, que a (3.6a) indica que a tensão normal é nula nos pontos em que y = 0, os quais se situam sobre o eixo ; além disso, esse eixo divide a seção em onas tracionada e comprimida (os sinais das tensões mudam), recebendo, por isso, o nome de Linha Neutra. 3.3.3 -) Relações de equilíbrio O equilíbrio estático deve ser atendido de uma forma geral. ssim, as resultantes das tensões normais e de cisalhamento na seção devem ser iguais, respectivamente, aos esforços normal e cortante oriundos do carregamento externo; além disso, as tensões normais devem também gerar um momento resultante na seção igual ao momento fletor calculado em função do carregamento externo. Portanto, valem as seguintes condições: V = τ xy d (3.7 a) (*) a seção gira permanecendo rígida no seu plano.
N = M σ = x σ d x y d (3.7 b) (3.7 c) No caso estudado, sabe-se que o carregamento externo não provoca na seção transversal esforço normal e esforço cortante; portanto, segue que V = 0 e N = 0. Por um lado, a condição de esforço cortante nulo é trivialmente atendida tendo-se em vista a (3.6c); por outro lado, substituindo-se a (3.6 a) na (3.7b) segue que: N ( x )= E v ( x ) y d (3.8) Portanto, para que o esforço normal calculado pelas tensões σ x seja nulo então : yd = 0, o que é possível se o eixo, com relação ao qual se medem as distâncias y, passar pelo centro de gravidade da seção. Conclui-se, por conseqüência, que neste caso a linha neutra deve conter o centro de gravidade da seção. 3.3.4 -) O problema de análise estrutural Conhecidos o carregamento e as condições de contorno, o problema de análise estrutural consiste em determinar os campos de deslocamento, deformação e de tensão em qualquer ponto da viga. resposta para este problema pode ser encontrada combinando-se as (3.6a) e (3.7c), o que, em última análise, é
a combinação das relações de equilíbrio, compatibilidade e constitutiva. Dessa forma resulta : onde M ( x )= E v ( x ) y d = E I v ( x ) (3.9) I = y d é o momento de inércia da seção com relação ao eixo. (3.9) constitui-se em expressão geral para o cálculo da componente vertical do deslocamento dos pontos da viga em função da distribuição de momentos devida ao carregamento aplicado, devendo-se, naturalmente, acrescentar as condições de contorno. forma mais usual para aquela expressão é a seguinte : M ( x ) v ( x )= E I (3.10) Essa última forma é também denominada relação momentocurvatura, uma ve que, sendo os giros muito pequenos, v ( x ) pode ser interpretada como a curvatura da elástica no ponto. De fato, da geometria diferencial, a curvatura ( 1 r) num ponto de uma curva qualquer definida pela função v(x) é dada por : 1 r = v ( x ) 3 [ 1+ v ( x ) ] 1 Então se v ( x ) << 1 resulta que v ( x ), onde r é o raio de r curvatura no ponto.
Para exemplificar a integração da (3.10), no caso em análise o momento tem distribuição constante ao longo do comprimento, de modo que se pode deduir facilmente a seguinte relação para v(x): M x v(x) = 1 + x (3.11) E I Impondo-se as condições de contorno que consistem em deslocamento vertical nulo nas extremidades da viga, conforme ilustrado na figura (3.a), as constantes 1 e ficam determinadas por : v(0) = 0 1 = 0 ; v(l) = 0 = M L E I por: ssim, os deslocamentos verticais podem ser calculados M v(x)= L E I x L x L (3.1) Um aspecto importante a ressaltar é que combinando-se as (3.6a) e (3.9) de tal modo a eliminar a curvatura, obtém-se uma expressão que permite determinar a tensão normal em qualquer ponto da seção transversal diretamente em função de sua geometria e do momento imposto pelo carregamento externo : M σ x= y (3.13) I Essa relação mostra que a distribuição de x σ é linear na altura da seção (v.fig.3.b).