Capítul 6 - Medidres de Grandezas Elétricas Periódicas 6. Intrduçã Neste capítul será estudad princípi de funcinament ds instruments utilizads para medir grandezas (tensões e crrentes) periódicas. Em circuits cujas tensões e crrentes sã variáveis n temp e periódicas, é necessári cnhecer s valres eficazes (u RMS) destas grandezas. Basicamente existem dis tips de medidres de valr RMS de grandezas elétricas (crrentes e tensões) que sã: - Medidres de Fals Valr RMS; - Medidres de Verdadeir Valr RMS. Os medidres de Fals Valr RMS sã cnstruíds a partir de medidres DC e smente frnecem valr RMS de grandezas senidais, enquant que s medidres de Verdadeir Valr RMS pdem ser utilizads para medir valr RMS de qualquer grandeza periódica. 6. Valr RMS de Crrentes e ensões Cnsidere um circuit resistiv, alimentad pr uma tensã periódica v(t) genérica, cnfrme mstra a Figura 6.. i(t) v(t) R Figura 6.: Circuit cm resistência R. A crrente i(t) n circuit mstrad na Figura 6. é dada pr: v( t) i( t) = (6.) R A ptência instantânea p(t) frnecida para a resistência R é dada pr: p( t) = v( t) i( t) (6.) A ptência média frnecida para a resistência R é calculada cm send:
v( t) P = p( t) v( t) i( t) v( t) = = R 0 0 0 R (6.3) 0 P = v( t) Em (6.3) é períd da tensã v(t). A expressã (6.3) pde ser escrita, resumidamente, cm send: V RMS P = (6.4) R Em (6.4) term V RMS é denminad Rt Mean Square u valr RMS u valr eficaz da tensã v(t). Este term é escrit cm: VRMS v( t) 0 = (6.5) O valr RMS de v(t) dad pr (6.5) pde ser definid cm uma tensã cnstante que causaria uma dissipaçã de ptência P n resistr R igual à causada pr um valr cnstante de tensã dad pr v(t)=v vlts. A ptência p(t) também pde ser escrita cm send: p( t) ( ) = R i t (6.6) Calculand a ptência média frnecida para a carga a partir de (6.6) terems: P p( t) R i( t) = = 0 0 = (6.7) 0 P R i( t) A expressã (6.7) pde ser escrita, resumidamente, cm send:
P = R I RMS (6.8) Em (6.8) term I RMS é denminad Rt Mean Square u valr RMS u valr eficaz da crrente i(t). Este term é escrit cm: I RMS i( t) 0 = (6.9) As equações (6.4) e (6.8) mstram que s valres RMS de v(t) e i(t) sã necessáris para que seja pssível calcular a ptência média u ptência ativa frnecida pr uma carga. Deste md, trna-se necessári desenvlviment de instruments capazes de medir valr RMS das tensões e crrentes variáveis n temp. 6.3 Análise de um Galvanômetr submetid a uma Crrente Variável n emp e Periódica Cnsidere um galvanômetr inserid em um circuit, cnfrme mstra a Figura 6.. Cnsiderand que a tensã v(t) é uma tensã periódica genérica, a mesma pde ser representada pr mei de uma série de Furier, u seja: ( ω ) ( ω ) (6.0) v( t) = V + a cs n t + b sen n t n n n= Send: V : Valr médi de v(t); a n e b n : Ceficientes de Furier; π rad ω = : Frequência angular da fundamental; s i(t) R v(t) G R m Galvanômetr Figura 6.: Circuit resistiv cm a inserçã d galvanômetr. 3
V Na equaçã (6.0) V é dad pr: = v( t) d( t) (6.) 0 Send: : Períd da fundamental da funçã v(t). A crrente i(t) n circuit mstrad na Figura 6. é dada pr: i( t) = v( t) R + Rm (6.) Sabe-se que a psiçã angular Ɵ d pnteir de um galvanômetr de bbina móvel é descrit pr mei da seguinte equaçã diferencial: θ ( t) θ ( t) S J + D + S θ ( t) = i( t) a t t K r ( t) n ( t) a ( t) ( t) (6.3) Send: n (t): rque resultante n núcle; a (t) rque prduzid devid a atrit d núcle d galvanômetr cm ar; r (t): rque restauradr prduzid pela mla; (t): rque devid a interaçã entre camp magnétic e a crrente na bbina; J: Mment de inércia d núcle d galvanômetr; D a : Ceficiente de arrast d ar; S: Cnstante da mla; S K = : Ceficiente d instrument send LW=Área da bbina; N B L W Substituind (6.) em (6.3) terems: θ ( t) θ ( t) S v( t) J + D + S θ ( t) = ( ) a t t K R + Rm r ( t) n ( t) a ( t) (6.4) Aplicand a ransfrmada de Laplace em (6.4), tems: 4
S ( ) + ( ) + ( ) = ( ) K R J s θ s Da s θ s S θ s v s ( + Rm) S θ ( s) = v( s) K R Rm J s D s S ( + ) ( + a + ) (6.5) Na expressã (6.5) v(s) é a ransfrmada de Laplace de v(t) e é escrita cm send: V s n ω v( s) = + an + b n (6.6) s n= s + ( n ω ) s + ( n ω ) Substituind (6.6) em (6.5) vem: S V s n ω θ ( s) = + an b n K ( R Rm) ( J s Da s S ) + (6.7) + + + s n= s + ( n ω ) s + ( n ω ) Sabems que a psiçã angular d pnteir, em regime permanente, pde ser btida pr mei d terema d valr final, u seja: θ ss = lim θ ( t) = lim s θ ( s) (6.8) Send: t s 0 θ ss : Valr de Ɵ em regime permanente. Aplicand terema d valr final na equaçã (6.7) tems: S V s n ω θ ss = lim s + an + b n s 0 K ( R Rm) ( J s Da s S ) s n= + + + s + ( n ω ) s + ( n ω ) S s s n ω θ ss = lim V 0 + an + b n s K ( R Rm) ( J s Da s S ) n= + + + s + ( n ω ) s + ( n ω ) S θ ss = V V K ( R + Rm) = S K ( R Rm) + V θ ss = K R + Rm (6.9) 5
Na expressã (6.9) V é valr médi da tensã v(t). Prtant term V R + Rm é valr médi da crrente que circula n galvanômetr. Entã a equaçã (6.9) pde ser escrita cm send: θ ss = I (6.0) K Send I valr médi da crrente que circula n galvanômetr dad pr: I = i( t) d( t) (6.0-a) 0 A expressã (6.0) mstra que quand um galvanômetr é submetid a uma crrente periódica i(t), pnteir d instrument irá sfrer um deslcament angular que é prprcinal a valr médi da crrente que percrre instrument (Figura 6.3). Figura 6.3: Representaçã da bbina e deslcament d pnteir d galvanômetr para uma crrente i(t) periódica. Prtant, cnclui-se que galvanômetr mstra valr médi da crrente que circula n mesm. Cnsequentemente, um amperímetr de bbina móvel irá mstrar valr médi da crrente que circula n mesm e um vltímetr de bbina móvel mstrará valr médi da tensã aplicada em seus terminais. 6
6.4 Medidres de Fals Valr RMS 6.4. Amperímetr de Fals Valr RMS Cnsidere um amperímetr de bbina móvel ideal, acplad a um retificadr de nda cmpleta, cnfrme mstra a Figura 6.4. Figura 6.4: Amperímetr de bbina móvel acplad a um retificadr de nda cmpleta. Cnsidere agra circuit mstrad na Figura 6.5. ( ω ) v( t) = Vp sen t Figura 6.5: Circuit resistiv cm tensã senidal. A crrente i(t) na Figura 6.5 é dada pr: v( t) Vp i( t) = i( t) = sen ( ω t) (6.) R R A Figura 6.6 ilustra a frma de nda da crrente i(t) na resistência R. 7
i(t) Vp R π ω π ω t Vp R Figura 6.6: Crrente i(t) na resistência R. Figura 6.7. Inserind cnjunt amperímetr/retificadr n circuit mstrad na Figura 6.5 tems a Figura 6.7: Cnjunt amperímetr retificadr inserid n circuit da Figura 6.5. N semicicl psitiv de v(t) da Figura 6.7 terems: - Dids D e D4 cnduzind; - Dids D e D3 blqueads. Prtant, n semicicl psitiv circuit mstrad na Figura 6.7 trna-se: 8
Figura 6.8: Circuit da Figura 6.7 n semicicl psitiv de v(t). N semicicl negativ de v(t), D e D3 estã cnduzind, enquant D e D4 estã blqueads. Entã n semicicl negativ, terems circuit mstrad na Figura 6.9. Figura 6.9: Circuit da Figura 6.7 n semicicl negativ de v(t). Observand as Figuras 6.8 e 6.9 verifica-se que a crrente na carga (resistência R) é psitiva n semicicl psitiv e negativa n semicicl negativ de v(t) (bserve a Figura 6.6). Quant a crrente i A (t) n amperímetr, verifica-se que a mesma está sempre entrand n pnt C u seja, pssui sempre mesm sentid. A Figura 6.0 mstra a frma de nda da crrente retificada i A (t) n amperímetr. 9
Vp R π ω π ω Figura 6.0: Frma de nda de i(t) retificada. Cm base nas Figuras 6.6 e 6.0 cnclui-se que: - A presença d cnjunt retificadr/amperímetr nã altera a crrente i(t) na carga; - O amperímetr ficará submetid à crrente da carga. N entant esta crrente é retificada pela pnte de dids. A análise fi feita para uma crrente senidal. N entant, independente da frma de nda de i(t), amperímetr estará submetid à crrente i(t) retificada. Uma vez que um amperímetr de bbina móvel mstra valr médi da crrente i(t) que circula em sua bbina, cnclui-se que na Figura 6.7 amperímetr irá mstrar valr médi de i(t) retificada. Se valr mstrad pel amperímetr da Figura 6.4 fr multiplicad pel Fatr de Frma da crrente que circula n mesm, cnjunt retificadr/amperímetr pde ser utilizad cm um amperímetr que mede valr RMS da crrente que circula n mesm. Denmina-se fatr de frma da crrente i A (t) n amperímetr, à seguinte relaçã: Send: I RMS I RMS F = (6.) I : Valr RMS da crrente i A (t); I : Valr médi da crrente i A (t). Da equaçã (6.) btems: I RMS = F I (6.-a) 0
Devid a fat de que este instrument mede valr RMS a partir da definiçã d Fatr de Frma da crrente que circula n amperímetr, e nã da definiçã de valr RMS, mesm é denminad Amperímetr de Fals Valr RMS. A Figura 6. mstra a representaçã esquemática de um amperímetr de fals valr RMS. Figura 6.: Representaçã esquemática de um amperímetr de fals valr RMS. Observe que I LIDO será valr RMS de i A (t) n amperímetr. N entant, sabe-se que s valres RMS de i(t) e i A (t) sã iguais (bserve as Figuras 6.6 e 6.0 e a equaçã 6.9). Deste md pdems afirmar que valr I LIDO na Figura 6. crrespnde a valr RMS de i(t). Um instrument de Fals Valr RMS geralmente é cnstruíd para medir grandezas senidais, cuj π Fatr de Frma é F =. Exempl : Determine valr mstrad pel amperímetr da Figura 6.7, cnsiderand v(t) cm send: a) v t = V sen ( ω t) ( ) b) A seguinte frma de nda: V t 5t V
Exempl : Cnsidere circuit mstrad a seguir: ( ω ) v( t) = V sen t a) Calcule valr RMS da crrente i(t); b) Determine valr mstrad pr um amperímetr de Fals Valr RMS que é utilizad para medir a crrente i(t). Cnsidere que instrument é ideal. Exempl 3: Repita exempl, cnsiderand que v(t) é dada pr: v(t) V t 5t 7t t A partir ds exempls e 3 vcê deve chegar as seguintes cnclusões: a) Um amperímetr de Fals Valr RMS mstra valr RMS de crrentes senidais; b) Para cas de crrentes nã senidais, instrument retifica esta crrente, em seguida calcula valr médi da crrente retificada e, para finalizar, multiplica π valr médi btid pel Fatr de Frma da nda senidal ( F = ).
6.4. Vltímetrs de Fals Valr RMS Um vltímetr de Fals Valr RMS é cnstruíd à partir d circuit mstrad na Figura 6.. Figura 6.: Vltímetr de bbina móvel acplad a um retificadr de nda cmpleta. Aplicand uma tensã v t V sen ( ω t) ( ) = ns pnts A e B d circuit da Figura 6. e cnsiderand que a tensã medida pel vltímetr DC é v (t) tems as frmas de nda das tensões v(t) e v (t) apresentadas nas Figuras 6.3(a) e 6.3(b), respectivamente. V V π ω π ω π ω π ω V Figura 6.3: a) Frma de nda da tensã v(t) sem retificaçã; b) frma de nda da tensã v (t) (v(t) retificada). Prtant é pssível cncluir que a tensã n vltímetr é a tensã v(t) retificada. Deste md, vltímetr irá mstrar valr médi de v(t) retificada. Analgamente a que fi estudad n item 6.4., pde-se bter um Vltímetr de Fals Valr RMS a partir d cnjunt mstrad na Figura 6. cnsiderand a Figura 6. para tensã. Desta frma, se v(t) fr uma π tensã senidal, V LIDO será valr médi de v(t) retificad multiplicad pr F =. 3
Exempl 4: Cnsidere circuit mstrad em seguida: ( ω ) v( t) = V sen t a) Calcule valr RMS de v (t); b) Meça a tensã v (t) utilizand um vltímetr de Fals Valr RMS ideal. Exempl 5: Repita exempl 4 cnsiderand v(t) dad pela frma de nda a seguir: V t 3t 4
6.5 - Medidres De Valr RMS Verdadeir 6.5. - Intruments de ferr móvel Um instrument de ferr móvel é, basicamente, cnstituíd de uma bbina fixa, de um núcle de ferr que pde mver-se n interir da bbina e de uma mla cuja funçã é frnecer trque restauradr. A Figura 6.4 mstra um instrument de ferr móvel. Figura 6.4: Instrument de ferr móvel Quand uma crrente i percrre a bbina fixa d sistema mstrad na Figura 6.4, camp magnétic prduzid pela bbina fixa armazena uma energia W dada pr: W = Li (6.3) Nestas cndições, núcle de ferr fica submetid a uma frça f e sfrerá um deslcament angular θ para interir da bbina até que trque prduzid pela frça f seja igual a trque restauradr prduzid pela mla. O trque devid à açã da frça f é dad pr: W L = = i θ θ (6.4) 5
Um instrument de ferr móvel pssui características cnstrutivas tais que term L seja cnstante. Deste md, a equaçã 6.4 trna-se: θ K = i (6.5) Na psiçã de equilíbri, terems: = R i = θ S θ = i K K S (6.6) A expressã (6.6) mstra a psiçã angular instantânea d pnteir quand uma crrente i percrre a bbina d instrument. Cnsiderand que a crrente i é uma funçã periódica, sabe-se que pnteir irá estacinar em uma psiçã angular que crrespnde a valr médi de θ e a partir de (6.6) tems: θ AV = θ θ AV = i K S 0 0 (6.7) Na equaçã (6.7) term RMS da crrente i. Entã, cnclui-se que: i crrespnde a I RMS, send que I RMS é valr 0 θ = AV K S ( I ) RMS (6.8) A equaçã (6.8) mstra que deslcament angular d pnteir d sistema mstrad na Figura 6.4 é prprcinal a valr RMS da crrente i elevad a quadrad. Observe que esta afirmaçã pde ser feita independentemente da frma de nda da crrente i. Prtant, sistema mstrad na Figura 6.4 pde ser utilizad para cnstruir amperímetrs e vltímetrs que medem valr RMS de qualquer frma de nda periódica. 6
Prtant quand uma crrente periódica i(t) circula em um amperímetr de ferr móvel, mesm mstrará seguinte valr: I Lid i( t) 0 = (6.9) Na equaçã (6.9) I Lid é valr mstrad pel amperímetr e é períd da crrente i(t). Analgamente, quand uma tensã v(t) periódica é aplicada ns terminais de um vltímetr de ferr móvel, valr mstrad pel instrument será: VLid v( t) 0 = (6.30) v(t). Na equaçã (6.30) V Lid é valr mstrad pel vltímetr e é períd da tensã Exempl 6: Cnsidere circuit e a frma de nda mstrads em seguida: v( t) V 3t 5t 8t a) Meça a tensã sbre R, utilizand um vltímetr de ferr móvel ideal; b) Meça a crrente i(t) utilizand um amperímetr de ferr móvel ideal. 7
Revisã d Capítul Valr Médi de Ptência e Valr Eficaz u RMS de Crrentes e ensões v( t) R R P = I = i( t) v( t) P = p( t) = v( t) i( t) = v( t) = v( t) 0 0 0 0 V RMS VRMS = v( t) R P = R I RMS RMS 0 0 Amperímetrs e Vltímetrs de Bbina Móvel θ ss = i( t) d( t) K 0 θ ss = v( t) d( t) K 0 S K = (cnstante) N B L W Amperímetrs e Vltímetrs de Fals Valr RMS i(t) i A (t) I Escala u I LIDO A F Display Retificadr/Amperímetr Fatr de Frma de i A(t) Amperímetr de Fals Valr RMS I RMS π F = (Fatr de Frma) F = (Ondas puramente senidais) I Nta: Devid a fat de que este instrument mede valr RMS a partir da definiçã d Fatr de Frma da crrente que circula n amperímetr, e nã da definiçã de valr RMS, mesm é denminad amperímetr/vltímetr de Fals Valr RMS. Amperímetrs e Vltímetrs de Ferr Móvel u Valr RMS verdadeir (rue RMS) θ ss = i( t) = I RMS K S K S 0 θ ss = v( t) = V RMS K S K S 0 L = (cnstante) K θ ( ) ( ) 8
Anexs abela de ransfrmadas de Laplace 9
ABELA: Derivadas, Integrais e Identidades rignmétricas Derivadas Sejam u e v funções deriváveis de x e n cnstante.. y = u n y = n u n u.. y = uv y = u v + v u. 3. y = u v y = u v v u v. 4. y = a u y = a u (ln a) u, (a > 0, a ). 5. y = e u y = e u u. 6. y = lg a u y = u u lg a e. 7. y = ln u y = u u. 8. y = u v y = v u v u + u v (ln u) v. 9. y = sen u y = u cs u. 0. y = cs u y = u sen u.. y = tg u y = u sec u.. y = ctg u y = u csec u. 3. y = sec u y = u sec u tg u. 4. y = csec u y = u csec u ctg u. 5. y = arc sen u y = u u. 6. y = arc cs u y = u u. 7. y = arc tg u y = u. +u 8. y = arc ct g u u. +u 9. y = arc sec u, u y u = u, u >. u 0. y = arc csec u, u y = u u u, u >. Identidades rignmétricas. sen x + cs x =.. + tg x = sec x. 3. + ctg x = csec x. 4. sen cs x x =. +cs x. 5. cs x = 6. sen x = sen x cs x. 7. sen x cs y = sen (x y) + sen (x + y). 8. sen x sen y = cs (x y) cs (x + y). 9. cs x cs y = cs (x y) + cs (x + y). 0. ± sen x = ± cs ( π x). Integrais. du = u + c.. u n du = un+ n+ + c, n. 3. du u = ln u + c. 4. a u du = au ln a + c, a > 0, a. 5. e u du = e u + c. 6. sen u du = cs u + c. 7. cs u du = sen u + c. 8. tg u du = ln sec u + c. 9. ctg u du = ln sen u + c. 0. sec u du = ln sec u + tg u + c.. csec u du = ln csec u ctg u + c.. sec u tg u du = sec u + c. 3. csec u ctg u du = csec u + c. 4. sec u du = tg u + c. 5. csec u du = ctg u + c. 6. du = u +a a arc tg u a + c. 7. du = u a a ln u a u+a + c, u > a. 8. du u +a = ln u + u + a + c. 9. du u a = ln u + u a + c. 0. du = arc sen u a u a + c, u < a.. du u = u a a arc sec u a + c. Fórmulas de Recrrência. sen n au du = senn au cs au an + ( ) n n sen n au du.. cs n au du = sen au csn au an + ( ) n n cs n au du. 3. tg n au du = tgn au a(n ) tg n au du. 4. ctg n au du = ctgn au a(n ) ctg n au du. 5. sec n au du = secn au tg au a(n ) + ( n n ) sec n au du. 6. csec n au du = csecn au ctg au a(n ) + ( n n ) csec n au du.
Medidas Elétricas Material cmplementar a capítul 6 Capítul 6 - Dinâmica d galvanômetr Intrduçã O cnheciment d princípi de funcinament d galvanômetr em regime permanente é útil mas nã representa um cmplet entendiment d instrument, uma vez que para que tenhams uma visã cmpleta d mesm devems analisar também seu cmprtament em regime transitóri. Equações diferenciais d galvanômetr Cnsidere circuit mstrad na figura, nde é mstrad um galvanômetr de bbina móvel, cuja resistência interna é R m, alimentad através de uma fnte de tensã cnstante de valr E. A resistência R tem a funçã de limitar a crrente n galvanômetr. Na equaçã k (t) é um ds n trques externs que atuam n crp rígid e H(t) é mviment angular deste crp. Uma vez que galvanômetr pssui smente um grau de liberdade, mment angular é calculad cm send: dθ(t) H(t) = J () Na equaçã J é mment de inércia d núcle d galvanômetr e θ(t) é a psiçã angular d pnteir (em funçã d temp) que está pres a núcle. O trque extern que atua n núcle pde ser decmpst em 3 cmpnentes que sã: a) rque, resultante da iteraçã entre camp magnétic, prduzid pel imã permanente, e a crrente que circula na bbina. N cas d galvanômetr de camp radial, fi mstrad n capítul que trque n núcle é dad pr: (t) = N BAi(t) (3) Na equaçã 3 N é númer de espiras da bbina, B é a intensidade d camp magnétic d imã permanente e A é a área da bbina que está inserida n camp magnétic d imã. Figura Circuit para análise da respsta transitória d galvanômetr Na figura, inicialmente a chave está aberta e pnteir d galvanômetr está em repus na psiçã angular θ = 0. N temp t = 0 a chave é fechada e uma crrente cmeça a circular n circuit, fazend cm que pnteir alcance uma psiçã final θ s em regime permanente. Para que pssams descrever matematicamente mviment angular d pnteir d galvanômetr em regime transitóri, devems inicialmente bter as equações diferenciais d instrument e em seguida prcurar sluções para estas equações. As equações diferenciais serã btidas a partir das leis da mecânica clássica e das leis básicas de circuits elétrics. A equaçã básica de um crp rígid é escrita cm send: n k= dh(t) (t) = k () b) rque restauradr r prduzid pela mla, que é descrit através de: (t) r = Sθ(t) (4) Na expressã 4 S é a cnstante da mla. c) rque a prduzid pel atrit d núcle d galvanômetr cm ar, send que este trque é escrit cm send: dθ(t) a (t) = Da (5) Prtant, trque resultante n núcle é express cm send: 3 k= k = (t) r (t) a (t) = dh(t) (6) Substituind as expressões 3-5 na equaçã 6 btém-se: dθ(t) dh(t) N BAi(t) Sθ(t) Da = (7)
Medidas Elétricas Material cmplementar a capítul 6 Substituind a expressã na equaçã 7, tems: dθ(t) d θ(t) N BAi(t) Sθ(t) Da = J (8) N capítul fi mstrad que: S = N B A (9) K Substituind a expressã 9 na equaçã 8 btém-se: S dθ(t) d θ(t) i(t) Sθ(t) Da = J (0) K c) Oscilatóri, de md que pnteir scile durante um interval de temp em trn da psiçã de regime permanente θ s (mviment subamrtecid). A figura mstra que independentemente d tip de mviment que pnteir descreve (a, b u c) mesm alcançará em regime permanente a psiçã θ s e, nesta cndiçã, a crrente I s que circulará na bbina d galvanômetr pde ser btida diretamente d circuit mstrad na figura cm send: E Is = () R + R m Manipuland a expressã 0, tems: d θ(t) dθ(t) J + Da + Sθ(t) = S K i(t) () A equaçã relacina a psiçã angular θ(t) e a crrente i(t) que circula na bbina d galvanômetr. Prtant, devems determinar também uma equaçã diferencial para a crrente i(t). A partir da sluçã da equaçã (), pde-se verificar que mviment d pnteir pderá ser sbreamrtecid, criticamente amrtecid u subamrtecid, cnfrme mstra a Figura. O tip de mviment desenvlvid pel pnteir é funçã das cnstantes J, D a, S e K d instrument. Figura - Mviment angular d pnteir d galvanômetr De acrd cm a Figura, mviment angular d pnteir, antes de alcançar a psiçã de regime permanente θ s pde ser d tip: a) Lent e gradual (mviment sbreamrtecid); b) Rápid, de md que pnteir nã ultrapasse a psiçã θ s (mviment criticamente amrtecid);