Geometia: Peímeto, Áea e Volume Refoço de Matemática ásica - Pofesso: Macio Sabino - 1 Semeste 2015 1. Noções ásicas de Geometia Inicialmente iemos defini as noções e notações de alguns elementos básicos da geometia como ponto, eta, plano e ângulo. lém disso, definiemos algumas figuas geométicas planas e espaciais de maio inteesse paa o cuso. 1.1. Ponto O ponto, do latim punctos, efee-se, oiginalmente, a uma dada posição específica. Este não possui dimensão ou foma, ou seja, é uma abstação paa defini um luga geomético. Um ponto é denotado po letas maiúsculas latinas:,, P, etc. Paa visualização, vamos assumi um ponto como na epesentação gáfica abaixo. P Figua 1: Repesentação Gáfica do Ponto. 1.2. Reta Po definição, dois pontos distintos deteminam uma única eta que passa po eles. Uma eta é denotada po letas minúsculas latinas: a,, s, etc. eta Figua 2: Repesentação Gáfica de uma eta definida po dois pontos. 1.3. Plano Po definição, tês pontos não colineaes deteminam um único plano que passa po eles. Um plano é denotado po letas minúsculas gegas: α, β, γ, π, etc. π Figua 3: Repesentação Gáfica de um plano definido po tês pontos não colineaes. 2. Ângulos hama-se ângulo à eunião de duas semi-etas de mesma oigem, não colineaes. O ponto O é o vétice do ângulo ˆ O; O s Figua 4: Repesentação Gáfica de um ângulo ente duas semi-etas. Existem quato denominações paa denomina conjuntos de ângulos:
Ângulo Reto: Quando o ângulo é igual a 90o, ou seja, θ = 90 ; Ângulo gudo: Quando o ângulo é meno que 90o, ou seja, 0 θ < 90 ; Ângulo Obtuso: Quando o ângulo é maio que 90o, ou seja, 90 < θ < 180 ; Ângulo Raso: Quando o ângulo é maio que 180o, ou seja, θ = 180 ; Vejamos as epesentações gáficas dos tipos de ângulos: Ex.: etemine o valo de x em cada caso: (a) x + 4x = 90 5x = 90 x = 90 5 x = 18 x = 18. (b) (x + 20 ) + (3x 40 ) = 180 x + 3x + 20 40 = 180 4x 20 = 180 4x = 180 + 20 4x = 200 x = 200 4 x = 50 x = 50. 2.1. Posições Relativas ente Retas adas duas ou mais etas do plano, elas podem se paalelas, concoentes, coincidentes ou concoentes pependiculaes. onsidee o esquema abaixo: onsidee duas etas em um plano. uas etas são ditas paalelas se, e somente se, possuíem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulaes foem iguais. Podemos dize também que duas etas são paalelas quando são equidistantes duante toda sua extensão. s etas e s são paalelas, ou seja, s; uas etas são ditas concoentes se estas possuiem um único ponto em comum. Na figua, temos as seguintes etas concoentes: e x, e y, s e x, e x e y; uas etas são ditas pependiculaes se o ângulo ente estas fo de 90. s etas x e y são pependiculaes, ou seja, x y; uas etas são ditas coincidentes se, e somente se, petenceem ao mesmo plano e possuíem todos os pontos em comum.
2.2. Popiedades das Retas Tanvesais Se duas etas paalelas são cotadas po uma eta tansvesal, os ângulos coespondentes são conguentes, isto é, possuem as mesmas medidas. s Os ângulos opostos pelo vétice de duas etas concoente são conguentes. s Se duas etas paalelas são cotadas po uma eta tansvesal, os ângulos altenos intenos são conguentes. s Ex.: onsidee o esquema epesentando uma jogada de bilha. o bate na tabela, a bola sai com o mesmo ângulo de incidência. (a) etemine o ângulo OM. ˆ Solução: ompletando o ângulo aso, temos que OM ˆ + 125 = 180 OM ˆ = 180 125 OM ˆ = 55. (b) etemine o ângulo ˆ T Q. Solução: omo OM ˆ e Tˆ Q são ângulos altenos intenos, estes são conguentes. esta foma, ˆ T Q = 55. (c) etemine o ângulo Tˆ V. Solução: omo ao bate na tabela, a bola sai com o mesmo ângulo de incidência, temos que Tˆ Q e V Tˆ P são conguentes. esta foma, completando o ângulo aso, temos que V Tˆ P + T ˆ V + T ˆ Q = 180 55 + T ˆ V + 55 = 180 T ˆ V = 180 55 55 T ˆ V = 70.
3. Tiângulos onsidee 3 pontos,,, não colineaes. eunião dos segmentos, e chama-se tiângulo. onsidee o tiângulo da Figua 5: c  b ˆ a Ĉ Figua 5: Repesentação de um tiângulo. Vétices: São definidos pelos pontos, e. Lados ou estas: Os segmentos, e, com medidas dadas espectivamente po c, b e a, são os lados do tiângulo. Ângulos: Os ângulos 3.1. lassificação ˆ (ou Â), ˆ (ou Ĉ) e Um tiângulo pode se classificado em elação aos seus lados ou ângulos. lassificação pelos Ângulos: Seguem as definições paa tiângulos em elação aos seus ângulos: Tiângulo Retângulo: Se possui um ângulo eto. Tiângulo cutangulo: Se os tês ângulos foem agudos. Tiângulo Obtusângulo: Se possui um ângulo obtuso. ˆ (ou ˆ) são os ângulos intenos do tiângulo. F I E G H Figua 6: Tiângulo Retângulo. Figua 7: Tiângulo cutangulo Figua 8: Tiângulo Obtusângulo lassificação pelos Lados: Seguem as definições paa tiângulos em elação aos seus lados: Tiângulo Equiláteo: Se 3 lados do tiângulo são conguentes. Tiângulo Isósceles: Se 2 lados do tiângulo são conguentes. Tiângulo Escaleno: Se 3 lados do tiângulo não são conguentes. F I E G H Figua 9: Tiângulo Equiláteo Figua 10: Tiângulo Isósceles Figua 11: Tiângulo Escaleno
3.2. Soma dos Ângulos Intenos de um Tiângulo onsidee um tiângulo qualque com ângulos intenos dados po Â, ˆ e Ĉ. soma dos ângulos intenos deste tiângulo é sempe igual a dois ângulos etos, ou seja, Ex.: etemine o valo de x em cada caso: Â + ˆ + Ĉ = 180o (a) x + 40 + 70 = 180 x = 180 40 70 x = 70. (b) x + 2x + 3x = 180 6x = 180 x = 180 6 x = 30. 4. Geometia Mética: Peímeto, Áea e Volume Nesta seção, seão tatados os conceitos de peímeto, áea de supefícies planas e volume. 4.1. Peímeto Peímeto é a medida de compimento de um contono ou a soma das medidas dos lados de uma figua plana. O peímeto de um tiângulo qualque é dado pela soma dos compimentos das suas tês aestas, ou seja, P = + + O peímeto de uma cicunfeência com aio é dado po P = 2 π O peímeto de um paalelogamo qualque é dado pela soma dos compimentos das suas quato aestas, ou seja, P = 2 + 2
5. Áea áea é a supefície compeendida dento de um peímeto. Vejamos o cálculo da áea de algumas figuas planas. áea de um tiângulo qualque é dada pelo poduto do compimento da base pelo compimento da altua dividido po dois, ou seja, = h 2. h áea de um paalelogamo qualque é dada pelo poduto do compimento da base pelo compimento da altua, ou seja, = h h áea de um etângulo é dada pelo poduto dos compimentos dos dois lados adjacentes, ou seja, = áea de um tapézio qualque é dada pelo poduto do compimento da altua pela soma dos compimentos ( ) + h da base maio e meno, dividido po dois. Temos então, = 2 h áea de uma cicunfeência qualque de aio é dada po = π 2
6. Volume Refee-se à gandeza física que expessa a extensão de um copo em tês dimensões (compimento, lagua e altua). O volume de um cubo é dado po V = l 3 O volume de um paalelepípedo é dado po V = a b c O volume de um cilindo é dado po V = (áea da base). (ltua) = π 2 H O volume de uma esfea é dada po V = 4 3 π R3 O volume de uma piâmide é dada po V = 1 (áea da base). (ltua) 3 O volume de um cone é dado po V = 1 3 (áea da base). (ltua) = 1 3 π 2 h
EXERÍIOS - Geometia: Peímeto, Áea e Volume Refoço de Matemática ásica - Pofesso: Macio Sabino - 1 Semeste 2015 Nome : Ra : P ojetos Manhã P ojetos Noite 1. onsidee o esquema nas figuas: (a) etemine os ângulos x e y. (b) etemine os ângulos x e b. (c) etemine o ângulo x. 2. onsidee os seguintes esquemas nas figuas: (a) etemine os ângulos x, y e z. (b) etemine os ângulos a, b e c. 3. onsidee os seguintes esquemas nas figuas: (a) etemine o ângulo x. (b) etemine os ângulos x, y e z. 4. onsidee um etângulo com lado maio valendo 4 [m] e diagonal intena valendo 5 [m]. (a) etemine o peímeto do etângulo. (b) etemine a áea do etângulo. (c) etemine o peímeto do tiângulo hachuado. (d) etemine a áea do tiângulo hachuado. 5. onsidee um quadado com peímeto igual a 7 [mm]: (a) etemine o compimento de cada lado do quadado. (b) etemine a áea deste quadado. 6. onsidee uma cicunfeência 1 de aio [cm] inscita em uma outa cicunfeência 2 de aio R = 4 [cm]. (a) etemine o peímeto da cicunfeência 2. (b) etemine a áea da cicunfeência 2. (c) Se a áea da cooa cicula limitada ente as duas cicunfeências é igual a 9π [cm 2 ], detemine o aio da cicunfeência 1.
7. onsidee o tapézio epesentado na figua com as medidas dadas em metos: (a) etemine o peímeto deste tapézio. (b) etemine a áea deste tapézio. 8. onsidee um cilindo de aio R incito em um cubo com aesta de compimento a. Uma figua mosta o esquema descito anteiomente e a outa a pojeção da base do sólido. Sabe-se que o aio da cicunfeência vale 3 [cm]. (a) etemine o volume do cubo. (b) etemine o volume do cilindo. (c) etemine o volume live ente o cubo e o cilindo. 9. onsidee uma esfea inscita em um cilindo como na figua. Sabe-se que o volume do cilindo é V = 16π [cm 3 ]. etemine o volume da esfea. 10. ois esevatóios de altua H e aio R, um cilíndico e outo cônico, estão totalmente vazios e cada um seá alimentado po uma toneia, ambas de mesma vazão. Sabe-se que o esevatóio cilíndico leva 2 hoas e meia paa fica completamente cheio. etemine o tempo necessáio paa que isto ocoa com o esevatóio cônico. 11. Na fabicação da peça na figua, feita de um único mateial que custa R$ 5, 00 o [cm 3 ], detemine o valo gasto paa a sua fabicação. 12. onsidee uma piâmide com volume de 6 [m 3 ] inscita em um cubo. etemine o volume do cubo.
Soluções (1a) x = 25 e x = 15 (1b) x = 20 e b = 100 (1c) x = 12 (2a) x = 50, y = 48 e z = 82 (2b) a = 50, b = 55 e c = 50 (3a) x = 50 (3b) x = 105, y = 60 e z = 15 (4a) P = 14 [m] (4b) = 12 [m 2 ] (4c) P = 12 [m] (4d) = 6 [m 2 ] (5a) x = 7 4 [mm] (5b) = 49 16 [mm2 ] (6a) P = 8π [cm] (6b) = 16 [cm 2 ] (6c) = 7 [cm] (7a) P = 40 [u.c] (7b) = 88 [u.a] (8a) V = 216 [cm 3 ] (8b) V = 54π [cm 3 ] (8c) V = 216 54π [cm 3 ] (9) V = 32 3 π [cm3 ] (10) t = 50 [min] (11) = R$ 380, 00 (12) V = 18 [m 3 ]