Matrizes - Transpostas e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 29 de julho de 2015 1 / 34
Sumário 1 Transposição 2 3 4 5 2 / 34
Sumário 1 Transposição 2 3 4 5 3 / 34
Considere as matrizes [ ] 1 i (2 + i) A = (2 2i) (1 + i) 4 1 (2 2i) e B = i (1 + i) (2 + i) 4 Alguma semelhança entre elas? Foi feita a transposição de cada linha de A para uma coluna de B. 4 / 34
Definição (Transposta de uma Matriz) Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m. Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá ordem m n e será chamada transposta de A, cuja notação é A T. a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a 21... a n1 A T a 12 a 22... a n2 =... a 1m a 2m... a nm 5 / 34
Exemplos: 1 2... m 1 2 2... m 2 A =... 1 2 n... m n 1 i 1 i i 1 i 1 A = 1 i 1 i i 1 i 1 A T = 1 1... 1 A T 2 2 2... 2 n =... m m 2... m n 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 6 / 34
Sumário 1 Transposição 2 3 4 5 7 / 34
Qual o conjugado do número complexo z = 3 2i? z = 3 + 2i. (Conceito Algébrico) Qual o significado geométrico para o conjugado de um número complexo? Repare que z + z R. Em geral: z = a + bi = z = a bi 8 / 34
Mas, e a conjugada de uma matriz? Definição () Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m. A matriz conjugada de A é definida por: A = [a rs ] onde a rs é o conjugado do número complexo a rs para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m}. a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A =... a n1 a n2... a nm Qual a ordem da matriz conjugada A? 9 / 34
Exemplos: 1 i 1 i 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 1 3 2 1 3 2 A = 1 17 3 A = 1 17 3 4 2 0 4 2 0 10 / 34
Sumário 1 Transposição 2 3 4 5 11 / 34
Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A. [ ] (3 i) ( 2 + i) 4 A = i 2i ( 1 i) (3 i) i (3 + i) i A T = ( 2 + i) 2i A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 i) 4 ( 1 + i) [ ] (3 + i) ( 2 i) 4 (3 + i) i A = i 2i ( 1 + i) A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 + i) A T = A T 12 / 34
Em geral a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a 21... a n1 a A T 12 a 22... a n2 =... a 1m a 2m... a nm a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A =... a n1 a n2... a nm A T = A T a 11 a 21... a n1 a A T 12 a 22... a n2 =... a 1m a 2m... a nm a 11 a 21... a n1 a A T 12 a 22... a n2 =... a 1m a 2m... a nm 13 / 34
Notação Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta de uma matriz A, usaremos a notação Isto é, A A = A T 14 / 34
Propriedades Dada uma matriz A de ordem n m, são válidas: (A + B) T = A T + B T (A + B) = A + B (α.a) T = α.a T (α.a) = α.a 15 / 34
Prova Provemos a última igualdade: (α.a) = α.a (α.a) = (α.a) T = (α.[a rs ] n m ) T = ([α.a rs ] n m ) T = ([α.a rs ] n m ) T = [α.a sr ] m n = [α.a sr ] m n = α.[a sr ] m n = α.[a rs ] T m n = α.a 16 / 34
Sumário 1 Transposição 2 3 4 5 17 / 34
A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradas podem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremos a seguir. A = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 Veja que A = A T A T = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 18 / 34
Matriz Simétrica Definição (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = A T. Observe que em uma matriz simétrica, A 1 = A 1, A 2 = A 2,... A n = A n Consequentemente a rs = a sr para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., n}. 19 / 34
Exemplo Seja A = [a rs ] n n a matriz tal que a rs = (r s) 2. A é simétrica? a rs = a sr? (r s) 2 = (s r) 2? Sim. Portanto, A é simétrica. 20 / 34
Matriz Antissimétrica Considere o seguinte caso: 0 2 1 0 2 1 A = 2 0 1 A T = 2 0 1 1 1 0 1 1 0 Observe que A T = A. Definição (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica quando A T = A. Tem-se A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n. Consequentemente, a rs = a sr 21 / 34
Matriz Antissimétrica Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonal principal é nula. Verdadeiro! a rs = a rs = a 11 = a 11, a 22 = a 22,..., a nn = a nn Daí, 2a 11 = 0, 2a 22 = 0,..., 2a nn = 0 Ou seja, a 11 = 0, a 22 = 0,..., a nn = 0 Observação ANTISSIMÉTRICA NÃO É O CONTRÁRIO DE SIMÉTRICA 22 / 34
Matriz Antissimétrica Exemplo A = 4 2 1 5 3 2 1 78 13 45 22 15 9 11 8 7 4 3 13 9 A T = 2 2 45 11 1 1 22 8 5 78 15 7 Claramente não ocorre A T = A nem A T = A. Portanto A não é simétrica, nem antissimétrica. 23 / 34
Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica? Dada A = [a rs ] n n, é possível: a rs = a sr e a rs = a sr, para cada r, s {1, 2..., n}? Se a rs = a sr e a rs = a sr, então a sr = a rs, isto é, a sr = 0. Portanto a rs = 0. Conclusão: A = 0. 24 / 34
Matriz Hermitiana Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temos conceitos análogos para simetria e antissimetria. 2 1 i 2 + 2i Seja A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 2 1 i 2 + 2i Então Se A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 Conclusão: A = A. 25 / 34
Definição (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é hermitiana a quando A = A. a Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite (1822-1901). A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n Isto é, a rs = a sr 26 / 34
Matriz Hermitiana Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz hermitiana, então sua diagonal principal é formada por números reais puros. Verdadeiro! Sendo A hermitiana, então A = A. Isto é, a rs = a sr Em particular, a 11 = a 11, a 22 = a 22,..., a nn = a nn Para a 11 = a 11, temos que a 1 + ib 1 = a 1 ib 1, ou seja, b 1 = b 1. Portanto b 1 = 0 e a 11 = a 1 + i.0 = a 1 R. Da mesma forma, a 22, a 33,..., a nn R. 27 / 34
Matriz Anti-hermitiana 2i 3 + 5i 2 7i Seja A = 3 + 5i 0 9 2 7i 9 3i 2i 3 5i 2 + 7i Então Se A = 3 5i 0 9 2 + 7i 9 3i Conclusão: A = A. 28 / 34
Definição (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitiana quando A = A. A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n Daí, a rs = a sr O que acontece com a diagonal principal de uma matriz anti-hermitiana? São elementos na forma i.b com b R. Observação ANTI-HERMITIANA NÃO É O CONTRÁRIO DE HERMITIANA 29 / 34
Sumário 1 Transposição 2 3 4 5 30 / 34
Exercício Mostre que (A T ) T = A Solução a 11 a 12... a 1m a 11 a 21... a n1 a 21 a 22... a 2m A = A T a 12 a 22... a n2 =...... a n1 a n2... a nm a 1m a 2m... a nm a 11 a 12... a 1m (A T ) T a 21 a 22... a 2m =... = A a n1 a n2... a nm 31 / 34
Exercício O que ocorre com (A )? Solução a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a 12... a 1m (A ) a 21 a 22... a 2m =... a n1 a n2... a nm a 11 a 21... a n1 A a 12 a 22... a n2 =... a 1m a 2m... a nm a 11 a 12... a 1m (A ) a 21 a 22... a 2m =... = A a n1 a n2... a nm 32 / 34
Exercício Qual a solução para X = X T? Solução x 11 x 12... x 1m x 21 x 22... x 2m X =... x n1 x n2... x nm x 11 x 21... x n1 X T x 12 x 22... x n2 =... x 1m x 2m... x nm m n x 11 x 21... x n1 X x 12 x 22... x n2 =... x 1m x 2m... x nm x rs = x rs x rs R X R n m m n 33 / 34
Exercício Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz B = A + A T é simétrica. Exercício Devemos mostrar que B T = B B = A + A T = B T = (A + A T ) T = B T = A T + (A T ) T = B T = A T + A = B T = B Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz C = A A T é antissimétrica. 34 / 34