Notas sobre primitivas

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada seja f: Eemplos. F () é uma primitiva de f () ; pois F 0 () 0 :. F () 5 é uma primitiva de f () ; pois F 0 () 5 0 :. Sendo a R, F () a é uma primitiva de f () a; pois F 0 () (a) 0 a:. F () e + é uma primitiva de f () e ; pois F 0 () (e + ) 0 e : 5. F () arctan é uma primitiva de f () +, pois F 0 () (arctan ) 0 + : 6. F () ln ( + ) é uma primitiva de f () + ; pois F 0 () ln + 0 + : 7. F () n+ n + (n 6 ) é uma primitiva de f () n ; pois F 0 n+ 0 () n : n + É fácil perceber que a primitiva de uma função não é única. Basta observar os eemplos e atrás e imaginar muitas situações análogas. As proposições seguintes caracterizam o conjunto das primitivas de uma função num intervalo. Proposição Se, num dado intervalo, uma função f tem uma primitiva F; então f tem, nesse intervalo uma in nidade de primitivas.

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Demonstração: Se F é uma primitiva de f; 8k R, F + k também é primitiva de f; pois (F + k) 0 F 0 + 0 f: Proposição Se, num dado intervalo I, F e G são primitivas de uma mesma função f; então F e G diferem por uma constante nesse intervalo, isto é eiste k R tal que F () G () k: Demonstração: Como, 8 I; (F () G ()) 0 F 0 () G 0 () f () f () 0; então F () G () é constante em I: (é sabido que se uma função tem derivada nula num intervalo então é constante nesse intervalo). A proposição motiva a seguinte de nição: De nição: Integral inde nido de uma função f é o conjunto de todas as suas primitivas. Dada uma primitiva F de f; o integral inde nido de f representa-se da seguinte forma: f () d F () + k; k R: A epressão f () d lê-se "integral de f () relativamente a " e a partícula, embora possa assumir um signi cado preciso, serve simplesmente para indicar a variável relativamente à qual se está a integrar. Nem sempre eiste primitiva de uma função f num intervalo I: Quando eiste diz-se que a função é primitivável ou integrável em I: O teorema seguinte dá uma condição su ciente para uma função ter primitiva, apesar de nem sempre ser possível determiná-la analiticamente. Teorema Se f é contínua num intervalo real I; então f é primitivável em I: (O intervalo I pode ser todo o conjunto R) Este teorema garante apenas que as funções contínuas são primitiváveis. Não diz que funções não contínuas não são primitiváveis. Das propriedades das derivadas podem-se inferir propriedadespara as primitivas: Proposição Sejam f e g funcões primitiváveis num intervalo I e k uma constante arbitrária. Então:

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas. kf é primitivável e sendo F uma primitiva de f, kf é primitiva de kf: Em notação integral tem-se kf () d k f () d:. f + g é primitivável e sendo F uma primitiva de f e G uma primitiva de g, F + G é primitiva de f + g: Em notação integral f () + g () d f () d + g () d: Demonstração:. (kf ) 0 kf 0 kf. (F + G) 0 F 0 + G 0 f + g O primeiro resultado permite que constantes "atravessem" o sinal de integral, o que facilita o cálculo de muitas primitivas, como veremos na secção seguinte. O segundo resultado é facilmente generalizado à soma de qualquer número de funções e permite decompor a primitiva de uma função que inclua somas na soma de várias primitivas o que, novamente, facilita muitos cálculos. Eemplo: ( 5 + + 5 + 6) d # : da Prop. # : da Prop. # E. 7 da pg. 5 d + 5 d + d d d + d + d 6 6 + 5 5 + 5 + 6 + k: d 5 5 d + d + 6 d 6 d Proposição Se f é uma função primitivável num intervalo I, a I e b R, eiste uma única primitiva F de f veri cando a condição F (a) b: Demonstração: Se g () é uma primitiva de f; então a função F () g () também primitiva de f (proposição ) e F () g (a) g (a) + b é g (a) + b b; o que prova a eistência de F nas condições do enunciado. Se houver duas funções satisfazendo essas condições, a sua diferença é uma constante (proposição ) e, como no ponto a essa diferença é 0, as duas funções têm de ser a mesma. Esta proposição permite resolver os chamados "problemas de valor inicial" ou "problemas de Cauchy", dos quais, de seguida, damos um eemplo.

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 5 Eemplo: Determinar a primitiva F da função f () que veri ca a condição F () 5, (ou que para tem o valor 5 ou, ainda, cujo grá co passa no ponto de coordenadas (; 5)). Sendo g () uma primitiva de f () (e. da pg. ), pela demonstração anterior, a função F () g () + 5 + 5 + é a primitiva procurada. Alternativamente o problema pode-se resolver determinando o integral inde nido f () d e depois calculando a constante k de modo a obter F nas condições requeridas: Sendo F () d + k; F () 5 ) + k 5 ) k ; pelo que F () + : Primitivas imediatas Designam-se por primitivas imediatas aquelas que podem ser calculadas a partir de derivadas já conhecidas e por "inversão" das regras de derivação. A partir da seguinte tabela de derivadas podemos inferir uma tabela análoga para primitivas. Derivadas Se é uma variável: Se u é uma função: ( ) 0 ; R (u ) 0 u ; R (e ) 0 e (e u ) 0 e u (a ) 0 a ln a; a R + (a u ) 0 a ln a ; a R + (ln ) 0 (ln u) 0 u0 u (sen ) 0 cos (sen u) 0 cos u (cos ) 0 sen (cos u) 0 sen u (tan ) 0 cos (cot ) 0 sen (arcsen ) 0 p (arccos ) 0 p (tan u) 0 u0 cos u (cot u) 0 sen u (arcsen u) 0 p u (arccos u) 0 (arctan ) 0 + (arctan u) 0 u0 (arccot ) 0 + (arccot u) 0 p u + u + u

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 6 Primitivas Se é uma variável: Se u é uma função de : d + + k: ( 6 ) u d u+ + k: ( 6 ) + + e d e + k: e u d e u + k: a d a ln a + k: (a R+ ) d d ln jj + k: cos d sin + k: sin d cos + k: d tan + k: cos sin d cot + k: p arcsin + k: p d arccos + k: d arctan + k: + d ar cot + k: + a u d a ln a + k: (a R+ ) u 0 d ln juj + k: u cos u d sin u + k: sin u d cos u + k: d tan u + k: cos u sin d cot u + k: u p arcsin u + k u p d arccos u + k: u d arctan u + k: + u d ar cot u + k: + u Há outras primitivas que podem ser calculadas a partir destas, mediante pequenas manipulações envolvendo, por eemplo: os resultados da proposição, que permitem tirar constantes "fora" do integral e decompor uma primitiva numa soma de duas ou mais primitivas; produtos e divisões por constantes de modo a encontrar valores em "falta", mas sem alterar a função; operações com as funções, como dividir o numerador de uma função racional pelo seu denominador, quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. utilização de identidades trigonométricas. Eemplos:. ( 5) d ( 5) d ( 5) 5 + k 5 ( 5)5 5 + k

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 7.. + d + + d + + + d d d arctan + k: + + d + d + d v u t 0 @ + r r! d A r r arctan + k:. Sabendo que cos + cos ; torna-se fácil calcular o integral seguinte: + cos cos cos d d + d cos d + d + sin + k Determinar primitivas imediatas pode ser, por vezes, complicado, por implicar várias manipulações, como podemos ver no eemplo seguinte: 5. + sin + cos d + cos d + sin cos + d cos ( + cos ) ( cos ) d cos d ln j + cos j cos cos sin d ln j + cos j sin d + cot + sin + cos + sin + cos d sin + cos d cos sin d ln jcos + j ln jcos + j + k Primitivação por partes O método de primitivação por partes permite transformar o cálculo de primitivas não imediatas no cálculo de primitivas imediatas ou de primitivas já conhecidas. Pela fórmula de derivação do produto de duas funções, sabe-se que, sendo u e v duas funções de ; (uv) 0 v + uv 0

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 8 Desta fórmula sai que (uv) 0 d ( v + uv 0 ) d,, uv vd + uv 0 d,, uv 0 d uv vd A última fórmula é, então, utilizada para o cálculo de primitivas não imediatas, habitualmente envolvendo o produto de duas funções. Para a aplicar é necessário escolher, entre as duas funções, uma para ser derivada, que tomará o lugar de "u" e outra para ser primitivada tomando o lugar de "v 0 ": Eemplos:. e d: Fazendo u e v 0 e ; tem-se e v e : Assim {z} e d {z} e {z} e d uv 0 uv v e e + k. Por vezes o método também se usa quando só está envolvida uma função, considerando para função v 0 a função constante. ln d ln : d Fazendo u ln e v 0 ; tem-se e v : Assim ln {z :} d ln{z } d uv 0 uv {z} v ln d. Para n N, n ln d: ln + k Neste caso, u ln, v 0 n ; e v n+ n + n {z ln } d ln n+ n+ d n + uv 0 {z } n {z + } uv v ln n+ n d n + n + ln n+ n+ n + (n + ) d

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 9 Para facilitar a aplicação do método pode ser usado um esquema no qual gurem as várias funções implicadas no processo como, por eemplo, o seguinte: u! j. arctan d v v 0 A escolha de u e v 0 é indicada no esquema seguinte: Então, arctan d arctan + d arctan + d arctan ln ( + ) + k u arctan! + j v v 0 5. Em certos casos é necessário, no cálculo da mesma primitiva, usar mais de uma vez o processo de primitivação por partes: e ( 8 + 5) d Fazemos uma primeira escolha das funções u e v 0 : u 8 + 5! 8 j v e v 0 e Fica: e ( 8 + 5) d e ( 8 + 5) e ( Para calcular e ( 8) d repetimos o processo 8) d u 8! j v e v 0 e

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 50 Então: e ( 8 + 5) d e ( 8 + 5) e ( 8 + 5) e ( 8) d e ( 8) e d e ( 8 + 5) e ( 8) + e + k e ( 0 + 5) + k Primitivação por substituição Este método baseia-se na regra de derivação da função composta e permite, mais uma vez, transformar primitivas não imediatas em primitivas imediatas ou já conhecidas. Seja f () uma função que pretendemos primitivar e suponhamos que F () é uma primitiva de f () num determinado intervalo real. Se substituirmos por uma função bijectiva u (t) ; como (F (u (t))) 0 F 0 (u (t)) (t) f (u (t)) (t) ; temos que (F (u (t))) 0 dt f (u (t)) (t) dt,, F (u (t)) f (u (t)) (t) dt: Assim a função F (u (t)) pode ser calculada integrando, em ordem a t a função f (u (t)) (t) : Como u (t) é bijectiva, de u (t) ; obtemos t u () : Substituindo em F (u (t)) a variável t por u () ; camos com F (u (u ())) F () ; que é a primitiva pretendida. Eemplos:. p e d: Fazendo t p e ; tem-se que ln (t + ) ; pelo que, neste caso, a função u (t) ln (t + ) e (t) t t + : Vamos então efectuar a substituição e integrar, em ordem a t; a função f (u (t)) (t) : t t t + dt t + dt dt arctan t + k: t + Para obter a primitiva pretendida, basta agora substituir t por u () p e ca: p e d arctan p e + k: e

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 5 Nota: Para não sobrecarregar os cálculos, muitas vezes não se refere eplicitamente a função u (t) ; pois de facto o que interessa é ter escrito em função de t e t em função de : Para indicar a derivada de u (t) ; comete-se um abuso de linguagem escrevendo d dt 0 : No caso anterior ter-se-ia: e. e + e d Vamos efectuar a procedimento na seguinte tabela: t t + t t dt t t + dt Substituindo t por e ; obtém-se: e e + e d ln (e + ) + k: t p e 6 ln (t + ) 0 t t + ou simplesmente a substituição ln t e resumimos a informação necessária ao ln t 6 t e 0 t t t + dt ln (t + ) + k: Primitivação de funções racionais Chama-se função racional uma função que pode ser de nida pelo quociente de dois polinómios. Eemplos:. f () 5 + 5. f () 6 + + Uma função racional é, portanto, representável por um cociente a () em que a () e b () b () são polinómios. Quando o grau de a () é maior ou igual que o grau de b () a função racional pode ser representada na forma a () b () q () + r () b ()

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 5 em que o grau de r () é menor que o grau de b () : De facto, dado que efectuando a divisão de a () por b () se obtém a () q () b () + r () ; em que o grau de r () é menor que o grau de b () ; então a () b () q () b () + r () b () q () + r () b () O problema de primitivar funções racionais arbitrárias reduz-se assim ao de primitivar funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador pois a () b () d q () + r () r () b () d q () d + b () d em que q () d é a primitiva de um polinómio e o grau de r () é menor que o grau de b () : Para primitivar essas funções, vamos decompô-las na soma de funções racionais mais simples, cujas primitivas se inserem na classe das primitivas imediatas. Consideramos, então uma função racional da forma p (), em que o grau de p () é menor q () que o grau de q () : Há dois casos fundamentais: Caso q () decompôe-se num produto de factores de grau : q () ( a ) ( a ) : : : ( a n ) Caso q () tem factores de grau sem raízes. Vamos analisar cada um desses casos: Caso : Este caso tem dois subcasos: (i) a ; a ; : : : ; a n são todos diferentes. Neste caso: em que A i p () q () A + A + + A n a a p (a i ) (a i a ) : : : (a i a i ) (a i a i+ ) : : : (a i a n ) a n + Eemplo: 5 + 6 + ( ) ( ) 7 6 (ii) Eistem factores da forma ( a t ) k : Na decomposição de p () ; para além das parcelas q () correspondentes às raizes simples, a cada um desses factores correspondem k parcelas da forma: A t a t + A t ( a t ) + + A kt ( a i ) k Eemplo: ( ) + ( )

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 5 Caso : Novamente há dois subcasos: (i) Cada factor quadrático é simples. Neste caso a cada factor de grau dois, sem raizes reais, a + b + c, corrsponde uma parcela da forma: B + C a + b + c Eemplo: + 5 + 5 ( ) ( + + ) + + + (ii) Eistem factores quadráticos múltiplos, isto é, da forma (a + b + c) k. A cada um desses factores correspondem k parcelas da forma: B + C a + b + c + B + C (a + b + c) + + B k + C k (a + b + c) k Eemplo: + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Em geral, para determinar as constantes que aparecem nos numeradores, usa-se o chamado método dos coe cientes indeterminados, que consiste em igualar p () à soma das q () fracções correspondentes aos factores do denominador, de acordo com os casos eplicitados acima, e efectuar os cálculos para determinar as constantes que têm de gurar nos numeradores, o que passa em geral por resolver um sistema (eemplo abaio), ou então atribuir valores de modo a obter os resultados pretendidos (eemplo abaio). Eemplos:. Vamos decompor a função racional numa soma de fracções simples: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) A + + B + C +,, ( + ) ( + ) A ( + ) + (B + C) ( + ) ( + ) ( + ), A ( + ) + (B + C) ( + ), (A + B) + ( A + B + C) + (A + C) 0 + 0 + 8 A + B 0 ><, A + B + C 0 >: A + C, A ; B ; C Portanto ( + ) ( + ) + + + +

MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas 5. Vamos decompor ( ) ( + ) ( ) ( + ) A + B ( ) + C +,, A ( ) + B ( + ) + C ( ) numa soma de fracções simples: ) C ) C ) B ) B 0 ) A + B + C 0 ) A Portanto + ( ) ( + ) ( ) + +. Cálculo de uma primitiva por decomposição em fracções simples: ( + ) ( ) d # e. ( ) ( + ) d + ( ) + + d + ( ) + d ln j j ln j + j. Cálculo da primitiva de uma parcela correspondente a um factor quadrático: + + d + d + d + d + d! + d d + 0 B @ + d + p p C da p p + ln j + j + p arctan p p ln j + j p arctan p p