Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 26 de abril de 200 Aula 8 Pré-Cálculo
O que é uma função? Funções reais Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de R faz corresponder exatamente um elemento chamado f (x), em um subconjunto C de R. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Aula 8 Pré-Cálculo 2 Aula 8 Pré-Cálculo 5 Lembram-se dos diagramas de Venn? f (0) =0, f (2) =4, f (a + b) =2 (a + b), f ( ) =2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. D C Aula 8 Pré-Cálculo 3 Aula 8 Pré-Cálculo 5
Lembram-se dos diagramas de Venn? Uma outra representação para funções (entrada) (saída) (Ir para o GeoGebra) Aula 8 Pré-Cálculo 6 Aula 8 Pré-Cálculo 7 Cuidado! f : D C x y = f (x) Aqui x é um número real no domínio D! Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) C chama-se o valor assumido pela função f no ponto x D. Aqui f é uma função real que a cada número real x no domínio D associa um único número real f (x) no contradomínio C! O correto é dizer a função f e não a função f (x) (ou a função y = f (x) ). Contudo, por simplicidade, livros e pessoas costumam usar as formas incorretas. : dizer a função y = 2 x ao invés de a função tal que y = f (x) =2 x. pertence a imagem de f? Sim, pois f (/2) =! Aula 8 Pré-Cálculo 33 Aula 8 Pré-Cálculo 40
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f () =2! 3 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 3/2) = 3! Aula 8 Pré-Cálculo 42 Aula 8 Pré-Cálculo 44 b R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) =b! Moral: Imagem de f = R! Aula 8 Pré-Cálculo 46 Aula 8 Pré-Cálculo 47
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 2)=2! Temos que f ( 2)=2. Note, também, que f ( 2)=2. Aula 8 Pré-Cálculo 49 Aula 8 Pré-Cálculo 5 Para que y Imagem de f basta um x D tal que f (x) =y! 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) =0! Aula 8 Pré-Cálculo 52 Aula 8 Pré-Cálculo 54
pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0e < 0! b 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( b)=b! Aula 8 Pré-Cálculo 58 Aula 8 Pré-Cálculo 60 b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0eb < 0! Moral: Imagem de f =[0, + )! Aula 8 Pré-Cálculo 64 Aula 8 Pré-Cálculo 65
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil! Domínio e imagem naturais de uma função Qual é a imagem da função f abaixo? Imagem de f = x f (x) =x 4 + x 3 + x 2 + x + 695 +( 35 + 20 6) 3 35 + 60 6 +( 49 + 24 6) 3 (35 + 60 6) 2, + 2304 Convenção Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. = [0.673553223476400089..., + ). A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! : f (x) = x. O domínio natural de f é D = R {0}. Aula 8 Pré-Cálculo 7 Aula 8 Pré-Cálculo 77 Domínio e imagem naturais de uma função Domínio natural de uma função Convenção Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. Atenção: aqui, o termo domínio natural não significa que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais! Qual é o domínio natural de f (x) = 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 2 x 4? x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} =]2, + [ = (2, + ). 0 2 2 Aula 8 Pré-Cálculo 78 Aula 8 Pré-Cálculo 87
Exercício Qual é o domínio natural de f (x) = x 3 x? Exercício Qual é o domínio natural de f (x) =? 2 x 6 x x 3 x 0 x(x 2 ) 0 x(x )(x+) 0 x 0ex ex. 2 x 6 x > 0 2 x 6 2 x 6 (x ) < 0 x x < 0 x 5 x < 0 Resposta: o domínio natural de f é Sinal de x 5 5 D = {x R x 0ex ex } = R {, 0, }. Sinal de x 5 0 0 Sinal de (x 5)/(x ) D = {x R < x < 5} =(, 5). 5 Aula 8 Pré-Cálculo 95 Aula 8 Pré-Cálculo 7 O que é o gráfico de uma função real? O que é o gráfico de uma função real? O gráfico de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos (x, y) R 2 tais que x D e y = f (x): Gráfico de f = {(x, y) R 2 x D e y = f (x)}. (Ir para o GeoGebra) Aula 8 Pré-Cálculo 9 Aula 8 Pré-Cálculo 20
Como construir o gráfico de uma função real? Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente! para se construir gráficos de funções! Como construir o gráfico de uma função real? Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente! para se construir gráficos de funções! Aula 8 Pré-Cálculo 2 Aula 8 Pré-Cálculo 23 Como construir o gráfico de uma função real? A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadas para se construir gráficos de funções! Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em ponto! Aula 8 Pré-Cálculo 24 Aula 8 Pré-Cálculo 27
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