1. (Uerj 2007) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir. Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a) 24 b) 35 c) 70 d) 140 2. (Unicamp 2012) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120. 3. (Pucrs 2013) Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Comarca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15 homens é a) C30 C20 b) A30 A20 c) C30 + C20 d) A30 + A20 e) 21 C 50 4. (Mackenzie 2013) Uma faculdade possui 11 professores titulares, dos quais 7 são homens e 4, mulheres. O número de bancas distintas de avaliação que podem ser formadas, contendo cada uma apenas 3 homens e 3 mulheres é a) 4 b) 70 c) 80 d) 140 e) 180 5. (Uern 2013) Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas cítricas e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras pode-se escolher 3 sucos de sabores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres? a) 40 b) 55 c) 72 d) 85 6. (Ifsul 2011) Sendo 15 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, o número de retas, distintas, determinadas por esses pontos, é a) 14 b) 91 c) 105 d) 210 7. (Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 200. b) 300. c) 600. d) 720. e) 1.200. 8. (Uerj 2010) Considere como um único conjunto as 8 crianças 4 meninos e 4 meninas personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a: a) 45 b) 56 c) 69 d) 81
9. (Ufg 2014) Uma caixa contém doze presentes diferentes. Quatro crianças, uma de cada vez, deverão escolher aleatoriamente três presentes da caixa de uma só vez. Nessas condições, encontre a quantidade possível de maneiras diferentes que esses presentes poderão ser distribuídos para essas quatro crianças. 10. (Uece 2014) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360 b) 380 c) 400 d) 420 11. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y< 60. Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e 12 b) 8 e 24 c) 25 e 12 d) 50 e 24 14. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30? Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a a) 20. b) 41. c) 120. d) 35. 12. (Uemg 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000. 13. (Uerj 2016) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel: 15. (Insper 2014) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40. 16. (Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 35, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.
17. (Epcar (Afa) 2015) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações: I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria nenhum dos dois. Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem, é a) 11 26 b) 13 25 c) 13 24 d) 11 24 18. (Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240 19. (Fuvest 2006) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 20. (Ime 2014) Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De quantas formas a turma pode se organizar para fazer o teste? (Por exemplo, uma turma de 3 alunos pode se organizar de 4 formas e uma turma de 4 alunos pode se organizar de 10 formas).
Gabarito: Resposta da questão 1: Resposta da questão 2: 6! 8! C 6,3.C8,5 = = 20.56 = 1120 3!.3! 5!.3! Resposta da questão 3: Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas são homens, segue-se que o número de mulheres nesse júri é igual a 21 15 = 6. 30 20 Portanto, o resultado é dado por. 15 6 Resposta da questão 4: Maneiras distintas para a escolha de 3 homens: 7! C7,3 = = 35. 3! 4! Maneiras distintas para a escolha de 3 mulheres: 4! C43 = = 4. 3! 1! Total de bancas: 35.4 = 140. Resposta da questão 5: O resultado pedido corresponde ao número de maneiras que podemos escolher 1 sabor de fruta cítrica e 2 sabores de frutas silvestres ou 3 sabores de frutas silvestres, isto é, 3 5 5 5! + = 4 = 40. 1 3 2! 3! Resposta da questão 6: [C] O número de retas distintas determinadas por 15 pontos pertencentes a uma circunferência é dado por 15 15! = = 105. 2 2!13! Resposta da questão 7: Resposta da questão 8: [C] 8 crianças (4 meninos e 4 meninas) 1 menino e 1 menina C4, 1 C4, 1 = 4 4= 16 2 meninos e 2 meninas C4, 2 C4, 2 = 6 6= 36 3 meninos e 3 meninas C4, 3 C4, 3 = 4 4= 16 4 meninos e 4 meninas C4, 4 C4, 4 = 1 1= 1 Somando, temos: 16 + 36 + 16 + 1 = 69 Resposta da questão 9: 12 11 10 9 8 7 6 5 4 C12,3 C9,3 C6,3 C3,3 = 1= 369600 3! 3! 3! Resposta da questão 10: Número de combinações do total de pontos três a três: 16! C16,3 = = 560 3!(16 3)! Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três 10! a três: C10,3 = = 120 3!(10 3)! Número de combinações dos 6 pontos da outra reta três 6! a três: C6,3 = = 20 3!(6 3)! Portanto, o total de triângulos será dado por: 560 120 20 = 420. Resposta da questão 11: Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por 6 6 6 6! 6! 6 1 + 2 + = + + 3 2! 4! 3! 3! = 6 + 15 + 20 = 41. Resposta da questão 12: O resultado pedido é dado por 5 2 6 5! 6! 2 3 1 = 4 3! 2! 4! 2! = 20 15 = 300. Logo, o número de times distintos é: 170 2010 = 14000.
Resposta da questão 13: Duas vermelhas e uma azul: C9,2 7 = 36 7 = 252 Duas azuis e uma vermelha: C9,2 7 = 36 7 = 252 Portanto, o tempo total será de 252 + 252 = 504 segundos. Como, 504 = 8 60 + 24, temos: x = 8 e u = 24. Resposta da questão 14: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos menores que 30) A quantidade de números naturais, formados por 4 desses fatores, será obtida através de uma combinação simples de 10 elementos tomados 4 a 4. 10! 10 9 8 7 C10,4 = = = 210. 4!.6! 24 Resposta da questão 15: Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas 3 seleções sul-americanas, = 3 modos de escolher 5 5! essas duas seleções, e = = 10 modos de 3! 2! escolher as duas seleções europeias que irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é 2 3 10 = 60. 11 11! Para a situação I, existem = = 55 escolhas 2 2! 9! possíveis. Para a situação II, o número de possibilidades 10 10! é dado por 10 + = 10 + = 130. Em 3 3! 7! consequência, a resposta é 55 = 11. 130 26 Resposta da questão 18: 1º caso: Soldados A e B na barraca I Barraca I: C 8,2 = 28 Barraca II: C 6,3 = 20 Barraca III: C 3,3 = 1 Total(1) = 28 20 1 = 560. 2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II Barraca I: C 8,3 = 56 Baraca II CC 5,2 =10 Barraca III: C 3,3 = 1 Total(2) = 56 10 1 = 560. Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 + 560 = 1120. Resposta da questão 19: Resposta da questão 20: Com nenhum grupo de dois alunos: 1 9 Com um grupo de dois alunos: = 36 Resposta da questão 16: a) Observe: Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D Com (meninos dois grupos e meninas) de dois alunos: C = 210 C = 15 C = 15 C = 1 10,4 6,4 6,4 4,4 Com três grupos de dois alunos: Total 210 15 15 1 = 47 250 9 7 = 378 2 9 7 5 = 1260 3! b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer: 2 2 20 1 =. 5 5 125 Final Maria e José e uma Maria vencer: 2 3 2 12 =. 5 5 5 125 Final marta e João e uma Marta vencer: 2 3 2 12 =. 5 5 5 125 20 12 12 44 Probabilidade pedida + + =. 125 125 125 125 Com 4 grupos de dois alunos: 9 7 5 3 = 945 4! Portanto, o número de formas para se organizar o trabalho é: 1+ 36+ 378+ 1260+ 945 = 2620. Resposta da questão 17: