flexão - ELU 1 2. Flexão Simples - Estaos Limites últimos - ( Estáio III ) A solicitação normal característica as vigas é a flexão simples ( M 0 e N = 0 ). A flexão subentene a existência e uma zona comprimia e outra tracionaa, ao longo a viga, itas banzos comprimio e tracionao. ε c ( encurtamento máximo ) A s ' ' A s ' ε' s ( encurtamento a amaura A s ' ) x Linha neutra ε = 0 M > 0 h A s ε s ( alongamento a armaura A s ) A s Configuração eformaa Seção transversal M = momento fletor e cálculo = largura a nervura h = altura total a seção A s = área e armaura longituinal e tração na seção transversal A s = área e armaura e compressão na seção transversal = altura útil a seção = istância o CG e A s à bora comprimia = istância o CG e A s à bora comprimia x = profuniae a linha neutra, inicaa sempre pela altura a zona comprimia Fig. 2.1 - Nomenclatura 2.1. Hipóteses Básicas No estuo a capaciae resistente, são consieraos os estaos limites convencionais - estaos limites últimos, para o quais o comportamento a seção à flexão é amitio no estáio III, sob as seguintes hipóteses básicas: 1) O concreto é consierao como um material não resistente à tração. Assim, no cálculo a capaciae resistente a seção transversal a peça, a contribuição o concreto a tração é esprezaa. Um conjunto e barras e aço, ispostas longituinalmente junto ao boro tracionao a viga, é responsável pelo equilíbrio a tração ecorrente a flexão. Esta armaura longituinal e tração, e área transversal total A s, constitui o banzo tracionao o moelo resistente a viga. A compressão ecorrente a flexão é equilibraa pela porção comprimia o concreto. Quano a resistência esta porção é insuficiente ao equilíbrio as solicitações, projeta-se uma armaura e compressão, e área transversal total A s ', isposta longituinalmente junto ao boro comprimio. Portanto, o banzo comprimio o moelo resistente a viga é formao pelo concreto comprimio e por uma eventual armaura longituinal e compressão.
flexão - ELU 2 2) É amitia a soliarieae perfeita entre caa barra e aço e o concreto que a envolve, assim seno, a eformação longituinal específica e uma barra a armaura é igual à eformação o concreto ajacente a esta. 3) A hipótese a manutenção a forma plana a seção transversal é vália entro o omínio e valiae a teoria e flexão as vigas esbeltas. Isto é, ese que seja atenia a relação: l o / >2 (fig. 2.2), one l o é a istância entre as seções transversais e momento fletor nulo e é a altura útil a seção transversal, que correspone à istância o centro e graviae a armaura longituinal e tração ao boro comprimio a seção. Diagrama e Momentos Fletores Seção Longituinal Seção Transversal M=0 l o M=0 x ε c M ε s zona comprimia A' s A s x altura útil Fig. 2.2 - Domínio e valiae a teoria e flexão as vigas esbeltas Desta hipótese são obtias as equações e compatibiliae eformações: ε c / x = ε s / ( - x ) = ( ε c + ε s ) / = ε s / ( - ) relações entre ε c, ε s e ε s, encurtamento máximo o concreto e eformações as fibras à altura o centro e graviae as armauras e tração e compressão, respectivamente. 4) A NBR6118 estabelece valores limites convencionais para as eformações específicas os materiais, que inepenem a resistência estes. Para o concreto, o encurtamento e ruptura à flexão simples é fixao em ε c,u = 3,5 o / oo ; e, para o aço, o alongamento último é ε s,u = 10 o / oo. 5) São consieraos os iagramas tensão-eformação convencionais e cálculo, com o coeficiente e minoração a resistência e aço γ s = 1,15. ( NBR6118, item 7.2 ) Aços- A tg ϕ = Es = 2,1 x 10 5 MPa Aços- B σ s σ s f y f y 0,7 f y -3,5 -ε yc ϕ ϕ ε y 10 ε s ( o / oo ) -ε yc -2 2 ϕ ε y 10 ε s ( o / oo ) -f yc -0,7f yc -f yc Fig. 2.3 - Diagramas tensão-eformação convencionais e cálculo para os aços A e B. Nos trechos lineares, a relação tensão eformação é aa pela lei e Hooke: ε s = σ s / E s
flexão - ELU 3 Os trechos curvilíneos o iagrama convencional os aços tipo B são escritos pelas relações: ε s = σ s / E s + [( σ s / f y ) - 0,7 ] 2 / 45 para 0,7 f y < σ s < f y ( na tração ) ε s = σ s / E s + [( σ s / f yc ) - 0,7 ] 2 / 45 para 0,7 f yc < σ s < f yc ( na compressão ) 6) A istribuição e tensões e compressão no concreto é aa pelo iagrama convencional parábola-retângulo ( NBR6118, item8.2.4 ), que poe ser simplificao como um iagrama retangular ( fig. 2.4 e 2.5 ). O coeficiente e minoração a resistência e concreto é γ c = 1,4. σ c 0,85 f c σ c = 0,85 f c [ 1 - ( 1 - ε c ) 2 ] 0,002 2 o / oo 3,5 o / oo ε c Figura 2.4 - Diagrama tensão-eformação convencional e cálculo o concreto ε c 0,85 f c 0,85 ou 0,80 ψ f c 2 o / oo Linha neutra M x ou 0,80 x ε s parábola-retângulo retangular eformações istribuição as tensões no concreto Fig. 2.5 - Exemplo a istribuição e tensões no concreto em uma seção solicitaa à flexão No iagrama parábola retângulo as tensões têm istribuição: parabólica e 0 a 0,85 f c, para encurtamentos e 0 a 2 o / oo ; e uniforme e 0,85f c, para encurtamentos e 2 o / oo a 3,5 o / oo. O iagrama retangular simplificao é suposto com altura e 0,8x e tensão e compressão igual a 0,85 ψ f c, seno o parâmetro e aproximação ψ calculao a partir o encurtamento máximo a seção na configuração última: ψ = 1 quano ε c 3,5 o / oo ψ = 1,25 ( 1-0,002 / 3 ε c ) quano 2 o / oo < ε c < 3,5 o / oo ψ = 1,25 (ε c / 0,002 ) (1- ε c / 0,006 ) quano ε c 2 o / oo Para a flexão simples, tanto na literatura quanto na prática, é usual se amitir uma seguna simplificação, que facilita os cálculos e fornece resultaos com boa precisão: ψ =1. Nos casos em que a largura a seção iminui na ireção a linha neutra para a bora mais comprimia, como ocorre caso e seções circulares e triangulares, consiera-se a tensão e compressão igual 0,80 ψ f c.
flexão - ELU 4 7) São consieraos os valores envoltórios as solicitações e cálculo, obtios por combinações os valores característicos afetaos pelos coeficientes e segurança e por fatores e combinação, e acoro com as normas pertinentes ao projeto. A NBR6618, inica as seguintes combinações as solicitações S gk permanentes, S qk acientais e S εk e coação: S = 1,4 S gk + 1,4 S qk + 1,2 S εk ( NBR6118, item 5.4.2.1 ) S = 0,9 S gk + 1,4 S qk + 1,2 S εk Poeno-se consierar apenas a primeira combinação, para o caso e eifícios. Se existirem ações acientais e origens iversas, com baixa a probabiliae e ocorrer simultaneamente, poe-se substituir S qk por S qk1 + 0,8 (S qk2 + S qk3 +...) one S qk1 S qk2 S qk3... 2.2. Domínios e eformações a seção nos ELU e flexão simples ALONGAMENT0 ENCURTAMENTO 2 o / oo 3,5 o / oo reta a 1 3 2 x 2, lim x 3, lim 4 4a 5 reta b 3h/7 h 10 o / oo ε y Deformação excessiva linha a: tração uniforme omínio 1: tração não uniforme, sem compressão omínio 2: Ruptura omínio 3: omínio 4: omínio 4a: omínio 5: reta b: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão e com alongamento máximo permitio flexão simples (seção subarmaa) ou composta com ruptura à compressão o concreto e com escoamento o aço (ε s ε y ) flexão simples (seção superarmaa) ou composta com ruptura à compressão o concreto e aço tracionao sem escoamento (ε s < ε y ) flexão composta com armauras comprimias compressão não uniforme sem tração compressão uniforme Fig. 2.6 - Configurações eformaas no ELU e solicitações normais (NBR 6118, item 4.1.1.1) Os estaos limites últimos convencionais as solicitações normais e tração, compressão e flexão poem ser: e ruptura, quano a fibra mais comprimia o concreto for igual a um valor último convencional ε c,u ; ou e eformação plástica excessiva, quano na armaura tracionaa, a barra e aço mais eformaa tiver alongamento igual ao valor último convencional ε s,u. Poese istinguir 6 regiões para as configurações eformaas últimas convencionais (fig. 2.6), itas omínios e eformações.
flexão - ELU 5 Na flexão simples, apenas configurações nos omínios 2, 3 ou 4 são viáveis, pois efinem banzos, tracionao e comprimio, elimitaos pela linha neutra. A posição a linha neutra é efinia pela altura x a zona comprimia a seção ou por sua relação com a altura útil, através o parâmetro aimensional k x = x /. Observe que, nos omínios e interesse, existe uma relação unívoca entre a posição a linha neutra e a configuração eformaa, assim, caa valor e k x ( 0 < k x < 1 ) correspone a uma única configuração eformaa no ELU. Logo, é e grane interesse para os cálculos práticos se estabelecer as equações e compatibiliae, bem como as configurações limites, em termos o parâmetro k x. Domínio 2: Caracterizao por ε s = 10 o / oo e 0 o / oo < ε c 3,5 o / oo A seção com configuração eformaa neste omínio atinge o estao limite último por eformação excessiva e aço, sem ruptura o concreto à compressão. O encurtamento máximo o concreto poe ser eterminao pela equação e compatibiliae ε c = 0,010 x / ( - x ) = 0,010 k x / ( 1 - k x ) A tensão na armaura e tração é σ s = f y, pois o aço já está em escoamento ε s = 10 o / oo ε y. Domínio 3: Caracterizao por ε c = 3,5 o / oo e 10 o / oo ε s ε y Como a eformação a armaura tracionaa é pelo menos igual à eformação ε y, a ruptura o concreto à compressão ocorre simultaneamente com o escoamento o aço. O alongamento a armaura e tração poe ser eterminao pela equação e compatibiliae ε s = 0,0035 ( - x ) / x = 0,0035 ( 1- k x ) / k x A tensão na armaura e tração é σ s = f y, pois seu alongamento é igual ou superior ao e escoamento ε s ε y. A seção com configuração eformaa neste omínio chega a um ELU e ruptura. A ruptura, porém, ocorre e forma avisaa, pois a armaura tracionaa, já em escoamento, provoca uma fissuração na peça que serve e avertência. Este é o omínio ieal para o projeto, pois os materiais estão seno aproveitaos no máximo e suas potencialiaes, sem que haja a possibiliae e ocorrer uma ruptura brusca. Daí porque alguns autores chamam e ruptura perfeita. As peças que chegam ao estao último nos omínios 2 e 3 são itas sub-armaas. Domínio 4: Caracterizao por ε c = 3,5 o / oo e 0 < ε s < ε y A capaciae resistente a seção à compressão é esgotaa, a seção atinge o ELU por ruptura o concreto, sem que a armaura entre em escoamento. A ruptura a peça ocorre e forma frágil, não avisaa. As peças que chegam ao estao último no omínio 4 são itas super-armaas. O alongamento a armaura e tração poe ser eterminao pela equação e compatibiliae ε s = 0,0035 ( - x ) / x = 0,0035 ( 1- k x ) / k x A tensão na armaura e tração é inferior à e escoamento σ s < f y. Configuração Limite entre os omínios 2-3: k x2, lim = x 2, lim / = 3,5 / ( 10 + 3,5) k x 2, lim = x 2,lim / = 0,259 ε c = 3,5 o / oo x 2, lim ε s = 10 o / oo
flexão - ELU 6 Configuração Limite entre os omínios 3-4: k x lim = k x 3, lim = x 3,lim / = 3,5 o / oo / ( ε y + 3,5 o / oo ) ε c = 3,5 o / oo x 3, lim = x lim Para os aços mais usaos na prática: ε y Aço f yk [MPa] f y [MPa] ε y [ o / oo ] k x lim = x lim / CA-25 250 217 1,04 0,771 CA-50A 500 435 2,07 0,628 CA- 40B 400 348 3,66 0,489 CA-50B 500 435 4,07 0,462 CA-60B 600 522 4,48 0,438 Seno esta configuração eformaa a que limita entre o campo as peças sub-armaas e superarmaas, as peças nesta situação são itas normalmente armaas. Na prática, procura-se evitar peças super-armaas (na flexão simples), por serem anti-econômicas e apresentarem ruptura frágil, assim, esta configuração também é consieraa como um limite e projeto, seno usual se enotar x s, lim e k x3, lim simplesmente por x lim e k x lim. 2.3. Seção retangular - armaura simples ε c σ c = 0,85 ψ f c A cc banzo comprimio x 0,8x R c h z M A s armaura e tração R s ε s = largura a seção; h = altura total a seção; = altura útil a seção; A s = área a armaura e tração; M = momento fletor e cálculo; z = braço e alavanca; x = profuniae a linha neutra; R c = resultante e compressão; R st = resultante e tração Fig. 2.7 - Nomenclatura 2.3.1. Equações e equilíbrio e e compatibiliae e eformações nos ELU A seção eformaa está sob tensões cujas resultantes são: R s = Σ a si σ si A s σ s A s = Σ a si R s é a resultante as tensões uniformes e tração σ si nas barras e seção transversal a si, que compõem a armaura e tração e área total A s. Para as barras suficientemente concentraas, a eformação elas é aproximaamente igual, seno possível se consierar a área total A s como concentraa na altura o centro e graviae efinio pelas áreas a si. Esta altura, o centro e
flexão - ELU 7 graviae à bora comprimia, é chamaa e altura útil a seção e rnotaa por. A tensão na armaura σ s é portanto eterminaa pela eformação ε s esta fibra. R c = Acc σ c A A cc = área e concreto o banzo comprimio R c é a resultante as tensões e compressão o concreto. Conforme já visto, no caso a flexão simples, a istribuição estas tensões poe ser aproximaa como retangular ψ=1, sem grane prejuízo na precisão os resultaos. Neste caso, a resultante é aa por R c = 0,85 f c 0,80 x = 0,68 x f c = 0,68 k x f c Do equilíbrio os esforços internos com as solicitações normais e flexão simples a seção, conclui-se que as resultantes formam um binário, com braço e alavanca interno z, em equilíbrio com o momento solicitante: Acc σ c A - Σ a si σ si = N 0 R c = R s ΣM = M M = R c z ou M = R s z Para as simplificações aotaas, armaura concentraa no CG e istribuição retangular as tensões e compressão, têm-se que: z = - 0,40 x M = R c z = 0,68 x f c ( - 0,40 x ) = 0,68 2 f c k x ( 1-0,40 k x ) M = R c z = A s σ s z As eformações atenem às relações e compatibiliae e efinem configurações viáveis nos omínios 2, 3 ou 4: ε c / x = ε s / ( - x ) = ( ε c + ε s ) / k x = x / = ε c / ( ε c + ε s ) one ( ε c, ε s, k x ) omínios 2, 3 e 4 Seno que o omínio 4, por levar à seções superarmaas, perigosas e ispeniosas, conforme já ito, eve ser evitao. Portanto, eseja-se que ( ε c, ε s, k x ) omínios 2 ou 3. No caso em ( ε c, ε s, k x ) omínio 4, veremos mais aiante como proceer. 2.3.2. Cálculo altura mínima a seção retangular para a solicitação M A largura a seção transversal e uma viga é usualmente efinia por imposições construtivas. A altura a seção poe ser eterminaa a partir e uma altura útil mínima, que garanta o funcionamento como sub-armaa para a solicitação M. A altura útil mínima é aquela em que a seção funciona, no ELU a solicitação M, como normalmente armaa, limite o omínio as sub-armaas, com a configuração eformaa limite entre os omínios 3-4: ε c = 3,5 o / oo e ε s = ε y k x = k x lim o aço utilizao M = 0,68 k x,lim f c 2 ( 1-0,40 k x,lim ) = mín mín = { M / [ 0,68 f c k x lim ( 1-0,40 k x lim ) ] } 0,5 Conforme já visto, nesta situação ieal e projeto, na qual existe um aproveitamento ao máximo a capaciae resistente a seção - a fibra mais comprimia atinge o encurtamento e ruptura, no mesmo instante em que se inicia o escoamento o aço, fazeno-o trabalhar sob tensão máxima. Algumas conclusões interessantes poem ser obtias a análise as equações acima, sob algumas hipóteses.
flexão - ELU 8 Para a mesma solicitação M, se a seção for efinia com > mín ela irá funcionar na ruptura como sub-armaa (omínio 2 ou 3), pois, para manter a igualae vália na equação e M, o valor e k x tem que iminuir; no caso contrário, < mín, o funcionamento será como superarmaa (omínio 4). Para uma seção com altura = mín eterminaa a partir a solicitação M, se iminuía a intensiae o momento, o funcionamento na ruptura para esta nova solicitação será o e subarmaa, pois a linha neutra irá subir ( k x < k xlim ); no caso contrário, com o aumento a intensiae o momento, a linha neutra irá baixar, e o funcionamento será o e super-armaa. ε c = 3,5 o / oo x lim ε c < 3,5 o / oo x < x lim ε c = 3,5 o / oo x > x lim mín M M 1 < M M 2 > M ε s = ε y ε s > ε y ε s < ε y Fig. 2.8 - Altura útil mínima a seção para a solicitação M 2.3.3. Dimensionamento - esenvolvimento analítico A equação e equilíbrio os momentos para a istribuição retangular simplificaa as tensões e compressão M = 0,68 2 f c k x ( 1-0,4 k x ) k x ; 0 < k x = x / < 1 é uma equação e 2 o grau k x, cuja solução viável ( 0 < x < ) correspone à posição a linha neutra. Como caa posição a linha neutra correspone a apenas uma configuração eformaa convencional e um ELU, o iagrama e eformações fica efinio pelo valor e k x. Conheceno-se este iagrama, com auxílio as equações e compatibiliae as eformações, etermina-se ε s. Com o valor esta eformação ε s, etermina-se a tensão σ s e tração na armaura com o auxílio o iagrama tensão-eformação o aço consierao. Para a flexão simples, só existem as seguintes possibiliaes: Se k x k x 2, lim omínio 2 ε s = 10 o / oo σ s = f y Se k x 2, lim < k x k x lim omínio 3 ε s = 0,0035 (1 - k x ) / k x ε y σ s = f y Se k x lim < k x 1 omínio 4 (evitar) ε s = 3,5 o / oo. (1- k x ) / k x < ε y σ s < f y A situação e k x > k x lim inica eficiência e área comprimia, ou seja, quano a aoção e armaura simples correspone ao omínio 4, peça super-armaa. Neste caso, é recomenável, tanto o ponto e vista econômico como teórico, o aumento a altura útil a peça ou, caso impossível, a aoção e uma armaura e compressão, contribuino com o concreto na resistência à compressão. Com este proceimento serão evitaas as peças frágeis, pois as peças com armaura upla poem ser imensionaas como peças sub-armaas, conforme será visto próximo item. Recomena-se jamais aotar k x > 0,66, por se estar na proximiae e ruptura frágil e por ser anti-econômico. A configuração eformaa nos omínio 2 ou 3, k x k x lim, inica que a altura a seção é maior que a mínima, que existe folga no concreto. Nestes casos, a seção, sub-armaa, se levaa à
flexão - ELU 9 ruptura, o aço entra em escoamento antes o concreto se esmagar (σ s = f y ), e a seção poe ser projetaa com armaura simples. Assim, eterminaa σ s, a armaura e tração A s será calculaa por: x = k x z = - 0,4 x A s = M / (σ s z ) 2.3.4. Dimensionamento - tabelas aimensionais (universais) Para caa valor e k x = x /, poe-se efinir uas outras granezas aimensionais : k z = z / braço e alavanca interno / altura útil k m = M / ( 2 f c ) momento fletor reuzio Caa posição a linha neutra k x correspone a um par ( k z, k m ), seno possível se construir uma tabela e recorrência ( k m, k x, k z ), que é utilizaa para o imensionamento. Para a istribuição retangular as tensões e compressão, estas granezas poem ser avaliaas pelas expressões: k z = z / = ( - 0,40 x ) / = ( 1-0,40 k x ) k m = M / ( 2 f c ) = 0,68 k x ( 1-0,40 k x ) E, os valores (k x lim, k m, lim, k z lim ) corresponentes à configuração limite entre os omínios 3-4 são os apresentaos na tabela a seguir. Aços ε y [ o / oo ] k x lim k m, lim k z lim CA-25 1,04 0,771 0,363 0,691 CA-40B 3,66 0,489 0,268 0,804 CA-50A 2,07 0,628 0,320 0,749 CA-50B 4,07 0,462 0,256 0,815 CA-60B 4,48 0,438 0,246 0,825 Roteiro para o imensionamento: 1. calcular: k m = M / ( 2 f c ) 1.1. se k m > k m, lim omínio 4. Muar as imensões ou aotar armaura upla, conforme será apresentao no próximo item 1.2. se k m k m, lim omínio 2 ou 3, armaura simples, σ s = f y a tabela: k m ( k x, k z ) ( evientemente, k x k x lim ; k z k z lim ) logo: x = k x ; z = k z calcular a armaura: A s = M / (σ s z )
flexão - ELU 10 2.4. Seção retangular - armaura upla O caso e armaura upla é aquele em existem armauras resistentes nos banzos tracionao e comprimio a seção. A s ε c = 3,5 o / oo ε' s x lim 0,8x lim 0,85 f c R c R s h z -' M A s ε s R s M = momento fletor e cálculo = largura a seção h = altura total a seção = altura útil a seção = istância o CG e A s ' à bora comprimia A s = área a armaura e tração A s = área a armaura e compressão R s = resultante e tração em A s R' s = resultante e compressão em A s ' x = profuniae a linha neutra R c = resultante e compressão no concreto Fig. 2.9. Nomenclatura 2.4.1. Equações e equilíbrio e e compatibiliae e eformações No esquema representao na fig.2.9, observa-se uma resultante aicional no esquema resistente a seção - R' s, resultante as tensões uniformes e compressão σ si nas barras e seção transversal a' si, que compõem a armaura e compressão e área total A' s. R' s = Σ a' si σ' si A' s σ' s A' s = Σ a' si Pelas mesmas razões anteriores, a área A' s poe ser consieraa como concentraa na altura ', meia o centro e graviae efinio pelas áreas a' si à bora comprimia. A tensão na armaura σ' s é portanto eterminaa pela eformação ε' s esta fibra. As equações e equilíbrio os esforços internos com as solicitações normais e flexão simples a seção são R c + R' s = R s M = R c z + R' s ( - ' ) As eformações atenem às relações e compatibiliae e efinem configurações viáveis nos omínios 2, 3 ou 4: ε c / x = ε s / ( - x ) = ε s / ( - ) = ( ε c + ε s ) / k x = x / = ε c / ( ε c + ε s ) one ( ε c, ε s, ε s, k x ) omínios 2, 3 e 4 Para eformações ε s pequenas, a armaura e compressão está sob baixa tensão σ' s, seno pouco efetiva sua contribuição na capaciae resistente, o que a torna anti-econômica.
flexão - ELU 11 Na prática, é usual não se consierar a princípio uma armaura e compressão. Procura-se imensionar a seção com armaura simples, como sub-armaa. Caso não seja possível a solução sub-armaa com armaura simples e nem se moificar a as imensões a seção (aumentar a altura a peça ou a largura a zona comprimua), eve-se acrescentar uma armaura e compressão, que colabora com o concreto na resistência à compressão, trazeno uma conseqüente elevação a linha neutra. A área A' s esta armaura eve ser suficiente para que a seção funcione pelo menos como peça normalmente armaa na ruptura, com a configuração eformaa limite entre o omínio 3-4: ε c = 3,5 o / oo, ε s = ε y, k x = k x lim ε s = 0,0035 ( k x lim - δ ) / k x lim one δ = / Aço k x lim ε y ε s [ o / oo ] [ o / oo ] δ = 0,05 δ = 0,10 δ = 0,15 δ = 0,20 CA-25 0,771 1,04 3,27 3,04 2,82 2,59 CA-50A 0,628 2,07 3,22 2,94 2,66 2,38 CA-40A 0,489 3,66 3,14 2,78 2,43 2,07 CA-50B 0,462 4,07 3,12 2,74 2,36 1,98 CA-60B 0,438 4,48 3,10 2,70 2,30 1,90 2.4.2. Dimensionamento - esenvolvimento analítico Para o cálculo e A s e A' s, utiliza-se o artifício e se consierar o momento fletor M ecomposto em uas parcelas: M = M c + M ou M = M - M c M c é o momento que esgota a capaciae a seção transversal com armaura simples, para a configuração e ruptura esejaa; e M é a parcela que será resistia somente pelas armauras. A parcela M c poe ser calculaa por meio as expressões a seção com armaura simples: fixano-se o valor e k x corresponente a configuração eformaa esejaa e calculano-se por integração o momento resultante as tensões e compressão no concreto em relação à fibra à altura o centro e graviae e A s. Por ser mais econômico, em geral, se impõe a configuração limite. Logo para k x = k x lim,, para o iagrama retangular simplificao e compressão no concreto, o momento M c é ao por: M c = 0,68 f c 2 k x lim ( 1-0,40 k x lim ) Definia a configuração eformaa a seção transversal, poe-se calcular, por meio as equações e compatibiliae, as eformações específicas ε s e ε s nas armauras e tração e compressão. Conheceno-se ε s e ε s, o iagrama tensão-eformação, obtêm-se as tensões σ s e σ s nestas armauras. As áreas A s e A' s são calculaas por: armaura e tração: A s 0,8x lim 0,85 f c R c A s = M c / ( σ s z ) + M / [σ s ( - ) ] z = ( 1-0,40 k x ) para k x = k x lim, σ s = f y z M c R s 1
flexão - ELU 12 Cálculo a armaura e compressão A s R' s A' s = M / [ σ' s ( - ' ) ] - ' M R s 2 Na tabela abaixo, são apresentaos os valores em móulo a tensão e compressão σ s obtios o iagrama tensão eformação o aço CA50-B, corresponentes ao encurtamento ε s a armaura e compressão, para a configuração limite as peças sub-armaas (k x =k x lim ) e alguns valores e δ= /. δ = / 0.05 0.10 0.15 0.15 ε s [ o / oo ] 3.12 2.74 2.36 1.98 σ s [MPa] 405 390 374 354 Tabela - Tensões e compressão eno CG e A s para: aço CA 50-B, k x =k x lim, δ= / 2.4.3. Dimensionamento - tabelas aimensionais (universais) Foi visto que, entro o omínio as peças sub-armaas, M c é o valor o momento máximo que a seção resiste com armaura simples, isto é, a partir este valor, existe a necessiae e se aotar armaura upla. Se M M c ou k m k m lim armaura simples Se M > M c ou k m > k m lim armaura upla Assim, para o caso e armaura upla, utilizano-se a tabela têm-se para a configuração limite: Roteiro: calcular: k m = M / ( 2 f c ) > k m lim artifício: M c = k m lim 2 f c e M = M - M c a tabela: k m lim k z lim, k x lim, σ' s calcular as armauras: z lim = k z lim A s = M c / ( f y z lim ) + M / [ f y. ( - ) ] A' s = M / [σ' s ( - ' ) ]
flexão - ELU 13 2.5. Seção T com armaura simples b f ε c h f x h M A s banzo comprimio ε s M = momento fletor e cálculo = largura a alma ou nervura h = altura total a seção = altura útil a seção b f = largura efetiva a mesa ou flange h f = altura a mesa ou flange A s = área a armaura e tração Fig. 2.10 - Nomenclatura As seções em T são freqüentes, pois, e moo geral, as nervuras as vigas estão soliariamente ligaas às lajes. Entretanto, é preciso ressaltar que a mesa só participa o esquema resistente a seção quano estiver comprimia. Quano a mesa estiver tracionaa, o esquema resistente a seção na ruptura coincie com o e uma seção retangular com as mesmas imensões ( ; ). A mesa tracionaa poerá ser utilizaa para alojar uma parte a armaura e tração. Mesa comprimia seção T M > 0 M < 0 M < 0 seção retangular M = 0 M > 0 a seção T seção retangular M < 0 Mesa tracionaa seção retangular (, h ) Fig. 2.11a - Viga com laje superior - seções e cálculo para os momentos positivo e negativo
flexão - ELU 14 Mesa comprimia seção T M < 0 M < 0 M < 0 a seção T M = 0 M > 0 seção retangular a Seção T M > 0 Mesa tracionaa seção retangular (, h ) Fig. 2.11b - Viga com laje inferior (viga invertia) - seções e cálculo para os momentos positivo e negativo 2.5.1. Largura efetiva a mesa e compressão Viga e um pavimento Viga isolaa b f b 3 b a b 1 b f b 3 b 3 h f b 2 0,10 a b 1 8 h f 0,50 b 2 b 3 0,10 a 6 h f a = l (bi-apoiaa) = 0,75 l (engaste-apoio) = 0,60 l (bi-engastaa ) = 2 l (balanço) = largura real a alma b a = largura fictícia a alma = + Σ menores catetos os triângulos as mísulas existentes b 2 = istância entre as faces as almas fictícias consecutivas b 1 = largura a aba a partir a face a alma fictícia, caso e exista uma viga consecutiva b 3 = largura a aba a partir a face a alma fictícia, no caso não exista uma viga consecutiva a = extensão o trecho com mesa comprimia, aa pela istância entre os pontos e momento nulo. No caso e laje superior comprimia, correspone à extensão o iagrama e momentos positivos, que poe ser aproximaamente avaliaa pelas expressões acima. Fig. 2.12 - Largura colaborante a mesa comprimia pela NBR6118
flexão - ELU 15 Na vigas em que a largura real a mesa é muito maior que a largura a alma, as tensões e compressão não têm istribuição uniforme ao longo esta largura. Assim, em lugar a real, amite-se para a mesa uma largura efetiva b f, na qual se supõe uma istribuição uniforme e tensões. A largura efetiva ou colaborante b f as mesa comprimia as vigas, consecutivas e isolaas, para ações iretas, poe ser avaliaa pelas prescrições a NBR6118, item 3.2.2.2, conforme representao na figura 2.12. No caso e assimetria, existino o impeimento à eformação horizontal ( transversina ou laje horizontalmente ineslocável ), garantino-se a existência e eformação vertical apenas, a viga funcionará à flexão reta. Caso contrário, eve-se consierar a flexão oblíqua. 2.5.2. Dimensionamento - esenvolvimento analítico Para o esenvolvimento as equações, eve-se consierar as uas situações istintas que poem ocorrer para a posição a linha neutra. 2.5.2.1. Linha neutra na mesa b f b f h f 0,80 x h M = A s A s Fig. 2.13 - Linha neutra na mesa comprimia Poe-se consierar, e forma aproximaa, que se recai nesta situação quano a zona comprimia efetiva está contia na mesa a seção: 0,8 x h f ou k x 1,25 h f / Assim, o esquema resistente na ruptura coincie com o e uma seção retangular com largura b f e altura útil. Toas as recomenações feitas anteriormente permanecem válias. Na verae, inicia-se o imensionamento a seção T supono-se que a zona efetiva e compressão está entro a altura h f a mesa. Sob esta hipótese, calcula-se a posição x a linha neutra para o moelo a seção retangular e imensões ( b f ; ). Caso esta hipótese inicial se confirme (0,8 x h f ), o moelo é válio, e o imensionamento prossegue conforme já estuao. Caso contrário (0,8x > h f ), a zona comprimia não é retangular, e o imensionamento poe ser feito pelo proceimento aproximao apresentao a seguir.
flexão - ELU 16 2.5.2.2. Linha neutra na alma a seção: No caso a linha neutra cortar a alma a seção, o problema poe ser resolvio amitino-se a ecomposição o esquema resistente a seção em uas partes, conforme a figura a seguir. b f b f - h f x h f 0,8 x M M f z f = - h f / 2 M w z = - 0,4 x A s = A sf + A sw M = M f + M w A s = A s f + A sw Fig. 2.14 - Artifício e ecomposição o esquema resistente a seção T, linha neutra na alma O esquema formao pelas abas salientes, e largura ( b f - ), e pela armaura A sf, tem braço e alavanca interno z f, resistino a uma parcela M f o momento fletor M : M f = R cf z f R c f = ( b f - ) h f 0,85 f c M f = 0,85 ( b f - ) h f f c ( - h f / 2 ) z f = - h f / 2 M f = R sf z f = A sf σ s ( - h f / 2 ) A sf = M f / [σ s ( - h f / 2 ) ] O esquema resistente formao pelo concreto comprimio a alma e pela armaura A sw, tem braço e alavanca interno z e resiste à parcela M w o momento fletor M : M w = M - M f M w = 0,68 2 f c k x (1-0,4 k x ) k x ( ε c, ε s ) omínios 2, 3 e 4 z = ( 1-0,40 k x ) M w = R sw z = A sw σ s ( 1-0,4 k x ) A sf = M f / [σ s ( - h f / 2 ) ] A posição a linha neutra k x é eterminaa pela equação e equilíbrio em M w. Conseqüentemente, ficam eterminaas a configuração eformaa a seção T (completa) na ruptura e a tensão σ s na armaura A s = A sf + A sw Conforme já visto, eve-se ter k x k x lim, para que a seção T com armaura simples funcione na ruptura como peça sub-armaa. Neste caso, σ s = f y e a armaura A s é aa pela expressão: A s = M f / [ f y ( - h f / 2 ) ] + M w / [ f y ( 1-0,40 k x ) ] É importante observar que k x > k x lim inica a eficiência a seção à compressão. Neste caso, para que seja possível a situação e viga sub-armaa com armaura simples, é recomenável muar as imensões a viga - criar uma mísula junto às abas; alargar a nervura; ou, o mais eficaz, aumentar altura a viga - ou, aotar um concreto melhor na mesa e compressão. Caso seja impossível, poe-se pensar na aoção e armaura upla. Contuo, esta solução não é a mais recomenável.
flexão - ELU 17 2.5.3. Dimensionamento - tabelas aimensionais (universais) Roteiro hipótese: banzo comprimio efetivo está na mesa a seção T supono a 'seção retangular' e largura = b f e altura útil =, k m = M / ( b f 2 f c ) a tabela ( k x ; k z ) A hipótese é veraeira: 0,8 k x h f z = k z. A s = M / ( f y. z ) A hipótese é falsa: 0,8 k x > h f, a linha neutra corta a alma a viga. M f = 0,85 ( b f - ) h f f c ( - h f / 2 ) M w = M - M f k m = M w / ( 2 f c ) a tabela ( k x ; k z ) Se k x k x lim, a seção é sub-armaa com armaura simples A s = M f / [ f y ( - h f / 2 ) ] + M w / [ f y z ] Se k x > k x lim, caso seja impossível moificar o projeto, aotar armaura upla. 2.6. Seção T com armaura upla A situação em há necessiae e armaura upla na seção T ocorre, em geral, quano a linha neutra corta a alma, 0,8 x > h f. Assim, será consierao apenas este caso ( fig. 2.15 ). 2.6.1. Dimensionamento - esenvolvimento analítico b f ' A' s h f x lim = k x lim ε c = 3,5 o / oo ε' s h M A s banzo comprimio ε s = ε y M = momento fletor e cálculo = largura a alma ou nervura h = altura total a seção = altura útil a seção A s = área a armaura e tração b f = largura efetiva a mesa ou flange h f = altura a mesa ou flange ' = istância o CG a armaura A s ' ao boro comprimio A s ' = área a armaura e compressão Fig. 2.15 - Nomenclatura
flexão - ELU 18 b f - h f x lim A s ' M f z f M wc z lim M - ' A sf + A sw1 + A sw2 M = M f + M wc + M A s = A sf + A sw1 + A sw2 Fig. 2.16- Artifício e ecomposição o esquema resistente a seção T com armaura upla O problema poe ser resolvio amitino-se a seção com a eformaa limite entre os omínios 3 e 4, e o esquema resistente na ruptura com a ecomposição anterior, consierano-se, porém, a parcela a alma com armaura upla. Com este artifício, o esquema resistente a seção conta com três parcelas ( fig. 2.16 ): M = M f + M w = M f + M wc + M w M f, parcela resistia pelas abas a mesa, tem a mesma efinição anterior. Consierano-se, para a mesa comprimia, o iagrama retangular e tensões e compressão no concreto as abas, o esquema resistente a mesa é efinio por: M f = 0,85 ( b f - ) h f f c ( - h f / 2 ) A sf = M f / ( f y z f ) z f = - h f / 2 M wc é o momento que esgota a capaciae resistente a alma, para a seção sub-armaa com armaura simples. Consierano-se o mesmo iagrama retangular para as tensões e compressão o concreto a alma, esta parcela o esquema resistente é efinia por: M wc = 0,68 2 f c k x lim (1-0,40 k x lim ) A sw 1 = M wc / ( f y z lim ) z lim = ( 1-0,40 k x lim. ) M é a parcela resistia pela armaura e tração A sw2 e pela armaura e compressão A s ', com um braço e alavanca ( - ' ). M = M - M f - M wc A sw 2 = M / [ f y ( - ' ) ] A' s = M / [σ' s ( - ' ) ] One a tensão σ' s na armaura e compressão é obtia a partir e sua eformação ε' s : ε' s = 0,0035 ( x lim - ' ) / x lim A área total a armaura e tração é aa pela soma as três parcelas A s = M f / ( f y z f ) + M wc / ( f y z lim ) + M / [ f y ( - ' )] 2.6.2. Dimensionamento - tabelas aimensionais (universais)
flexão - ELU 19 A seguir é apresentao o roteiro completar ao anterior, para o caso em que a solução e viga subarmaa é impossível com armaura simples. Roteiro Para a linha neutra na mesa e seção T, normalmente-armaa, com armaura upla a tabela: ( k m lim ; k x lim ; k z lim ) M wc = k m lim 2 f c M = M - M f - M wc ε' s = 0,0035 ( k x lim - '/ ) / k x lim σ' s A s = M f / [ f y ( - h f / 2 ) ] + M wc / ( f y k z lim ) + M / [ f y ( - ' ) ] A' s = M / [σ' s ( - ' ) ] 2.7. Prescrições normativas e isposições construtivas 2.7.1. Vão Teórico A NBR6118, item 3.2.2.1, efine o vão teórico l as vigas, em geral, como a istância entre os centros os apoios, não seno necessário aotar valores maiores que: em viga isolaa: 1,05 l 0 ( l 0 = vão livre entre as faces o apoio ) em vão extremo e viga contínua: 1,03 l 0 + semi-largura o apoio interno 2.7.2. Largura mínima A NBR6118, item 6.1.2.1, estabelece 8 cm como seno a largura mínima a nervura as vigas e seção retangular e T ou as parees a seção caixão. 2.7.3. Cobrimento mínimo O concreto protege fornece uma proteção física e química às barras as armaura. Visano preservar esta proteção, inispensável à urabiliae a peça, toa e qualquer barra e armaura, seja ela parte e uma armaura e montagem, e istribuição ou e equilíbrio, eve ter um cobrimento e concreto e espessura pelo menos igual ao seu iâmetro, mas não menor que os valores mínimos estabelecios por norma. c φ ; c mín NBR6118, item 6.3.3.1 prescreve os valores mínimos, transcritos na tabela seguir, e acoro com a agressiviae o ambiente e o tipo e proteção existente na superfície a peça.
flexão - ELU 20 COBRIMENTOS MÍNIMOS - NBR6118, item 6.3.3.1 - c mín [ cm ] Ambiente Concreto aparente Concreto revestio com argamassa Interior 2,0 lajes 0,5 parees 1,0 vigas - pilares - arcos 1,5 Ar livre 2,5 lajes - parees 1,5 vigas - pilares - arcos 2,0 Contato solo (a) 3,0 Muito agressivo 4,0 Observações: a) Para o concreto em contato com o solo não rochoso, sob a estrutura, eve existir uma camaa e concreto simples, não consieraa no cálculo, com o consumo e cimento 250 kg/m 3 e e espessura não inferior a 5cm. b) Quano o cobrimento for superior a 6 cm, eve-se colocar uma malha e armaura e pele complementar, cujo o cobrimento eve respeitar os valores e c mín. c) No projeto e estruturas resistentes ao fogo, o cobrimento eve também atener às exigências a NB 503. ) Além o cobrimento mínimo, everão ser tomaas meias especiais para o aumento a proteção a armaura se o concreto for sujeito a abrasão, a altas temperaturas, a correntes elétricas ou agentes fortemente agressivos, tais como agentes químicos e os presentes em ambiente marítimo. 2.7.4. Armaura mínima A NBR6118, item 6.3.1, prescreve que (A s A s mín ) a área A s a armaura longituinal e tração eve ser maior ou igual a um valor mínimo A s mín, capaz e conferir à seção uma resistência e ruptura à flexão no estáio II ( M R II, fig. 2,17 ), para o momento e ruptura a seção no estáio I, esprezano-se a contribuição a armaura ( M R I ). A armaura mínima (e tração!!!) visa prevenir conições e fissuração que poem ocorrer nos casos particulares em que a seção transversal tem imensões superiores às necessárias no imensionamento. As vigas, e seção (e concreto) superimensionaa, têm seu funcionamento para as cargas e serviço no estáio I. Porém, no caso e um aumento súbito as cargas, o seu funcionamento poe passar para o estáio II, ocorreno uma ruptura brusca o boro tracionao. A armaura mínima é aquela capasz e prevenir a ruptura a seção quano esta é solicitaa pelo momento e ruptura no estáio I, pois tem conições e substituir estaticamente o concreto tracionao a seção fissuraa. Para o caso e seções retangular e T, a NBR6118 prescreve valores mínimos aos por percentagens fixas a seção bruta e concreto, obtias a partir e envoltórias e casos críticos: A s mín = 0,25 % h pra os aços CA-25 e CA-32 = 0,15 % h pra os aços CA-40, CA-50 e CA-60
flexão - ELU 21 σ cc = f ct R cc = R ct h x I = h/2 z I = 2 h / 3 Estáio I M RI = f ct h 2 / 6 σ ct = f ct R ct = f ct h / 4 M r II = M R I σ cc R cc = σ cc x / 2 h x II z I = - x / 3 Estáio II M RIi = A smín f y z σ ct = 0 R st = A smín f y Fig. 2.17 Seção retangular - conições para cálcula a armaura mínima e tração na flexão 2.7.5. Armaura máxima Visano evitar conições aversas e concretagem, causaas por congestionamento e armauras e as eficiências ecorrentes estas, como ninhos e concretagem, o CEB recomena que a área total e armaura longituinal numa seção nunca ultrapasse 4% a área a seção e concreto. 2.7.6. Espaçamento as barras A armaura longituinal as vigas poe ser constituía e barras isolaas ou e feixes formaos por até 4 barras e bitola não superior a 25 mm ( fig.2.18 ). Para se evitar ninhos e concretagem, no arranjo os feixes, não se eve ispor mais e uas barras numa mesma camaa horizontal. O espaço livre entre uas barras, ois feixes ou uas luvas e emena a armaura longituinal eve respeitar os valores mínimos e h e e v, estipulaos para os planos horizontal e vertical, respectivamente ( NBR6118, item 6.3.2.2 ): e h 2 cm ; φ ; 1,2 máx e v 2 cm ; φ ; 0,5 máx one, φ é o iâmetro φ a barra, o iâmetro φ f o círculo e mesma área o feixe ou o iâmetro φ L a luva. Se as barras, luvas ou feixes forem e iâmetros iferentes, eve-se tomar o maior iâmetro eles. Nas expessões, máx é o iâmetro máximo o agregao utilizao na preparação o concreto. Este valor não costuma ultrapassar 5 cm, seno por volta e 1,5 cm, no caso e
flexão - ELU 22 vigas e lajes e eifícios, e 2,5 cm, no caso e vigas e grane porte. No caso e existirem emenas por trespasse ( barras justapostas ), eve-se obeecer as prescrições específicas. Na istribuição as armauras eve-se também ter em mente a interferência as armauras os iversos elementos estruturais subseqüentes, como pilares, lajes e outras vigas. Na prática e projeto, usualmente são construías tabelas, como a amostraa a seguir, conteno o número máximo e barras em uma camaa, respeitano-se estas prescrições, para valores préeterminaos e cobrimento, iâmetros máximos o agregao e os estribos. Viga isolaa: Número máximo e barras em uma camaa para c = 1,5 cm ; φ t 10 mm ; máx 1,5 cm Diâmetro as barras φ [ mm ] [ cm ] 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0 10 2 2 1 1 1 1 15 4 3 3 3 2 2 20 5 5 4 4 3 3 25 7 6 6 5 5 4 30 9 8 7 6 6 5 35 10 9 8 8 7 6 40 12 11 10 9 8 7 Quano houver necessiae e 3 camaas ou mais, eve-se prever, aina, uma largura livre horizontal a, que permita a passagem a agulha o vibraor: a φ a + 10 mm φ a = iâmetro a agulha o vibraor ( = 35-50 - 75-100 mm ) Após a istribuição a armaura, eve-se verificar a valiae as hipóteses e cálculo feitas sobre a força resultante nas armauras, pois seguno a NBR8118, item 6.3.1.2: "Os esforços a na armaura e tração, ou na e compressão, só poem ser consieraos concentraos no centro e graviae e A s, ou e A' s, se a istância este centro ao ponto a seção a armaura mais afastao a linha neutra, meia normalmente a ela, for menor que 5% a altura h". barra isolaa: φ feixes : φ f = φ n ; φ 25 mm ; n 4 φ φ t c n = 1 2 2 3 4 não permitio Fig. 2.18 - Barras isolaas e feixes
flexão - ELU 23 Caso os valores etabelecios a priori para e não atenam às exigências ou se encontrem contra a segurança (para uma tolerância aceitável em engenharia), eve-se refazer o cálculo: ou com uma nova estimativa para a altura útil, ou consierano-se a resultante e caa camaa e barras, separaamente. a φ a +10mm e h e h mín c c mín CG e v e v mín φ 5% h a φ a +10mm φ t c c mín CG e v e v mín φ 5% h c c mín e h e h mín Fig. 2.19 Espaçamento as barras a armaura longituinal