UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Extremos e o Teste da Derivada Primeira Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Extremos e o Teste da Derivada Primeira 1.Extremos relativos 2.O Teste da Derivada Primeira 3.Extremos Absolutos 4.Aplicações de Extremos
1. Extremos relativos Na aula anterior, vimos como utilizar a derivada para determinar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente. Nesta aula, estudaremos os pontos em que uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Em tais pontos, a função tem um extremo relativo. Os extremos relativos de uma função incluem os mínimos relativos e os máximos relativos da função. Assim é que a função mostrada na figura a seguir tem dois extremos relativos o ponto à esquerda é um máximo relativo e o ponto à direita é um mínimo relativo. 3
1. Extremos relativos 4
1. Extremos relativos Definição de Extremos Relativos Seja f uma função definida em c. 1. f(c) é um máximo relativo de f se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que f(x) f(c) para todo x em (a, b). 2. f(c) é um mínimo relativo de f se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que f(x) f(c) para todo x em (a, b). Se f(c) é um extremo relativo de f, dizemos que ocorre um extremo relativo em x = c. 5
1. Extremos relativos Para funções contínuas, os extremos relativos devem ocorrer em pontos críticos da função, conforme mostrado na figura abaixo. 6
1. Extremos relativos Ocorrência de Extremos Relativos Se f tem mínimo relativo ou máximo relativo quando x = c, então c é um ponto crítico de f; isto é, ou f (c) = 0 ou f (c) não é definida. 7
2. O teste da derivada primeira O resultado anterior implica que, na pesquisa de extremos relativos de uma função contínua, basta testar os pontos críticos da função. Constatado que c é um ponto crítico de uma função f, o Teste da Derivada Primeira para extremos relativos permite-nos classificar f(c) como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois. 8
2. O teste da derivada primeira O Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos Seja f contínua no intervalo (a, b), no qual c é o único ponto crítico. Se f é diferenciável no intervalo (exceto possivelmente no próprio c), então f(c) pode ser classificada como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois, como segue. 9
2. O teste da derivada primeira O Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos 1. No intervalo (a, b), se f (x) é negativa à esquerda de x = c e positiva à direita de x = c, então f(c) é um mínimo relativo. 2. No intervalo (a, b), se f (x) é positiva à esquerda de x = c e negativa à direita de x = c, então f(c) é um máximo relativo. 3. No intervalo (a, b), se f (x) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de x = c, então f(c) não é extremo relativo de f. 10
2. O teste da derivada primeira A figura acima exibe uma interpretação gráfica do Teste da Derivada Primeira. 11
2. O teste da derivada primeira Exemplo 1: Ache todos os extremos relativos da função f(x) = 2x 3 3x 2 36x + 14. Comecemos determinando os pontos críticos de f. ' 2 f x x x ( ) = 6 6 36 Calculando a derivada primeira 2 6x 6x 36 0 Igualando a 0 a derivada primeira = 2 6( x x 6) 0 Pondo em evidência o fator comu = m 6( x 3)( x + 2) = 0 Fatorando x = 2 e x = 3 Pontos críticos 12
2. O teste da derivada primeira Como f (x) é definida para todo x, os únicos pontos críticos de f são x = -2 e x = 3. Com esses números, formamos os intervalos de teste (-, -2), (-2, 3) e (3, ). A tabela abaixo mostra o teste dos três intervalos. Intervalo (-, -2) (-2, 3) (3, ) Valor de teste x = -3 x = 0 x = 4 Sinal de f (x) f (-3) = 36 > 0 f (0) = -36 < 0 f (4) = 36 > 0 Conclusão Crescente Decrescente Crescente 13
2. O teste da derivada primeira Com auxílio do Teste da Derivada Primeira, podemos concluir que o ponto crítico -2 dá um máximo relativo [f (x) muda de sinal, de positivo para negativo], e o ponto crítico 3 dá um mínimo relativo [f (x) muda de sinal, de negativo para positivo], como é mostrado na figura a seguir. 14
2. O teste da derivada primeira 15
2. O teste da derivada primeira A figura anterior mostra o gráfico de f. Para achar as coordenadas y dos extremos relativos, substituímos, na função, os valores das coordenadas x. Assim é que o máximo relativo é f(-2) = 58 e o mínimo relativo é f(3) = -67. No Exemplo 1, ambos os pontos críticos originaram extremos relativos. No próximo exemplo, apenas um dos dois pontos críticos dará um extremo relativo. 16
2. O teste da derivada primeira Exemplo 2: Ache todos os extremos relativos da função Pela derivada da função, f(x) = x 4 x 3. f (x) = 4x 3 3x 2 = x 2 (4x 3), vemos que a função tem apenas dois pontos críticos: x = 0 e x = ¾. Estes números definem os intervalos de teste (-, 0), (0, ¾) e (¾, ), que são testados na tabela a seguir. 17
2. O teste da derivada primeira Intervalo (-, 0) (0, ¾) (¾, ) Valor de teste x = -1 x = ½ x = 1 Sinal de f (x) f (-1) = -7 < 0 f (½) = -¼ < 0 f (1) = 1 > 0 Conclusão Decrescente Decrescente Crescente Pelo Teste da Derivada Primeira, vê-se que f tem mínimo relativo quando x = ¾, conforme a figura a seguir. O ponto crítico x = 0 não dá extremo relativo. 18
2. O teste da derivada primeira 19
2. O teste da derivada primeira Exemplo 3: Ache todos os extremos relativos da função Pela derivada da função, f ' f(x) = 2x 3x 2/3. pode-se ver que f (1) = 0 e que f não é definida para x = 0. Assim, a função tem dois pontos críticos, x = 1 e x = 0. Estes números definem os intervalos de teste (-, 0), (0, 1) e (1, ). 1 3 2 2( x 1) ( x) = 2 =, 1 1 3 3 x x 20
2. O teste da derivada primeira Testando estes intervalos, concluímos que f tem máximo relativo em (0, 0) e mínimo relativo em (1, -1), conforme mostra a figura a seguir. 21
3. Extremos absolutos As expressões mínimo relativo e máximo relativo descrevem o comportamento local de uma função. Para indicar o comportamento global da função em todo um intervalo, podemos aplicar as expressões máximo absoluto e mínimo absoluto. 22
3. Extremos absolutos Definição de Extremos Absolutos Seja f definida em um intervalo I que contém c. 1. f(c) é mínimo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x em I. 2. f(c) é máximo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x em I. O mínimo absoluto e o máximo absoluto de uma função em um intervalo são às vezes chamados simplesmente o mínimo e o máximo de f em I. 23
3. Extremos absolutos Procure gravar a distinção entre extremos relativos e extremos absolutos. Por exemplo, na figura a seguir, a função tem um mínimo relativo que é também mínimo absoluto no intervalo [a, b]. Contudo, o máximo relativo de f não é máximo absoluto em [a, b]. O próximo teorema afirma que, se uma função contínua tem como domínio um intervalo fechado, então ela deve ter tanto um mínimo absoluto como um máximo absoluto no intervalo. Pela figura, note que eles podem ocorrer em uma extremidade do intervalo. 24
3. Extremos absolutos Teorema dos Valores Extremos Se f é contínua em [a, b], então f atinge um valor mínimo como um valor máximo em [a, b]. 25
3. Extremos absolutos Embora uma função contínua tenha apenas um valor mínimo e um valor máximo em um intervalo fechado, qualquer um desses valores pode ocorrer para mais de um valor de x. Assim, no intervalo [-3, 3], a função f(x) = 9 x 2 toma o valor mínimo zero quando x = -3 e quando x = 3, conforme a figura a seguir. 26
3. Extremos absolutos 27
3. Extremos absolutos Ao procurar valores extremos de uma função em um intervalo fechado, tenha em mente que é preciso considerar os valores da função não só nas extremidades como também nos pontos críticos da função. Valem as seguintes diretrizes para achar extremos em um intervalo fechado. 28
3. Extremos absolutos Diretrizes para Achar Extremos em um Intervalo Fechado Para achar os extremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b], siga as etapas a seguir. 1. Calcule f em cada um de seus pontos críticos em (a, b). 2. Calcule f em cada extremidade, a e b. 3. O menor desses dois valores é o mínimo, e o maior deles é o máximo. 29
3. Extremos absolutos Exemplo 4: Ache os valores máximo e mínimo de no intervalo [0, 5]. f(x) = x 2 6x + 2 Comecemos determinando os pontos críticos da função. f ' ( x) = 2x 6 Calcular a derivada de f 2x 6 = 0 Igualar a derivada a zero 2x = 6 Somar 6 a ambos os membros x = 3 Resolver em relação a x 30
3. Extremos absolutos Por aí vemos que o único ponto crítico de f é x = 3. Como este número está no intervalo em questão, devemos testar os valores de f(x) neste número e nas extremidades do intervalo, conforme mostra a tabela abaixo. Valor de x Extremo: x = 0 Ponto crítico: x = 3 Extremo: x = 5 f(x) f(0) = 2 f(3) = -7 f(5) = -3 Conclusão Máximo Mínimo 31
3. Extremos absolutos Pela tabela, vemos que o mínimo de f no intervalo [0, 5] é f(3) = -7. Além disso, o máximo de f no intervalo [0, 5] é f(0) = 2. Estes resultados são confirmados pelo gráfico de f na figura a seguir. 32
4. Aplicações de extremos A determinação dos valores máximo e mínimo de uma função é uma das aplicações mais comuns do cálculo. 33
4. Aplicações de extremos Exemplo 5: Em aulas anteriores, estudamos o caso de uma lanchonete cuja função lucro para hambúrgueres é 2 x P = 2,44x 5.000, 0 x 50.000. 20.000 Ache o nível de produção que gera lucro máximo. 34
4. Aplicações de extremos Comecemos igualando a zero o lucro marginal e resolvendo em relação a x. ' x P = 2,44 Achar o lucro marginal 10.000 x 2,44 = 0 Igualar o lucro marginal a 0 10.000 x = 2,44 Subtrair 2,44 de ambos os membros 10.000 x = 24.400 unidades Ponto crítico 35
4. Aplicações de extremos Pela figura abaixo, vê-se que o ponto crítico x = 24.400 corresponde ao nível de produção que gera lucro máximo. 36
4. Aplicações de extremos Para achar esse lucro máximo, façamos x = 24.400 na função lucro. 2 x P = 2,44 x 5.000 20.000 2 (24.400) = 2,44(24.400) 5.000 20.000 = $ 24.768 37