Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no Triângulo Retângulo Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II - 2016.2 22 de fevereiro de 2017 1 / 53

Sumário 1 Triângulos 2 3 4 5 6 7 2 / 53

Definição Um triângulo é a figura formada por três pontos não colineares e as geodésicas que os ligam na superfície em questão. No plano, as geodésicas são as retas. A, B, C são os vértices. a, b, c são os lados. Â, B, Ĉ são os ângulos internos. 4 / 53

Soma dos Ângulos Internos A soma dos ângulos internos de um triângulo plano, é sempre igual a um ângulo raso (ou 180 0 ). 5 / 53

Soma dos Ângulos Internos De fato, trace por um dos vértices, uma reta paralela ao lado oposto. 6 / 53

Soma dos Ângulos Internos Prolongue os lados que formam o ângulo desse vértice. Isso determina os ângulos 1, 2 e 3. 7 / 53

Soma dos Ângulos Internos Note que os ângulos Ĉ e 2 são opostos pelo vértice, portanto, são iguais! Como o segmento AB é paralelo à reta que passa em C, segue que os ângulos Â e 3 são iguais. Pelo mesmo motivo, os ângulos B e 1 são iguais. 8 / 53

Soma dos Ângulos Internos Juntos, os ângulos 1, 2 e 3 formam um ângulo raso. Portanto, Â + B + Ĉ é um ângulo raso, ou seja, Â + B + Ĉ = 1800 9 / 53

Triângulo Retângulo Quando um dos ângulos internos é um ângulo reto, temos um Triângulo Retângulo. O lado oposto ao ângulo reto é chamado HIPOTENUSA 1. Os lados adjacentes ao ângulo reto, são chamados CATETOS 2. 1 Do grego, contrário à. 2 Do grego, que cai perpendicular. 10 / 53

Relações Trigonométricas Considere um ângulo agudo α e os segmentos paralelos A 1 B 1, A 2 B 2, A 3 B 3... Os triângulos retângulos A 1 OB 1, A 2 OB 2, A 3 OB 3,... são semelhantes. Isto é, A 1 B 1 = A 2B 2 = A 3B 3 =... OA 1 OA 2 OA 3 12 / 53

Relações Trigonométricas Desta forma, dado um triângulo retângulo com ângulos internos fixados existe uma relação entre os seus lados que não depende da medida dos lados. Essa relação será chamada seno do ângulo α. Notação: senα = AB cateto oposto ou senα = OA hipotenusa 13 / 53

Aplicação Cálculo do Raio da Terra: no alto de um farol à beira-mar, por exemplo, podemos estimar o raio da Terra... A altura h do farol (torre) é conhecida. O ângulo Â formado pela torre e a linha de visão do observador em direção ao horizonte, pode ser medida. Portanto, podemos determinar senâ. Usando a relação seno no triângulo retângulo OAT, temos: senâ = OT OA = R R + h = R = h.senâ 1 senâ14 / 53

Relações Trigonométricas Assim como no caso da relação seno, a semelhança entre os triângulos abaixo nos dá outras duas relações que também não dependem da medida dos lados: OB 1 = OB 2 = OB 3 =... OA 1 OA 2 OA 3 A 1 B 1 = A 2B 2 = A 3B 3 =... OB 1 OB 2 OB 3 Essas relações são, respectivamente, cosseno e tangente: cos α = OB cateto adjacente ou cos α = OA hipotenusa tgα = AB OB ou tgα = cateto oposto cateto adjacente 16 / 53

RELAÇÃO TANGENTE IMPORTANTE: Num triângulo retângulo, o valor da tangente de um de seus ângulos pode ser obtida a partir do seno e do cosseno deste ângulo. tg B = b ( ) a b = c ( a ) c = sen B cos B Portanto, tg B = sen B cos B 17 / 53

Como um triângulo tem três lados, é possível obter seis razões envolvendo seus lados. Já usamos e batizamos três dessas razões (seno, cosseno e tangente). Agora, vejamos as outras três sec Â = c b = 1 cos Â cossecâ = c a = 1 senâ cotgâ = b a = 1 tgâ 19 / 53

Considerando um triângulo retângulo e um de seus ângulos, digamos, Â, temos: ( a ) ( ) 2 b 2 sen 2 Â + cos 2 Â = + = a2 + b 2 c c c 2 Pelo Teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2. Portanto, sen 2 Â + cos 2 Â = 1 RELAÇÃO FUNDAMENTAL 21 / 53

Proposição Se Â e B são ângulos complementares, então senâ = cos B, sen B = cos Â e tgâ = 1/tg B senâ = a c = cos B Proposição sen B = b c = cos Â tgâ = a b = 1 b a Se Â e B são ângulos complementares, então sec Â = cossec B, sec B = cossecâ e cotgâ = 1/cotg B = 1 tg B 22 / 53

Proposição Se α é um ângulo no intervalo (0 0, 45 0 ), então sen2α = 2.senα. cos α Se x é um ângulo no intervalo (0 0, 90 0 ), então sen x 2 = 1 cos x 2 23 / 53

Demonstração (parte 1): Considere um triângulo isósceles onde os lados congruentes medem 1. 24 / 53

Traçando a bissetriz pelo ângulo no vértice O, determinamos o ponto médio do lado BC, o ponto A. 25 / 53

Vamos chamar de α a medida dos ângulos BÔA e AÔC, que são congruentes. 26 / 53

Agora, tracemos a altura relativa ao lado OC. Isso determina o ponto D e BD é uma altura para o triângulo. 27 / 53

Desta forma, podemos calcular a área do triângulo BOC de duas maneiras: OA.BC 2 = BD.OC 2 28 / 53

OA.BC 2 = BD.OC 2 (*) OA = cos α = OA = cos α OB BA = senα = BA = senα = BC = OB 2.senα BD = sen2α = BD = sen2α OB Substituindo em (*), temos cos α.2.senα 2 = sen2α.1 2 sen2α = 2. cos α.senα 29 / 53

Demonstração (parte 2): Se x é um ângulo no intervalo (0 0, 90 0 ), então sen x 2 = 1 cos x 2 Vamos considerar o ângulo β no vértice C do triângulo BOC. 30 / 53

OD + DC = 1 (*) OD = cos 2α = OD = cos 2α OB DC = cos β = DC = BC. cos β BC BC = 2BA, BA = senα = BC = 2.senα OB Substituindo em (*), temos cos 2α + BC. cos β = 1 cos 2α + 2.senα.senα = 1 2.sen 2 α = 1 cos 2α senα = 1 cos 2α 2 ou sen x 2 = 1 cos x 2 31 / 53

: 30 0 e 60 0 Considere um triângulo equilátero de lado 1. A bissetriz do ângulo no vértice em A, coincide com altura relativa ao lado BC e o ponto médio deste mesmo lado. Pelo Teorema de Pitágoras: AC 2 = AD 2 + DC 2 Isto é, 1 = AD 2 + 1 4 Portanto, AD = 3 2 33 / 53

: 30 0 e 60 0 3 Sendo AC = 1, AD = 2 e DC = 1 2, temos: sen30 0 = DC AC = 1 2 cos 30 0 = AD 3 AC = 2 tg30 0 = 1/2 3 = 3/2 3 34 / 53

: 30 0 e 60 0 Ademais, sendo 30 0 e 60 0 ângulos complementares, temos: cos 60 0 = sen30 0 = 1 2 3 sen60 0 = cos 30 0 = 2 tg60 0 = 1 tg30 0 = 1 = 3 3 3 35 / 53

: 45 0 Considere um triângulo retângulo isósceles com catetos medindo 1. Pelo Teorema de Pitágoras: BC 2 = AB 2 + AC 2 Isto é, BC 2 = 1 2 + 1 2 = 2 Portanto, BC = 2 sen45 0 = AC BC = 1 2 = 2 2 2 cos 45 0 = 2 tg45 0 = AC AB = 1 36 / 53

A Famosa tabela Triângulos Ângulo Seno Cosseno Tangente 30 0 1 2 3 2 3 3 45 0 2 2 2 2 1 60 0 3 2 1 2 3 37 / 53

: 18 0 Considere um triângulo isósceles cujos lados congruentes medem 1 e que 36 0 é o ângulo formado por tais lados. Obviamente os demais ângulos internos são ambos iguais a 72 0. Seja x o terceiro lado. 38 / 53

Seja CD a bissetriz do ângulo Ĉ. Veja que os triângulos ABC e CDB são semelhantes! 39 / 53

Seja CD a bissetriz do ângulo Ĉ. Veja que os triângulos ABC e CDB são semelhantes! Daí, AC CB = CB DB isto é, 1 x = x 1 x ou x 2 + x 1 = 0 5 1 Logo, CB = x = 2 43 / 53

Voltando ao triângulo inicial, a bissetriz do ângulo Â coincide com a altura relativa ao lado BC e também determina o ponto médio deste lado. sen18 0 = x/2 5 1 1 = 4 cos 2 18 0 + sen 2 18 0 = 1 = cos 18 0 = 1 sen 2 18 0 10 + 2 5 isto é, cos 18 0 = 4 tg18 0 = sen180 5 1 cos 18 0 = 10 + 2 5 44 / 53

Portanto, Ângulo Seno Cosseno Tangente 18 0 5 1 4 10 + 2 5 4 5 1 10 + 2 5 45 / 53

Exercício: Encontre as relações trigonométricas para os ângulos de 9 0, 15 0, 36 0 e 72 0. Use o fato de que: sen2α = 2senα. cos α sen α 2 = 1 cos α 2 sen 2 α + cos 2 α = 1 47 / 53

Exercício 01: Resolva o triângulo abaixo Â = 90 0 56 0 = 34 0 sen56 0 = b 15 = b = sen56 0.15 = 0, 83.15 = 12, 45 cos 56 0 = a 15 = a = cos 56 0.15 = 0, 56.15 = 8, 4 48 / 53

Exercício 02: Um atirador aponta a sua arma para uma pessoa que está amarrada em uma parede a 500 metros de distância. Na hora do disparo, houve um desvio para a direita de apenas 1 0. Supondo que o atirador só poderá realizar um único disparo, quais as chances do prisioneiro? Haverá um desvio de aproximadamente 8, 7m. O prisioneiro não morrerá por isso. 49 / 53

Exercício 03: Resolva o seguinte triângulo: senâ = 19.67 37.21 = 0, 53 Â = sen 1 (0, 53) = arcsen(0, 53) = 32 0 B = 90 0 32 0 = 58 0 cos Â = b c = b = (cos 320 ) (37.21) = b = (0.85) (37.21) = 31.63 50 / 53

Exercício 04: Um piloto dentro de um carro de corrida tem uma visão bastante limitada... 51 / 53

Exercício 04: Suponha que a linha de visão horizontal do piloto do carro 19 coincide com o ponto mais alto da traseira do carro 2. O ponto mais baixo da traseira do carro 2 pode ser visto pelo piloto do carro 19 sob um ângulo de depressão igual a 18 0. A distância do ponto mais baixo ao ponto mais alto da traseira do carro 2 é de 85cm. Sabendo que a distância entre a cabeça do piloto e a dianteira (ambos do carro 19) é de 1,5m, calcule a distância que há entre os dois carros (2 e 19). 52 / 53

A figura abaixo mostra uma interpretação geométrica para o problema tg18 0 = 0.85 = 0.32 (x + 1.5) = 0.85 x + 1.5 = 0.32x = 0.37 = x = 1.16m 53 / 53