UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC SEMANA DE MATEMÁTICA - OFICINA DE GEOMETRIA PROFESSORAS: Jurema Lindote Botelho e Eurivalda Ribeiro Santana ATIVIDADE 1 TRANSLAÇÃO 1. Considere, na figura a seguir, a relação que ao ponto A faz corresponder o ponto A', ao ponto B ao ponto B' e ao ponto P o ponto P'. Ligue cada ponto ao seu correspondente. Os segmentos AA, BB e PP, que você obteve, são chamados segmentos orientados. Observe também que os segmentos orientados obtidos têm o mesmo a mesma e o mesmo. Este segmento define um ente geométrico chamado vetor. Nestas condições a relação considerada acima é chamada translação de vetor v, ou translação v. Os pontos A, B e P são chamados transformados dos pontos A, B e P, respectivamente. v 1
2. Considere a relação que ao ponto M faz corresponder o ponto M, ao ponto N ao ponto N e a figura F faz corresponder a figura F. Ligue cada ponto ao seu transformado. Ligue também alguns pontos da figura F aos seus correspondentes na figura F. Os segmentos orientados obtidos tem o mesmo tamanho, a mesma direção eo mesmo sentido. Por isso, esses segmentos definem um vetor. Represente, na figura acima, esse vetor e indique pela letra u. Nestas condições, a relação considerada, que leva M em M, N em N e a figura F em F, é chamada translação de vetor u. Os pontos M e N são os tranformados de M e N, respectivamente. A figura F é a transformada da figura F. 3. Considere, no plano, um ponto P e a translação de vetor v que leva P em P O ponto P é também chamado soma do ponto P com o vetor v e escreve-se P = P + v, assim, no plano, fica definida a soma. De modo geral, tem-se que No plano, a soma de um ponto com um vetor é um ponto. 4. Na figura a seguir, o ponto P é o transformado de P pela translação de vetor u, isto é P = P + u. Ache os pontos A + u, M + u e R+ u 2
5. Considere, agora, no plano, os pontos Q, Q e o vetor v. O vetor v é chamado diferença dos pontos Q e Q e escreve-se v = Q Q. No plano, a diferença de dois pontos é um vetor. O vetor v = Q Q é também indicado por QQ. ' CONGRUÊNCIA POR TRANSLAÇÃO 1. Considere o plano representado por uma folha de papel. Esse plano é um conjunto de pontos. Qualquer subconjunto desses pontos chama-se figura. Considere a figura F e o vetor v dados a seguir e ache os transformados dos pontos A, B e C pela translação de vetor v. Ligue os pontos obtidos. A figura F é levada na figura F pela translação de vetor v, ou seja F = F + v.. Também podemos afirmar que a figura F é levada na figura F pela translação de vetor v, ou seja, F = F + (-v). 3
Definição Dadas duas figuras F e F, se uma pode ser obtida da outra por uma translação, diz-se que F e F são congruentes. Escreve-se F F. Obs: É claro que toda figura é congruente a si mesma, pois F é obtida de F por uma translação que leva cada ponto de F em si mesmo. Esta translação é chamada translação de vetor nulo ou identidade. Exercícios 1. Diga se as figuras seguintes são congruentes por translação. Em caso afirmativo, indique o vetor translação. 2. Diga se as figuras seguintes são congruentes por translação. Em caso afirmativo, indique o vetor de translação. 3. Ache a transformada da figura F pela translação de vetor w. 4
Atividade 2 SOMA DE VETORES, VETOR NULO, SIMÉTRICO DE UM VETOR, DIFERENÇA DE VETORES 1. Considere o ponto P, dado a seguir, e as translações de vetores u e v. Ache o transformado de P pela translação de vetor u, isto é, P = P+ u. Em seguida, ache o transformado de P pela translação de vetor v, isto é P = P + v. Existe uma translação que leva diretamente P em P? Você deve ter encontrado uma translação que leva diretamente P em P, chame de vetor w. Assim fica definida a operação de adoção entre os vetores u e v, isto é w = u + v. Dados os vetores u, v,w e t, figura a seguir, ache: a) u +w; b) w + t; c) v + v Obs: 1. Como já foi visto, existe uma translaçãode vetor nulo que leva uma figura em sim mesma. O vetor nulo, que será indicado por 0 goza da propriedade: u + 0 = 0 + u. 2. Como já foi visto, a cada vetor u corresponde o vetor u que tem o mesmo tamanho, direção e sentido contrário ao de u. O vetor u é chamado de simétrico de u e goza da seguinte propriedade: u + (-u) = (-u) + u = 0 3. A soma de um vetor u com o opostode outro vetor v chama-se diferença dos vetores u e v e se indica por u v, isto é, u + (-v) = u v 5
4. Construa uma figura congruente à figura dada a seguir. 6
3. Assinale as figuras que tem centro de simetria 5. Considere o ponto P e o vetor v e ache: a)p+2v b) P+3v c) P-v d) P+1/2 v Observe que os pontos foram obtidos somando-se ao ponto P o vetor tv para t = 2, t = 3, t = -1 e t =1/2. Se você pudesse obter todos os pontos P+tv, você encontraria uma. 7
Atividade: HOMOTETIA 1. Considere um ponto fixo C e o número real 3. A cada ponto P do plano, com P C, pode-se fazer corresponder o ponto P tal que CP = 3CP A correspondência que leva P em P é chamada homotetia de centro C e razão 3. O ponto P é CP' chamado homotético de P. Observe que os pontos C, P e P estão alinhados e que = 3. CP 2. Considere o ponto fixo C, e o número real 1/2 e a correspondência que leva P em P tal que 1 CP'= CP. 2 A correspondência que leva P em P é chamada homotetia de centro C e razão 1/2. O ponto P é CP' 1 chamado homotético de P. Observe que os pontos C, P e P estão alinhados e que =. CP 2 4. Considere o ponto fixo, o número real 3 e a correspondência que leva P em P tal que CP = -3CP A correspondência que leva P em P é chamada homotetia de centro C e razão -3. O ponto P é CP' chamado homotético de P. Observe que os pontos C, P e P estão alinhados e que = 3. CP 8
5. Na figura a seguir P é o homotético de P por uma homotetia de centro C e razão k = -1/4. Observe que os pontos C, P e P estão alinhados. Definição Seja C um ponto fixo do plano e k um número real diferente de zero. Chama-se homotetia de centro C e razão k a corrrespondência que leva um ponto P qualquer do plano num ponto P, tal que CP = k CP O ponto P é chamado homotético de P. Observações: 1) Se k > 0, os pontos P e P estão numa mesma semi-reta de origem C. 2) Se k < 0, os pontos P e P estão em semi-retas opostas de origem C. 3) Se k = -1 a homotetia é uma simtria de entro C pois CP = - CP. 4) Se k = 1 a homotetia é a identidade pois CP = CP, e portanto P=P. CP ' 5) Se P é o homotético de um ponto P pela homotetia de centro C e razão k, = k CP Exercícios 1. Ache os homotéticos dos pontos A, B e D, dados a seguir pela homotetia de centro C e razão 2. (CA = CA) 2. Ache os homotéticos dos pontos M, N, e P pela homotetia de centro C e razão 1/3. 9
3. Ache os homotéticos dos pontos Q e R pela homotetia de centro C e razão 2. 4. Construa a figura homotética da figura dada a seguir, pela homotetia de centro C e razão k = 3. 5. Construa a figura homotética da figura dada a seguir, pela homotetia de centro C e razão k = -2. 6. A figura F é a transformada da figura F por uma homotetia. Dê o centro e a razão de homotetia. 10
7. A figura F é a transformada da figura F por uma homotetia. Dê o centro e a razão de homotetia. 11