Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN) curso: Licenciatura em Matemática professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter Primeiro semestre de 2012 1. Determine os valores de a; b e c para os quais os polinômios f(x) = (a 1)x 2 +(b+2)x+4 e g(x) = (c + 3)x 3 + 5x 2 + cx + 4 se tornam idênticos. 2. Mostre que o polinômio f(x) = (x 1) 2 + (x 3) 2 2(x 2) 2 2 é igual ao polinômio nulo. 3. Encontre os valores de a e b para os quais o polinômio f(x) = 6x 2 + 36x 56 pode ser escrito como f(x) = (x a) 3 (x b) 3 : 4. Sejam f(x) = x 2 + ax + b e g(x) = (x a)(x b): Determine os valores de a e b para os quais f = g: 5. Calcule o valor numérico do polinômio p(x) = x 3 7x 2 + 3x 4 para x = 1; x = 0 e x = 2: 6. Encontre os valores de a, b e c para os quais o polinômio f(x) = x 3 + 6x 2 + ax + b pode ser escrito como (x c) 3. 7. Se p(x) é um polinômio tal que 2p(x) + x 2 p(x 1) é idêntico a g(x) = x 3 + 2x + 2; determine o valor numérico de p em 1: 8. Determinar todos os polinômios f de grau menor ou igual a 3 e tal que f(x) = f( x) para todo x 2 R. 9. Determine todos os polinômios f de terceiro grau tais que, para todo x real, se tenha f(x) f(x 1) = x 2. 10. Determine um polinômio f de grau 3 que admita 6 como raíz e que satisfaça a relação f(x) f(x 1) = x 2 para todo x 2 R: 11. Determine o polinômio f do terceiro grau que satisfaça a relação f(x 1) = f(x) + 4x 2 para todos os valores reais de x: 12. Determine os valores de a e b para os quais o polinômio A(x) = 2x 3 +ax 2 7x +b seja divisível por B(x) = x 2 e por C(x) = x + 1. 13. Considere o polinômio A(x) = x 3 + x 2 + ax + b. Calcule a e b sabendo que os restos das divisões de A(x) por B(x) = (x 1) e por C(x) = (x 2) são iguais a 5 e 3; respectivamente. 14. Numa divisão de polinômios, em que o divisor tem grau 4, o quociente tem grau 2 e o resto tem grau 1, qual será o grau do dividendo? E se o grau do resto fosse 2? 1
15. Mostre que a fatoração abaixo é válida: (1 + x + x 2 + x 3 ) 2 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 6 : 16. Efetue a divisão de f(x) = x 3 + ax b por g(x) = 2x 2 + 2x 6. Qual a condição entre a e b para que essa divisão seja exata? 17. Encontre o quociente e o resto da divisão de: (a) f(x) = 4x 4 5x 3 8x 2 + 2 por g(x) = (x 3)(x + 4); usando o algoritmo de Briot-Ru ni. (b) f(x) = 8x 6 + 6x 5 + 7x 4 + 6x 3 dos coe cientes a determinar. 3x + 5 por g(x) = 2x 4 + x 3 + x; usando o método 18. Considere os polinômios f(x) = x 4 +ax 2 +b; g(x) = x 2 +2x+4; p(x) = x 3 +cx 2 +dx 3 e q(x) = x 2 x + 2: Determine os valores de a e b para que a divisão de f por g seja exata e os valores de c e d para que a divisão de p por q tenha resto igual a 7: 19. Sejam a; b; c; d constantes reais. Sabendo que a divisão de f(x) = x 4 + ax 2 + b por g(x) = x 2 + 2x + 4 é exata e que a divisão de p(x) = x 3 + cx 2 + dx 3 por q(x) = x 2 x + 2 tem resto igual a 5; determine o valor de a + b + c + d: 20. Determine os valores de m; n; p para os quais o quociente entre f(x) = (2 m)x 3 + (m 1)x 2 + (n 1)x + (p 3) e g(x) = x 2 6x + 1 seja independente de x e o resto dessa divisão seja nulo. 21. Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x; 2x e 3x; do qual foi retirado um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x. Determine uma expressão polinomial que represente o volume desse sólido. 22. Um pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabadas de seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras (paralelepípedos retangulares) de 800 cm 3 cada. Para tanto, construirá uma forma a partir de uma folha metálica retangular medindo 28 cm por 18 cm; cortando um pequeno quadrado de cada canto. Essa folha, devidamente dobrada, conforme ilustra a gura abaixo, servirá de molde para as barras de goiabada. Sendo x a medida, em centimetros, dos lados do quadrado cortado da folha inicial, para que o volume da barra obtida desse molde tenha realmente os 800 cm 3 desejados, a incógnita x deve satisfazer uma certa equação polinomial. Determine essa equação. 2
23. Resolva os exercícios 161; 162; 163; 164; 166; 173; 175; 193; 194; 196; 204; 210; 214; 216; 220; 229; 230; 231; 235; 243; 257; 258 do capítulo 2 do Livro Fundamentos da Matemática Elementar, volume 6. 24. Determine um polinômio de terceiro grau que se anula para x = 1 e que, quando dividido por x + 1; x 2 e x + 2 deixa sempre resto igual a 6. 25. Encontre as raízes do quociente da divisão de f(x) = x 4 10x 3 + 24x 2 + 10x 24 por g(x) = x 2 6x + 5: 26. Determine: (a) o valor de a para o qual o polinômio f(x) = ax 3 + (2a 1)x 2 + (3a 2)x + 4a seja divisível por g(x) = x 1: Usando o valor de a obtido, encontre também o quociente desta divisão. (b) o valor de a 2 R para o qual o polinômio f(x) = ax 3 + 2ax 2 3x + (6 4a) é divisível por x 1: A seguir, utilizando o valor de a obtido, decomponha f como um produto de fatores do primeiro grau. (c) os valores de p e q para que o polinômio f(x) = x 3 2px 2 + (p + 3)x + (2p + q) seja divisível por g(x) = x e por h(x) = x 2: (d) o valor de K para que o polinômio p(x) = 6x 5 + 11x 4 + 4x 3 + Kx 2 + 2x + 8 seja divisível por g(x) = 3x + 4: (e) os valores de m e n para que o polinômio p(x) = 2x 4 + 3x 3 + mx 2 nx 3 seja divisível por g(x) = x 2 2x 3: 27. Sejam 1 e 2, respectivamente,os restos das divisões de um polinômio f por x 1 e x 2. Determine o resto da divisão de f por g(x) = (x 1)(x 2). 28. Um polinômio p(x) dividido por g(x) = x+1 deixa resto 1, dividido por h(x) = x 1 deixa resto 1 e dividido por l(x) = x + 2 deixa resto 10. Qual o resto da divisão do polinômio p por g(x) = (x + 1)(x 1)(x + 2). 29. Os restos das divisões de um certo polinômio desconhecido pelos polinômios (x+1); (x 1), (x 2); (x + 3) são, respectivamente, iguais a 5; 1; 1; 2: Determine o resto da divisão deste polinômio por g(x) = (x + 1)(x 1)(x 2) (x 3) : 30. Determine: (a) o(s) valor(es) de k 2 R para os quais f(x) = 2x 4 + kx 3 + x 2 + 12k 3 x divisível por x + 2k: 36 seja (b) os valores de a; b; c 2 R para os quais f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c admite 1 e 2 como raízes de multiplicidades iguais a 2 e 1; respectivamente. (c) os valores de c; d 2 R para os quais f(x) = x 3 + cx 2 + dx 3 deixe resto r(x) = 9x + 11 quando dividido por g(x) = x 2 x + 2: 31. Enucie e demonstre novamente o Teorema do Resto. 3
32. Utilize o teorema do resto para obter o valor de k para o qual a divisão de f(x) = x 4 4x 3 kx 75 por x 5 seja igual a 10. 33. Encontre os valores de m e n para os quais o polinômio: (a) p(x) = 2x 4 x 3 + mx 2 nx + 2 seja divisível por g(x) = x 2 x 2: (b) p(x) = x 4 12x 3 + 47x 2 + mx + n seja divisível por g(x) = x 2 7x + 6 34. Prove novamente que um polinômio f(x) é divisível por x a se, e somente se, a é raiz de f(x). 35. Demonstre novamente que se f e g são polinômios divisíveis por h, então o resto da divisão de f por g também é divisível por h. 36. Demostre novamente que, se f(x) é divisível separadamente por x a e por x b; com a 6= b; então f(x) também é divisível por g(x) = (x a)(x b): A seguir, dê um exemplo que ilustre essa propriedade. 37. Mostre que, se f e g são divisíveis pelo polinômio h; então o mesmo ocorre com os polinõmios f + g; f g e fg: 38. O polinômio P (x) = x 5 x 4 13x 3 + 13x 2 + 36x 36 é tal que P (1) = 0. Quais os outros valores de x que o anulam? 39. Os restos das divisões de um certo polinômio desconhecido pelos polinômios (x+1); (x 2) e (x 3) são, respectivamente, iguais a 10; 7 e 2: Determine o resto da divisão deste polinômio por g(x) = (x + 1)(x 2)(x 3): 40. Decomponha o polinômio f(x) = x 3 +4x 2 +7x 10 em produto de fatores do primeiro grau. 41. Encontre todas as raízes de f(x) = x 4 10x 3 + 32x 2 38x + 15 e a seguir, decomponha f em um produto de fatores do primeiro grau. 42. Um polinômio desconhecido deixa resto 7 quando dividido por x 1 e resto 4 quando dividido por x+2: Seja r(x) o resto da divisão deste polinômio por g(x) = (x 1)(x+2): Determine: (a) o polinômio r(x) (b) as raízes do polinômio f(x) = x 3 igual à soma das outras duas. 4x 2 + r(x); sabendo que uma de suas raízes é 43. (ENADE 2008) Determine os valores de k e m para os quais o polinômio p(x) = x 3 3x 2 + kx + m se torna múltiplo de q(x) = x 2 4: 44. Seja f um polinômio do quinto grau com coe cientes inteiros, sendo o coe ciente do termo de maior grau unitário. Sabe-se que as cinco raízes de f são números naturais, sendo quatro delas números pares e a outra, um número ímpar. Quantos coe cientes de f são pares? Quantos são ímpares? 4
45. Dividindo-se P (x) = x 2 + bx + c por x 1 e por x 2; obtém-se o mesmo resto 3: Determine a soma e o produto das raízes do polinômio f(x) = p(x) 3: 46. Utilizando as relações de Girard, determine: (a) todas as raízes do polinômio p(x) = x 3 igual a soma das outras duas. 4x 2 + x + 6; sabendo que uma raiz é (b) o valor de 1 a + 1 b + 1 ; sabendo que a; b e c são as raízes do polinômio p(x) = c x 3 2x 2 + 3x 4: (c) todas as raízes do polinômio f(x) = x 3 é o quádruplo da soma das outras duas. (d) a soma dos inversos das raízes de p(x) = 2x 3 4x 2 + 6x 8: 5x 2 + 2x + 8; sabendo que uma das raiz 47. Determine todas as raízes do polinômio f(x) = x 3 9x 2 + 23x 15, sabendo que suas raízes estão em progressão aritmética. 48. Determine todas as raízes do polinômio f(x) = x 3 6x 2 + 11x 6 sabendo que uma raiz é igual a soma das outras duas. 49. Determine todas as raízes do polinômio f(x) = x 4 4x 3 x 2 + 16x 12 sabendo que existem duas raízes simétricas. 50. Sabendo que a soma de duas raízes do polinômio f(x) = x 3 x 2 + mx + 21 é igual a 4, determine o valor de m. 51. Resolva os exercícios 289; 290; 293; 294; 296; 299; 302; 303; 305; 310; 313, 314; 316; 317; 318; 320; 323; 327; 330; 336; 337 do capítulo 3 do livro Fundamentos da Matemática Elementar, volume 6. 52. Se 6 é a soma dos quadrados das raízes do polinômio f(x) = x 3 (k +1)x 2 x+(k +1); com k > 0 e se p é a maior raiz de f; determine o valor de k + p. 53. Determine as raízes r 1 ; r 2 ; r 3 do polinômio p(x) = x 3 + 7x 2 6x 72; sabendo que r 1 r 2 = 3 2 : 54. Determine a soma dos quadrados das raízes do polinômio f(x) = x 4 5x 3 + 9x 2 8: 55. As raízes do polinômio f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Determine o valor de a 2 + b 2 + c 2 : 56. Quais são as raízes inteiras do polinômio f(x) = x 3 9x 2 + 22x 24? 57. Seja x a solução da equação x 2 + x + 1 = 0: Então x 6= 0 e por isso, podemos dividir ambos os membros dessa equação por x; obtendo x + 1 + 1 = 0: Da equação inicial x temos x + 1 = x 2, que substituída na equação anterior fornece x 2 + 1 = 0; isto x é, x 2 = 1 ou ainda x x3 = 1 e portanto x = 1: Porém, se substituirmos esse valor na equação x 2 + x + 1 = 0; obtemos 3 = 0!!!!! Onde está o erro??? 5
58. (OLIMPÍADAS BRASILEIRAS DE MATEMÁTICA -2005) Briot (matemático francês que viveu de 1817 a 1882) e Ru ni (matemático italiano que viveu de 1765 a 1822) desenvolveram métodos para achar soluções para as chamadas equações recíprocas. Nessa questão você vai desenvolver, passo a passo, a essência desses métodos. Os itens a e b são uma preparação para os itens c e d : (a) Se y = x + 1 x então calcule, em função de y; as expressões x2 + 1 x 2 e x3 + 1 x 3 : (b) Determine todas as raízes reais da equação não polinomial x 2 5 5x+8 x + 1 x = 0: 2 (c) Determine todas as raízes reais do polinômio f(x) = x 4 5x 3 + 8x 2 5x + 1: (d) Determine todas as raízes reais do polinômio g(x) = x 6 2x 5 5x 4 +12x 3 5x 2 2x + 1: (dica : use o que você aprendeu nos itens anteriores!). 6