Aexo PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Uiversidade de Évora, Departameto de Egeharia Rural.. Itrodução Nehum processo hidrológico é puramete determiístico, isto é, ão é possível determiar com exactidão a realização desse processo, pois ele está sujeito à acção de factores aleatórios. Por exemplo, apesar de ser possível prever com alguma atecedêcia a ocorrêcia de precipitação, ão é possível determiar qual a quatidade exacta de precipitação que irá ocorrer. Este facto parece estabelecer uma dificuldade básica o plaeameto e gestão de qualquer sistema hidrológico, uma vez que para plaear e gerir é fudametal cohecer o comportameto futuro dos processos que itegram esse sistema hidrológico. No etato, esta dificuldade pode ser ultrapassada, cosiderado que os processos hidrológicos são processos estocásticos, isto é, processos goverados pelo meos em parte por factores aleatórios. Se são processos estocásticos podem ser tratados recorredo às leis de probabilidade e à estatística, sedo possível determiar qual a probabilidade duma realização desses processos se situar detro de determiados itervalos. Por exemplo, se chover, pode determiar-se com atecedêcia qual probabilidade de ocorrer um determiado valor de precipitação.. Coceitos e defiições.. Frequêcia e probabilidade Cosidere-se o laçameto de um dado perfeito. O cojuto de resultados possíveis desta experiêcia é cohecido e igual a Ω = {,,3,4,5,6}. Chama-se experiêcia aleatória a uma experiêcia ode: - É cohecido o cojuto Ω de todos os resultados possíveis; - Não é possível cohecer, ates da realização da experiêcia, o resultado que ocorrerá (Lecastre e Fraco, 003). Admita-se que se laça 0 vezes o dado e que a face 3 ocorre 5 vezes. A frequêcia (ou frequêcia relativa) de ocorrêcia da face 3, f(3) é dada por: 5 f ( 3) 0,5, (.) 0
ou, geericamete, f(x) N, (.) ode é o úmero de vezes em que ocorre o acotecimeto x e N é o úmero de repetições da experiêcia (tamaho da amostra). Por exemplo (Hipólito e Vaz, 0), se um registo de 50 aos de precipitação o acotecimeto x > 00 m ocorrer 8 vezes a amostra, etão a sua frequêcia relativa será, 8 f ( 00) 0,6. 50.. População e amostra Em estatística população desiga um cojuto de elemetos com alguma característica comum, por exemplo: os rios portugueses ou as precipitações auais uma bacia hidrográfica. Pode dizer-se que a estatística se ocupa do estudo das propriedades das populações, populações estas que podem ser fiitas ou ifiitas coforme for fiito ou ifiito o úmero dos seus elemetos. No etato, e porque a observação de toda a população em sempre é possível, o estudo das propriedades dessa população tem de ser feito sobre um seu subcojuto fiito que se supõe ser represetativo e se desiga por amostra. Quado, a partir da iformação cotida uma amostra, se tiram coclusões, expressas em termos de probabilidade, sobre toda a população etra-se o domíio da iferêcia estatística. Cosidere-se uma amostra costituída por um determiado cojuto de dados x,...,, x x. A difereça etre o maior e o meor dos valores dos dados, chama-se amplitude dos dados, I I = maior X i meor X i. (.3) Para resumir grades quatidades de dados é usual distribui-los em classes. O úmero de idivíduos pertecetes a cada classe deomia-se frequêcia absoluta da classe. A razão etre a frequêcia absoluta da classe e a frequêcia total (úmero total de valores da amostra) chama-se frequêcia relativa da classe. À distribuição dos dados em classes com as respectivas frequêcias absolutas, chama-se distribuição de frequêcias ou distribuição empírica e à distribuição dos dados em classes com as respectivas frequêcias relativas, chama-se distribuição de frequêcias relativas ou distribuição das percetages. (ver Quadro.. do Exemplo..) Geralmete, o úmero de classes, c, deverá ser etre 5 e 0, o etato, pode utilizar-se, para cálculo do úmero de classes, a fórmula sugerida por Sturges: c log 3,393log 0. (.4) Determiado o úmero de classes e uma vez cohecida a amplitude dos dados I, a amplitude de cada classe, c, pode ser determiada por:
3 c I c (.5) Exemplo. Cosiderem-se as precipitações auais registadas a estação de Castro D Aire durate 79 aos, apresetadas o Quadro.. Calcule a distribuição de frequêcias e distribuição de frequêcias relativas da precipitação aual. Quadro.. Precipitação aual (mm) em Castro D Aire Ao Precipitação (mm) Precipitação ordeada de forma crescete(mm) Nº de ordem 96/7 8, 870,9 97/8 00, 903,5 98/9 093, 9,8 3 99/0 556,4 95,8 4 90/ 90,6 00, 5 9/ 785,4 039, 6 9/3 830, 055,4 7 93/4 50, 076, 8 94/5 749,6 7, 9 95/6,6 44,5 0 96/7 04, 80,0 97/8 93,7 0,0 98/9 7, 39,6 3 99/30 630,9 47, 4 930/3 48, 54,0 5 93/3 46,0 75,7 6 93/33 334,4 90,6 7 933/34 30, 98,7 8 934/35 58,0 300,3 9 935/36 349,6 30, 0 936/37 069,0 334,4 937/38 54,0 344,7 938/39 974,0 39,9 3 939/40 059,6 4,7 4 940/4 569,6 4,9 5 94/4 50,6 46,8 6 94/43 664, 43,0 7 943/44 344,7 44,0 8 944/45 95,8 45,9 9 945/46 763,0 46,0 30 946/47 079,3 478, 3 947/48 4,7 48, 3 948/49 9,8 496,4 33 949/50 0,0 504, 34 950/5 903,9 50,6 35 95/5 65,0 556,4 36 95/53 076, 567,9 37 953/54 75,7 578, 38 954/55 699,5 58,0 39 955/56 50,9 585,4 40 956/57 039, 588, 4 957/58 588, 595,9 4 958/59 746, 603,3 43
4 Quadro.. (Cot.) Precipitação aual (mm) em Castro D Aire Ao Precipitação (mm) Precipitação ordeada de forma crescete(mm) Nº de ordem 959/60 563,6 65,0 44 960/6 987,4 664, 45 96/6 585,4 689,7 46 96/63 83, 699,5 47 963/64 0, 746, 48 964/65 80,0 749,6 49 965/66 806,9 763,0 50 966/67 595,9 785,4 5 967/68 4,9 86, 5 968/69 80,0 830, 53 969/70 496,4 83, 54 970/7 567,9 903,9 55 97/7 300,3 93,7 56 97/73 478, 930, 57 973/74 689,7 974,0 58 974/75 39,6 987,4 59 975/76 903,5 000, 60 976/77 34,0 04, 6 977/78 4, 059,6 6 978/79 599, 069,0 63 979/80 45,9 079,3 64 980/8 44,5 093, 65 98/8 504, 8, 66 98/83 46,8 4, 67 983/84 603,3 50, 68 984/85 000, 50,9 69 985/86 578, 0, 70 986/87 39,9,6 7 987/88 930, 80,0 7 988/89 870,9 34,0 73 989/90 43,0 563,6 74 990/9 44,0 569,6 75 99/9 055,4 599, 76 99/93 47, 630,9 77 993/94 86, 806,9 78 994/95 98,7 349,6 79 Resolução: A amplitude dos dados determia-se facilmete pela equação (.3): I = 349,6 870,9 = 378,7 mm, o úmero de classes, utilizado a equação (.4), é: c 3,393log 0 79 7 classes, e a amplitude de cada classe, determia-se recorredo à equação (.5): I 378,7 c 340mm. c 7
5 Isto é, a ª classe terá como limite iferior o valor 870,9 mm e como limite superior 0,9 mm (870,9 + 340), a ª classe terá como limite iferior 0,9 mm e como limite superior 550,9 mm (0,9 + 340), e assim sucessivamete até ao limite superior da última classe. O apurameto dos valores pertecetes a cada classe que coduz às frequêcias absolutas e relativas de cada classe, ão oferece qualquer dificuldade. Basta cotar os elemetos que caem em cada classe, cosiderado que um determiado valor x pertece a uma classe quado e só quado é maior que o limite iferior e meor ou igual que o limite superior dessa classe. A divisão da amostra em classes bem como as frequêcias absolutas e relativas de cada classe são apresetadas o Quadro.. Quadro.. Distribuição de frequêcias e distribuição de frequêcias relativas da precipitação aual em Castro D Aire. Precipitação aual (mm) Frequêcias absolutas Frequêcias relativas 870,9-0,9 /79 = 0,5 0,9-550,9 3 3/79 = 0,9 550,9-890,9 9 9/79 = 0,40 890,9-30,9 8 8/79 = 0,8 30,9-570,9 3 3/79 = 0,038 570,9-90,9 3 3/79 = 0,038 90,9-350,9 /79 = 0,03 TOTAL 79 A represetação gráfica duma distribuição de frequêcias forece uma visão global da distribuição. Esta represetação gráfica pode ser feita através de um histograma. O histograma é uma sucessão de rectâgulos adjacetes, tedo cada um deles por base um segmeto que correspode à amplitude de cada classe e por altura as respectivas frequêcias absolutas ou relativas. Na Figura.. apreseta-se o histograma das frequêcias absolutas referete ao Exemplo.. 3. Estatísticas descritivas de uma população e de uma amostra Aspectos fudametais para a caracterização das distribuições de frequêcia são as medidas de tedêcia cetral, medidas de dispersão e assimetria. Às gradezas avaliadas a partir da população dá-se o ome de parâmetros e às gradezas calculadas com base a amostra dá-se o ome de estatísticas. Os parâmetros são represetados por letras gregas (µ, σ, ) equato que as estatísticas são represetadas por letras latias ( x, S, g,... ). Cosidere-se uma amostra costituída por x,...,, x x ode é o tamaho da amostra. Defie-se:
6 Figura.. Histograma das frequêcias absolutas para a precipitação aual em Castro D Aire. a) Média ou valor médio represeta o ceto de gravidade do sistema e é o mais importate parâmetro de localização. Desiga-se por x e para dados ão classificados, defiese por, x i x i. (3.) b) Mediaa é o valor cetral da amostra ordeada por ordem crescete ( x x,..., x ). Assim, a mediaa, M, pode defiir-se por duas expressões: Se a amostra tem úmero impar de dados, k, e a mediaa vem, M x k, (3.) isto é a mediaa é a observação cetral. Se a amostra tem úmero par de dados, k, e a mediaa vem, x k x M k, (3.3) isto é a mediaa é a média dos dois valores cetrais. c) Moda é o valor mais frequete da amostra. É a medida de localização meos usada em hidrologia, pois em amostras de dados hidrológicos (precipitações, caudais, etc.) é pouco
7 provável que haja valores exactamete iguais. No etato para cálculo da moda, Mod, pode utilizar-se a expressão, Mod x 3( x M). (3.4) Ode x e M são, respectivamete, a média e a mediaa da amostra. Exemplo 3. Cosiderem-se as precipitações auais registadas a estação de Castro D Aire (Quadro..) e a respectiva distribuição de frequêcias e distribuição de frequêcias relativas (Quadro..). Calcular a média, a mediaa e a moda. Resolução: Utilizado as equações (3.), (3.) e (3.4) vem, respectivamete, para a média, mediaa e moda: x i x i 8,... 98,7 79 67,5 mm ; 78 79 k 39, M xk x40 585,4mm; Mod x 3( x M) 67,5 3(67,5 585,4) 4,mm. Para esta distribuição de precipitações, tem-se que, x M Mod 3.. Medidas de Dispersão A dispersão pode defiir-se como a posição dos dados em relação a uma referêcia fixa. Quado esta referêcia é a média, a dispersão idica o modo como os dados se espalham à volta do valor médio. Cosidere-se uma amostra costituída por x, x,..., x. Defie-se: a) Desvio padrão - mostra o comportameto do cojuto de desvios em relação à média. Se a dispersão é grade, os desvios dos dados em relação à média são grades e o desvio padrão será elevado. O cotrário também se verifica quado os desvios são pequeos. O desvio padrão é dado por: S i x i x. (3.5) Quado as amostras são pequeas ( < 30), utiliza-se o desvio padrão corrigido,
8 S i x i x. (3.6) Ao quadrado do desvio padrão, chama-se variâcia, S, e para amostras pequeas vem, S i x i x. (3.7) b) Desvio médio - outra forma de aalisar o cojuto de desvios em relação à média é cosiderar o módulo dos desvios. Isto coduz ao coceito de desvio médio, d, ode os desvios perdem o sial, e quato maior o valor do desvio médio, mais as observações se afastam da média da amostra. Determia-se por, d i x i x. (3.8) c) Coeficiete de variação - é um parâmetro adimesioal que mede a variabilidade da amostra. Quato maior o coeficiete de variação, maior é o desvio padrão em relação à média, isto é, mais dispersos estão os dados em toro da média. Defie-se por, S C v 00%. (3.9) x d) Variável reduzida - mede o desvio, de cada observação da amostra x, x,..., x em relação à média em uidades de desvio padrão. É, portato, uma quatidade abstracta idepedete das uidades usadas. zi xi x. (3.0) S Assim, o total de variáveis reduzidas da amostra, de i,,...,, apreseta média ula e desvio padrão igual à uidade. Isto é, z i z i 0,0. (3.) i z i z Sz,0 (3.)
9 Exemplo 3. Cosiderem-se as precipitações auais registadas a estação de Castro D Aire (Quadro..) e a respectiva distribuição de frequêcias e distribuição de frequêcias relativas (Quadro..). Calcular o desvio padrão, desvio médio, coeficiete de variação e variável reduzida. Resolução: Utilizado as equações (3.6), (3.8) e (3.9) vem, respectivamete, para o desvio padrão, desvio médio e coeficiete de variação: S i x i x (8, 67,5)... (98,7 67,5) 79 479,4 mm. d i x i x 8, 67,5... 79 98,7 67,5 38,8 mm. C v S 479,4 00 00 8,7%. x 67,5 Utilizado a equação (3.0) calculam-se as variáveis reduzidas de cada uma das observações da precipitação aual que se apresetam o Quadro 3.. O valor médio e o desvio padrão foram calculados pelas equações (3.) e (3.), respectivamete. Quadro 3.. Variáveis reduzidas da precipitação aual em Castro D Aire Ao Precipitação Zi (mm) 96/7 8, 0,9 97/8 00, -,4 98/9 093, 0,9 99/0 556,4-0, 90/ 90,6-0,8 9/ 785,4 0, 9/3 830, 0,3 93/4 50,,0 94/5 749,6 0, 95/6,6, 96/7 04, 0,7 97/8 93,7 0,5 98/9 7, -, 99/30 630,9,0 930/3 48, -0,4 93/3 46,0-0,4 93/33 334,4-0,7 933/34 30, -0,8 934/35 58,0-0, 935/36 349,6 3,3 936/37 069,0 0,8 937/38 54,0-0,9
0 Quadro 3..(Cot.) Variáveis reduzidas da precipitação aual em Castro D Aire Ao Precipitação Zi (mm) 938/39 974,0 0,6 939/40 059,6 0,8 940/4 569,6,9 94/4 50,6-0,3 94/43 664, 0,0 943/44 344,7-0,7 944/45 95,8 -,6 945/46 763,0 0, 946/47 079,3 0,8 947/48 4,7-0,5 948/49 9,8 -,6 949/50 0,0 -,0 950/5 903,9 0,5 95/5 65,0-0, 95/53 076, -, 953/54 75,7-0,8 954/55 699,5 0, 955/56 50,9,0 956/57 039, -,3 957/58 588, -0, 958/59 746, 0, 959/60 563,6,9 960/6 987,4 0,7 96/6 585,4-0, 96/63 83, 0,3 963/64 0,, 964/65 80,0 -,0 965/66 806,9,4 966/67 595,9-0, 967/68 4,9-0,5 968/69 80,0,3 969/70 496,4-0,4 970/7 567,9-0, 97/7 300,3-0,8 97/73 478, -0,4 973/74 689,7 0,0 974/75 39,6-0,9 975/76 903,5 -,6 976/77 34,0,3 977/78 4, 0,9 978/79 599,,9 979/80 45,9-0,5 980/8 44,5 -, 98/8 504, -0,4 98/83 46,8-0,5 983/84 603,3-0, 984/85 000, 0,7 985/86 578, -0, 986/87 39,9-0,6
Quadro 3.. Variáveis reduzidas da precipitação aual em Castro D Aire (Cotiuação) Ao Precipitação Zi (mm) 987/88 930, 0,5 988/89 870,9 -,7 989/90 43,0-0,5 990/9 44,0-0,5 99/9 055,4 -,3 99/93 47, -0,9 993/94 86, 0,3 994/95 98,7-0,8 Média 67,5 0,0 Desvio Padrão 479,4,0 3.3. Assimetria Assimetria é o grau de desvio, ou afastameto da simetria, de uma distribuição. Quado se trabalha com distribuições de frequêcias, a assimetria pode ser estudada cosiderado a posição relativa dos três parâmetros de localização: média, mediaa e moda. Assim, as distribuições simétricas (Figura 3.), estes três parâmetros coicidem. Nas distribuições assimétricas positivas (desviadas para a direita) (Figura 3.), média>mediaa>moda e as distribuições assimétricas egativas (desviadas para a esquerda) (Figura 3.3), média<mediaa<moda. A assimetria avalia-se pelo coeficiete de assimetria, g, sedo o valor deste coeficiete positivo os desvios para a direita e egativo os desvios para a esquerda. g i x x 3 S i 3. (3.3) Figura 3.. Distribuição simétrica (Média = Mediaa = Moda)
Figura 3.. Distribuição assimétrica positiva (Média>Mediaa>Moda). Figura 3.3. Distribuição assimétrica egativa (Média<Mediaa<Moda). Exemplo 3.3 Cosiderado as precipitações auais registadas a estação de Castro D Aire (Quadro..) calcular o coeficiete de assimetria. Resolução: Utilizado a equações (3.3) vem para o coeficiete de assimetria: 3, 67,5... 98,7 67,5 3 7979 479,4 798 g 0,7. Como a distribuição tem assimetria positiva, sigifica que x M Mod (estatísticas já determiadas o Exemplo 3.), isto é, trata-se de uma distribuição desviada para a direita. 3
3 4. Distribuições de probabilidade 4.. Variável aleatória. Chama-se variável aleatória X a toda a variável susceptível de tomar diferetes valores de x aos quais é possível afectar uma probabilidade. Chama-se processo estocástico a uma colecção ordeada de variáveis aleatórias X, X, X3,..., X e ode a sucessão croológica x,...,, x, x3 x resultate da sua observação, represeta uma úica realização do processo. Uma variável aleatória diz-se discreta se só pode tomar um úmero fiito de valores, por exemplo: o úmero de dias com chuva uma semaa, mês ou ao, ou o úmero de vezes que o caudal ultrapassou determiado valor. Uma variável aleatória diz-se cotíua se pode assumir qualquer valor detro de um determiado itervalo de úmeros reais, por exemplo: a precipitação aual, a temperatura média diária, etc., podem tomar qualquer valor detro de um certo itervalo limitado por um míimo e por um máximo. 4.. Fução de distribuição. Fução duração. Fução desidade de probabilidade. Sedo X uma variável aleatória, dá-se o ome de fução de distribuição (ou fução de distribuição de probabilidade) da variável X à fução, F( x) P X x, (4.) que represeta a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor iferior ou igual a x. Ordeado por ordem crescete uma amostra de valores duma variável aleatória, x x,..., x, a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor iferior ou igual a x i é: m F( xi ) PX xi, (4.) sedo F(x i) a fução de distribuição empírica (FDE) da variável X e m o úmero de ordem do valor a amostra. Ordeado por ordem decrescete a amostra, x x,..., x, a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor superior ou igual a x i é: m G( xi) PX xi, (4.3) sedo G(x i) a fução de duração da variável X e m o úmero de ordem do valor a amostra. Para evitar cofusões, a variável aleatória represeta-se por maiúsculas, X, e as observações (ou realizações) dessa variável por miúsculas, x.
4 Defie-se fução desidade de probabilidade f(x) de uma variável aleatória cotíua, x df f x, (4.4) dx dx dx f x P rob x - X x. (4.5) Para uma variável cotíua, P X x 0 essa probabilidade correspode a fazer dx = 0 a Equação 4.5. Facilmete se verifica que: P X xi PX xi PX xi PX xi PX xi PX x i F( xi ) G( xi ) Para variáveis aleatórias cotíuas P X x 0 x i, isto é, a probabilidade de X = x i é igual a zero pois i, logo:. (4.6) F ( x) G. (4.7) P X x No etato, para variáveis aleatórias discretas, 0 x i, logo: F ( x) G. (4.8) Exemplo 4. A precipitação aual em Évora é uma variável aleatória cotíua, X, com fução de distribuição, F(x), e fução desidade de probabilidade, f(x), dadas por, F x x f x dx, f( x) exp 03,5 x 65,8,5 03. Nas Figuras 4. e 4. mostra-se a represetação gráfica destas duas fuções. Na Figura 4., a área limitada pela curva e pelo eixo dos x é igual a. A área a tracejado, correspodete às verticais x 0 e x 400mm, represeta a probabilidade da precipitação em determiado ao ser igual ou meor que 400mm. A área a tracejado, correspodete às verticais x 800mm e x 900mm, represeta a probabilidade da precipitação tomar um valor etre 800 e 900 mm. Na Figura 4.. a altura H, correspode à probabilidade da precipitação em determiado ao ser igual ou meor que 400mm. A altura b - a, represeta a probabilidade da precipitação tomar um valor etre 800 e 900 mm.
5 Figura 4.. Fução desidade de probabilidade da variável X Figura 4.- Fução de distribuição da variável X 4.3. Distribuições teóricas Existem muitas distribuições teóricas, que servem como modelo probabilístico de variáveis ou feómeos aleatórios. Cosiderado que as variáveis hidrológicas são aleatórias, etão elas podem ser represetadas por algum tipo de distribuição teórica. Apresetam-se de seguida as distribuições teóricas mais utilizadas em hidrologia. 4.3.. Distribuições discretas a) Distribuição biomial A distribuição Biomial é o modelo probabilístico idicado para descrever o úmero de sucessos em repetidas provas de Beroulli.
6 As provas de Beroulli (ou experiêcias de Beroulli) são sucessões de experiêcias aleatórias idepedetes, ode em cada uma delas só existem dois resultados possíveis: realização de determiado acotecimeto e realização do cotrário desse acotecimeto. Cosiderado um qualquer acotecimeto, A, de probabilidade PA p, a realização de, A, diz-se sucesso e a realização do cotrário, A, que tem probabilidade PA p, diz-se isucesso. Por exemplo, a ocorrêcia de precipitação em determiado dia do futuro, só tem dois resultados possíveis: ou chove (sucesso) ou ão chove (isucesso) esse dia. Etão, a probabilidade de chover é p, e a probabilidade de ão chover, será logicamete -p. Se a variável aleatória, X, desigar o úmero de sucessos em provas, diz-se que tem distribuição Biomial e escreve-se simbolicamete probabilidade é, P! x p x! x x PX x! e a sua fução de distribuição é, x p B, p. A sua fução massa de, x 0,,...,, (4.9)! x F x p i p x! x xi x i i! xi. (4.0) Exemplo 4. Cosiderado que em determiado rio ocorre uma cheia por ao e que a probabilidade desta cheia ser catastrófica é 0%, qual é a probabilidade de ocorrêcia de 3 destas cheias os próximos 5 aos? Resolução: Neste caso, tem-se, 5 aos, x 3, p 0,, logo, pela equação (4.9) vem, 5! 3 5 3 P 3 PX 3 0, 0, 0, 85. 3! 5 3! Isto é, os próximos 5 aos a probabilidade de ocorrêcia de 3 cheias catastróficas este rio é de,85%.
7 4.3.. Distribuições cotíuas a) Distribuição ormal A mais importate e mais divulgada distribuição cotíua de probabilidade é sem dúvida a distribuição ormal. Teoricamete, a fução de distribuição da soma de variáveis aleatórias tede para a distribuição ormal quado aumeta idefiidamete, qualquer que seja a fução de distribuição de cada uma das variáveis aleatórias. Por esta razão a distribuição ormal adapta-se bem a um grade úmero de variáveis hidrológicas, omeadamete à precipitação aual e ao escoameto aual, resultates da soma de um grade úmero de variáveis aleatórias. Uma variável aleatória X com uma fução desidade de probabilidade, x ( f x) e x, (4.) diz-se que tem distribuição ormal com parâmetros e, e escreve-se simbolicamete,,. Os parâmetros e, são determiados por, i x x e i i S. x i x A sua fução de distribuição é dada por, x x F( x) e dx. (4.) Para se efectuar o estudo da distribuição ormal é ecessário passar à distribuição ormal reduzida, visto que os valores da fução desidade de probabilidade e de distribuição são dados através de tabelas em fução dos valores reduzidos. Isto cosegue-se fazedo uma mudaça de variável de modo a que a ova variável teha valor médio igual a zero e desvio padrão igual à uidade. Isto é, trasforma-se a variável X com, uma variável Z com 0,. Z é a variável reduzida, e é dada por, Z X. (4.3) Ao realizar-se esta trasformação, estadardiza-se a variável X e este caso a sua fução desidade de probabilidade é, f ( z) z e z, (4.4)
8 e a sua fução de distribuição, z z F( z) e dz. (4.5) Os valores de f(z) e F(z) são dados por tabelas em fução de z. (Ver tabelas para a distribuição ormal, apresetadas o Capítulo 8). Na Figura 4.3 apreseta-se o gráfico da fução desidade, f(z), bem como os valores das ordeadas para os respectivos valores de z e a Figura 4.4 o gráfico da fução distribuição, F(z). A altura H a Figura 4.4 é a probabilidade acumulada correspodete à área tracejada a Figura 4.3. Fig. 4.3. Fução desidade probabilidade 0, f(z) 0,5 z -3.0 f(z) 0.004 0,4 0,3 -.5 -.0 -.5 0.08 0.054 0.30 0, 0, -.0-0.5 0.0 0.4 0.35 0.399 0,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 z 0.5.0.5 0.35 0.4 0.30.0 0.054.5 0.08 3.0 0.004 Fig. 4.4. Fução de distribuição probabilidade 0, F(z),0 z -3.0 F(z) 0.003 -.5 0.006 -.0 0.08 0,5 H -.5 -.0-0.5 0.0668 0.587 0.3085 0.0 0.5000 0.5 0.695 0,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 z.0.5.0.5 0.843 0.933 0.977 0.9938 3.0 0.9987 Como se pode verificar pelas Figuras 4.3 e 4.4, a distribuição ormal é uma distribuição simétrica, isto é caracteriza-se por ter uma desidade de probabilidade simétrica em relação
9 à média, que é ao mesmo tempo mediaa e moda. Isto sigifica que a probabilidade média que a variável aleatória tem de se situar o itervalo é igual à probabilidade média, que ela tem de se situar o itervalo., Como se pode observar a Figura 4.5 e comprovar com as tabelas (Tabela 8.. e 8.. - ver Capítulo 8), a área total limitada pela curva e pelo eixo dos x é uitária (00%). Figura 4.5 - Áreas compreedidas pela curva ormal reduzida (%). 0,3%,5% 3,59% 34,3% 34,3% 3,59%,5% 0,3% -3 - - + + +3 0,3%,8% 5,87 50,00 84,3 97.7% 99,87% % % Também se pode observar que 50% da distribuição ormal correspode ao itervalo,. Isto sigifica que a probabilidade média de a variável aleatória se situar o itervalo, é igual 50% (0,3%+,5%+3,59%+34,3%). Ou, por outras palavras, a probabilidade média de a variável aleatória ser igual ou iferior ao valor médio é 50%. Também se pode observar a figura que 68,6% (34,3%+34,3%) da distribuição ormal correspodem ao itervalo, que 95,44% (3,59%+34,3%+34,3%+3,59%) correspodem ao itervalo e que 99,74% (,5%+3,59%+34,3%+34,3%+3,59%+,5%) correspodem ao itervalo 3, sigificado, obviamete, que a probabilidade média da variável aleatória aumeta à medida que o itervalo alarga. (Ver tabelas do Capítulo 8.). b) Distribuição log-ormal Uma variável aleatória tem distribuição log-ormal quado o logaritmo da variável aleatória tem distribuição ormal. Isto é, se X segue a distribuição log-ormal etão Y = l(x) segue a distribuição ormal. Se uma variável aleatória Y, tem distribuição ormal, etão a variável X, diz-se log ormal, com fução desidade de probabilidade e fução de distribuição, respectivamete:
0 f ( x) e x y y y x 0, (4.6) ode, y e y são, respectivamete a média e o desvio padrão da variável Y lx, dados por yi y i y i i y y e y Sy. A distribuição log ormal ajusta-se bem a variáveis hidrológicas resultates da multiplicação de muitas variáveis. Isto é, se X XX... X, etão Y l X lx i Yi, que para i i grade, tede para a distribuição ormal. c) Distribuição assimptótica de extremos tipo I Gumbel Também cohecida por distribuição de Gumbel, é bastate aplicada a acotecimetos máximos, por exemplo, a distribuição dos caudais máximos auais, ou a distribuição das precipitações máximas auais. Uma variável aleatória X, tem distribuição de Gumbel, com parâmetros respectiva fução desidade de probabilidade é da forma, e u, quado a xu x u e x) e f ( x, (4.7) e a fução distribuição é da forma, xu e F ( x) e 0. (4.8) Os parâmetros, e u, podem ser determiados por, 6Sx (4.9) e u x 0,577 (4.0) Utilizado a variável reduzida, y x u, vem para a fução de distribuição, y e F( x) e. (4.) No Quadro 4. apresetam-se, algumas das distribuições teóricas cotíuas de probabilidade mais utilizadas em Hidrologia.
Quadro 4. Distribuições teóricas cotíuas utilizadas em Hidrologia Distribuição Normal Log ormal F. desidade de Probabilidade Itervalo x f ( x) e x f ( x) e x y lx y y y x 0 Equações dos parâmetros x y y, Sx, y S y Pearso Tipo III Log Pearso f( x) f( x) y lx x x e y y e x lx g S x,, x Sx g y y Sy, S y, Gumbel xu xu e f ( x) e x 6S x, u x 0,577 4.3.3. Exercícios de aplicação a) Distribuição ormal Admitido que a precipitação aual em determiado local, é uma variável aleatória X, com distribuição ormal e com parâmetros 570mm e 0mm, (570;0), determiar a probabilidade de um valor de precipitação ser meor que 600 mm. Resolução: Queremos determiar F(x) que correspode a x 600mm. Para tal, devemos trasformar a variável X com (570;0) a variável reduzida Z com (0, ), isto é, devemos calcular: 600 570 z 0,5. 0 Assim, já podemos recorrer à tabela 8.. (Capítulo 8) e retirar o valor da probabilidade pretedida. Pela tabela vem para z 0, 5 uma probabilidade F ( z) 0, 5987. Isto é probabilidade de a variável X, assumir um valor x 600mm é de 59,87%.
b) Distribuição log-ormal Cosiderado que o caudal aual de determiado curso de água, é uma variável aleatória X, com distribuição log ormal, com y 5, 0646 e y 0, 58906, determiar a probabilidade de se verificar um valor de caudal iferior a 3 x 50m s. Resolução: Fazedo uma mudaça a variável, tal que Y lx, vem, y lx l50 5, 0064, dode a variável reduzida Z é, 5,0064 5,0646 z 0,09. 0,58906 Para obter o correspodete valor de F(z), utiliza-se a tabela 8..: Para z 0,09 vem, F ( z) F( z) 0,5359 0, 464. Que sigifica que a probabilidade de se verificar um valor de caudal iferior a é de 46,4%. 3 x 50m s c) Distribuição de Gumbel Os caudais máximos istatâeos auais um determiado curso de água seguem a distribuição de Gumbel, com média, 3 x e desvio padrão, 7m s 3 S 4m s. Determie a probabilidade de ocorrer um valor de caudal 3 x 300m s. Resolução: Os parâmetros, e u, podem ser determiados pelas equações (4.9) e (4.0), 6 6 4 3 x S 0,7 m s 3 u x 0,577 7 0,577 0,7 63, m s. x u 300 63, Utilizado a variável reduzida y, 37, a probabilidade pretedida, 0,7 pode ser determiada por aplicação da equação (4.), e F( x) e y e,37 e 0,748 74,8%.
3 5. Distribuições teóricas e variáveis hidrológicas 5.. Ajustameto de distribuições teóricas aos dados experimetais Quado se afirma que as variáveis hidrológicas podem ser represetadas por algum tipo cohecido de distribuição, ão quer dizer que elas sigam perfeitamete essas distribuições teóricas. Obviamete que, quado se trata de variáveis reais, existem limitações, que toram o ajuste perfeito impossível. Por exemplo, como já referido, a precipitação aual é uma variável que segue a distribuição ormal. No etato, a variável aleatória ormal, pode assumir, qualquer valor o itervalo, equato que a precipitação apeas pode assumir valores positivos ou ulos. Além disso, como se viu, a distribuição ormal é uma distribuição simétrica, equato que a distribuição de precipitação aual tede a ser assimétrica positiva. Assim, quado se dispõe de uma amostra de valores de uma determiada variável hidrológica, o objectivo é determiar qual a distribuição teórica que melhor se ajusta à distribuição empírica. Depois de ajustar uma distribuição teórica cohecida a um cojuto de variáveis hidrológicas, grade parte da iformação probabilística da amostra pode ser descrita por essa distribuição teórica e pelos respectivos parâmetros. O ajustameto de uma distribuição teórica à distribuição empírica de variáveis hidrológicas, pode ser efectuado através de testes de hipóteses estatísticos ou através do posicioameto gráfico (plottig positio). 5... Testes de hipóteses Quado se pretede saber se uma determiada variável aleatória segue uma qualquer distribuição teórica, utiliza-se um teste de hipóteses. O estabelecimeto de um teste de hipóteses segue os seguites passos: º - Formulação da hipótese a ser testada, H 0 - Hipótese ula; º - Formulação da hipótese alterativa, H ; 3º - Selecção da estatística amostral a ser utilizada; 4º - Estabelecimeto da regra de decisão, em fução de uma costate c; 5º - Selecção do ível de sigificâcia, ; 6º - Utilização da estatística amostral para determiar o valor da costate c, de modo a que, quado H 0 for verdadeira, haja uma probabilidade de se rejeitar esta hipótese; 7º - Rejeição ou ão rejeição da hipótese H 0, se a estatística amostral observada cair, respectivamete, a região de rejeição (crítica), ou a região de ão rejeição. Ao tomar uma destas duas decisões, podemos cometer dois tipos de erros: erro de primeira espécie erro que se comete quado se rejeita H 0, sedo ela verdadeira e erro de seguda espécie erro que se comete quado se aceita H 0, sedo ela falsa.
4 A probabilidade de se cometer um erro de primeira espécie, chama-se ível de sigificâcia do teste. A probabilidade de se cometer um erro de seguda espécie, chamase ível de cofiaça do teste. A região crítica (Fig. 5.) do teste é o cojuto dos valores de uma estatística que determiam a rejeição de H 0, de acordo com uma regra pré estabelecida. Figura 5.. Diferetes tipos de regiões críticas / / De um modo geral, e variam em setido cotrário. O que se costuma fazer é fixar um ível coveiete (5%, %, etc.) e procurar, detro de todas as regiões de ível, aquela que miimiza, isto é, aquela que maximiza melhor teste de ível é aquele a que correspode uma maior potêcia. a) Teste do qui-quadrado, chamada potêcia do teste. Um O teste do qui-quadrado,, é um teste de adequação do ajustameto, ode se pretede determiar se uma dada distribuição teórica é razoável face aos dados dispoíveis. Assim, as hipóteses a testar são, H 0: A fução de distribuição é F(x); H : A fução de distribuição ão é F(x). O teste do qui-quadrado, faz uma comparação etre o úmero real de observações e o úmero esperado de observações que caiem as respectivas classes, através do cálculo da estatística, c j Oj E j c, (5.) E j que assimptoticamete tem distribuição de qui-quadrado com m p graus de liberdade, sedo c o úmero de classes, p o úmero de parâmetros a estimar a partir da amostra, O j o úmero de observações a classe j, e E j o úmero de observações que seriam de esperar, a classe j, através da distribuição teórica. A decomposição da amostra em classes, deve ser tal que o efectivo teórico por classe ão seja iferior a 5, ou pode ser utilizada a fórmula de Sturges (Equação.4).
5 As classes devem ser escolhidas de modo a que a cada itervalo de classe correspoda uma probabilidade igual, (classes equiprováveis), dode E j c. A hipótese H 0 é rejeitada se c for maior que ; tabelado, para um determiado ível de sigificâcia e graus de liberdade. (Tabela 8..). b) Teste de Kolmogorov-Smirov Uma alterativa ao teste do teste, deve cosiderar-se: º F x, é o teste de Kolmogorov Smirov. Para a realização deste a fução teórica da distribuição acumulada admitida como hipótese ula, H 0; º F 0 x a fução de distribuição acumulada para os dados amostrais m ; 3º D max F ( x ) F 0( x ), a estatística utilizada; 4º Se, para um determiado ível de sigificâcia, o valor D for maior ou igual ao valor D tabelado (Tabela 8.3.), a hipótese H 0 é rejeitada. 5... Posicioameto gráfico Para avaliar o ajustameto de uma distribuição teórica à distribuição empírica dos dados amostrais pode, também, recorrer-se ao posicioameto gráfico dos dados a forma de uma distribuição cumulativa de probabilidade. Cosidere-se uma amostra x,..., probabilidade empírica F( x) PX x ou Gx PX x valores x, Fx ou Gx, x, x3 x, atribuido a estes dados amostrais, uma x, um gráfico de eixos coordeados., é possível marcar estes pares de A fução de distribuição de uma determiada distribuição teórica pode ser represetada graficamete um papel de probabilidade adequado a essa distribuição. Em tal papel, as ordeadas represetam os valores da variável X e as abcissas represetam a probabilidade de ão excedêcia F( x) PX x, a probabilidade de excedêcia Gx PX x, o período de retoro T, ou a variável reduzida Y. As escalas das ordeadas e das abcissas são feitas de tal modo, que a fução de distribuição teórica aparece represetada por uma recta. Sedo assim, se os dados amostrais, afectados da respectiva probabilidade empírica, se ajustam à recta da distribuição teórica, etão pode afirmar-se que a distribuição empírica segue a distribuição teórica cosiderada. Para afectar cada valor dos dados amostrais da respectiva probabilidade, supoha-se que se dispõe de todas as observações de uma variável aleatória. Se as observações x forem classificadas por ordem crescete, a probabilidade empírica de X tomar valores iferiores ou iguais a um determiado x i será:
6 m F( x) P X xi, (5.) ode m é o.º de ordem do valor a amostra. Se as observações x forem classificadas por ordem decrescete, a probabilidade empírica de X determiado x i será: tomar valores iguais ou superiores a um m G( x) P X xi. (5.3) Utilizado estas fórmulas, o meor valor da população teria uma probabilidade igual a zero e o maior valor uma probabilidade igual a um. No etato, a afectação de probabilidade a uma amostra é mais delicada, pois ão há a certeza de que ela coteha o meor e o maior valor da população descohecida. Das várias fórmulas existetes para afectar cada valor da amostra de uma probabilidade empírica, utilizar-se-á a de Weibull, por ser a mais geeralizada, m F( x) PX xi, (5.4) para os dados classificados por ordem crescete e m G( x) P X xi, (5.5) para os dados classificados por ordem decrescete. 6. Aálise frequecial em hidrologia Nos sistemas hidrológicos existem muitas vezes evetos extremos, tais como secas ou cheias. O valor de um acotecimeto extremo é iversamete proporcioal à sua frequêcia de ocorrêcia, isto é, um acotecimeto extremo ocorre com meos frequêcia do que um eveto moderado. O objectivo da aálise frequecial em hidrologia é relacioar a magitude dos valores extremos com a sua frequêcia de ocorrêcia, através da utilização de distribuições de probabilidade. Os resultados desta aálise podem ser usados em vários problemas de egeharia, tais como, dimesioameto de barrages, potes, estruturas de cotrolo de cheias, etc. Para efectuar a aálise frequecial pode recorrer-se ao posicioameto gráfico dos dados a forma de uma distribuição cumulativa de probabilidade ou utilizar técicas aalíticas baseadas em factores de frequêcia. Em qualquer dos casos tora-se ecessário itroduzir a oção de período de retoro. 6.. Período de retoro. Risco hidrológico O período de retoro, T, de uma variável X, defie-se como o úmero de aos que deve, em média, decorrer para que o valor dessa variável ocorra ou seja superado. O período de retoro, T, pode exprimir-se por,
7 T G x F x, (6.) ode F(x) é a probabilidade de ão excedêcia dada por F x) PX x probabilidade de excedêcia dada por Gx PX x PX x ( e G(x) é a F( x) Risco hidrológico, R, é fução do período de retoro e represeta a probabilidade de um valor x da variável aleatória X ser excedido em pelo meos uma vez em aos sucessivos. Exprime-se por, R Gx T T. (6.) 6.. Aálise frequecial por posicioameto gráfico Depois de verificado o ajustameto de uma distribuição teórica aos dados amostrais podemos cosiderar que a distribuição amostral é represetada pela distribuição teórica. Assim, para efectuar a aálise frequecial, basta retirar da recta teórica os valores da variável aleatória e as respectivas probabilidades, como veremos o Exemplo 7.. 6.3. Aálise frequecial por factores de frequêcia A aálise frequecial pode ser feita recorredo a técicas aalíticas baseadas em factores de frequêcia. Chow et al (988) propõem a seguite fórmula geral para a aálise hidrológica de frequêcias, xt x KT S, (6.3) ode, x T é o valor do acotecimeto associado a determiado período de retoro, x é a média da amostra, S é o desvio padrão e K T é o factor de frequêcia que é fução do período de retoro, T, e do tipo de distribuição de probabilidade a ser utilizada a aálise. Se a variável em aálise é logaritmos dos dados, y lx, o mesmo método pode ser utilizado, aplicado aos y T y KT Sy. (6.4) O factor de frequêcia proposto por Ve Te Chow é aplicável a muitas distribuições de probabilidade utilizadas a aálise hidrológica de frequêcias. Para uma determiada distribuição teórica, é possível determiar uma relação etre o factor de frequêcia e o correspodete período de retoro ( K T ), relação esta que pode ser expressa por tabelas ou em termos matemáticos. Para determiar o valor de x T (Equação 6.3), é etão ecessário calcular os parâmetros estatísticos para a distribuição proposta e determiar para um dado período de retoro, o factor de frequêcia. Seguidamete descreve-se a relação teórica K T, para várias distribuições de probabilidade.
8 a) Distribuição ormal O factor de frequêcia pode ser expresso por, K T xt z, (6.5) que é a mesma expressão da variável ormal reduzida Z, defiida a equação (4.3). b) Distribuição log-ormal Para a distribuição log ormal o factor de frequêcia pode ser expresso por, KT yt y, (6.6) y ode y lx. Este factor de frequêcia aplica-se à equação (6.4). c) Distribuição de Gumbel Para esta distribuição, o factor de frequêcia é determiado por, K T 6 T 0,577 ll. (6.7) T Para expressar T, em termos de K T, utiliza-se a seguite equação, T e 0,577 Kt 6 e (6.8) 7. Exemplos de Aplicação Exemplo 7.. Verificar o ajustameto das precipitações auais ocorridas a estação meteorológica de Castro D Aire (Quadro.) à distribuição ormal. Resolução: Esta verificação pode ser feita de duas maeiras: por posicioameto gráfico dos dados ou através de um teste de adequação do ajustameto. a) Posicioameto gráfico A fução de distribuição da distribuição ormal pode ser represetada graficamete o chamado papel de probabilidade ormal. Em tal papel, as ordeadas represetam os valores de x e as abcissas represetam a probabilidade F( x) PX x ou Gx PX x. As escalas das ordeadas e das abcissas são feitas de tal modo, que a fução de distribuição
9 teórica aparece represetada por uma recta. Assim, um papel de probabilidade ormal, qualquer distribuição ormal terá como gráfico uma liha recta, correspodedo a média dessa distribuição ao poto 50% e um desvio padrão para cada lado da média, aos potos 5.87% e 84.3%, respectivamete (ver Figura 4.4 e 4.5). Neste caso, a média e o desvio padrão foram determiados o Exemplo 3. e 3. e são, respectivamete, 67,5 mm e 479,4 mm. A recta da distribuição ormal teórica deseha-se o papel ormal uido os três pares de potos, ( x S;5,87%) ( x ;50%) (67,5;50%) ( x S;84,3%) (93,;5,87%) (5,9;84,3%) Esta recta correspode à distribuição ormal teórica, se os valores da amostra, afectados da respectiva probabilidade empírica, ajustarem à recta, etão pode afirmar-se que a série de precipitações auais segue a distribuição ormal. Para atribuir uma probabilidade empírica aos valores da amostra, utiliza-se a fórmula de Weibull, dada pela Equação (5.4), m F ( x) que dá a probabilidade de ão excedêcia, F(x), para os valores da amostra, ordeados de forma crescete. Quadro 7.. A recta teórica de probabilidade ormal e os valores da distribuição empírica da precipitação aual estão represetados a Figura 7., ode se pode verificar o ajustameto à recta, dode se pode afirmar que a série de precipitações em estudo tem distribuição ormal. b) Teste do qui-quadrado Para melhor ajuizar da qualidade do ajustameto da distribuição ormal à distribuição empírica de precipitações auais, utiliza-se o teste de hipótese do As hipóteses a testar são, H 0: A fução de distribuição é ormal; H : A fução de distribuição ão é ormal. O úmero de classes, c, para esta amostra é 7 (determiado o Exemplo.). Uma vez que é ecessário trabalhar com as tabelas para a distribuição ormal, utilizar-se-á a variável reduzida z. Como as classes devem ser equiprováveis vem para a probabilidade de cada classe, F ( z) 0,48. 7.
30 Quadro 7. Probabilidade de ão excedêcia, F(x), para os valores de precipitação aual em Castro Dáire. Ao Prec. (x i) Prec.ordeada (x i) i F(x) 96/7 8, 870,9,3 97/8 00, 903,5,5 98/9 093, 9,8 3 3,8 99/0 556,4 95,8 4 5,0 90/ 90,6 00, 5 6,3 9/ 785,4 039, 6 7,5 9/3 830, 055,4 7 8,8 93/4 50, 076, 8 0,0 94/5 749,6 7, 9,3 95/6,6 44,5 0,5 96/7 04, 80,0 3,8 97/8 93,7 0,0 5,0 98/9 7, 39,6 3 6,3 99/30 630,9 47, 4 7,5 930/3 48, 54,0 5 8,8 93/3 46,0 75,7 6 0,0 93/33 334,4 90,6 7,3 933/34 30, 98,7 8,5 934/35 58,0 300,3 9 3,8 935/36 349,6 30, 0 5,0 936/37 069,0 334,4 6,3 937/38 54,0 344,7 7,5 938/39 974,0 39,9 3 8,8 939/40 059,6 4,7 4 30,0 940/4 569,6 4,9 5 3,3 94/4 50,6 46,8 6 3,5 94/43 664, 43,0 7 33,8 943/44 344,7 44,0 8 35,0 944/45 95,8 45,9 9 36,3 945/46 763,0 46,0 30 37,5 946/47 079,3 478, 3 38,8 947/48 4,7 48, 3 40,0 948/49 9,8 496,4 33 4,3 949/50 0,0 504, 34 4,5 950/5 903,9 50,6 35 43,8 95/5 65,0 556,4 36 45,0 95/53 076, 567,9 37 46,3 953/54 75,7 578, 38 47,5 954/55 699,5 58,0 39 48,8 955/56 50,9 585,4 40 50,0 956/57 039, 588, 4 5,3 957/58 588, 595,9 4 5,5 958/59 746, 603,3 43 53,8
3 Quadro 7. (Cot.) Probabilidade de ão excedêcia, F(x), para os valores de precipitação aual em Castro Dáire. Ao Prec. (x i) Prec.ordeada (x i) i F(x) 959/60 563,6 65,0 44 55,0 960/6 987,4 664, 45 56,3 96/6 585,4 689,7 46 57,5 96/63 83, 699,5 47 58,8 963/64 0, 746, 48 60,0 964/65 80,0 749,6 49 6,3 965/66 806,9 763,0 50 6,5 966/67 595,9 785,4 5 63,8 967/68 4,9 86, 5 65,0 968/69 80,0 830, 53 66,3 969/70 496,4 83, 54 67,5 970/7 567,9 903,9 55 68,8 97/7 300,3 93,7 56 70,0 97/73 478, 930, 57 7,3 973/74 689,7 974,0 58 7,5 974/75 39,6 987,4 59 73,8 975/76 903,5 000, 60 75,0 976/77 34,0 04, 6 76,3 977/78 4, 059,6 6 77,5 978/79 599, 069,0 63 78,8 979/80 45,9 079,3 64 80,0 980/8 44,5 093, 65 8,3 98/8 504, 8, 66 8,5 98/83 46,8 4, 67 83,8 983/84 603,3 50, 68 85,0 984/85 000, 50,9 69 86,3 985/86 578, 0, 70 87,5 986/87 39,9,6 7 88,8 987/88 930, 80,0 7 90,0 988/89 870,9 34,0 73 9,3 989/90 43,0 563,6 74 9,5 990/9 44,0 569,6 75 93,8 99/9 055,4 599, 76 95,0 99/93 47, 630,9 77 96,3 993/94 86, 806,9 78 97,5 994/95 98,7 349,6 79 98,8
3 Figura 7.. Ajustameto da distribuição ormal aos valores de precipitação aual
33 F(z 4 )=4/7 F(z 3 )=3/7 F(z 5 )=5/7 F(z )=/7 F(z 6 )=6/7 F(z )=/7 F(z 7 )= z z z3 z4 z5 Z6 Os z i serão calculados, a partir dos valores F(z i) cohecidos, por cosulta da tabela 8... A partir de z i determiam-se facilmete os itervalos das classes, x i, sabedo que x 67,5 mm e S 479, 4 mm. Como se mostra o Quadro 7.. Quadro 7. Cálculo dos itervalos e limites das classes z i F(z i) z i xi zi S x z /7 = 0,49 -,0674 60,8 z /7 = 0,857-0,5659 40, z 3 3/7 = 0,486-0,8 586, z 4 4/7 = 0,574 0,8 758,8 z 5 5/7 = 0,743 0,5659 943,8 z 6 6/7 = 0,857,0674 84, Com estes elemetos pode costruir-se o Quadro 7.3 e calcular o c m j O j E E j j (Equação 5.). Da tabela 8.. vem, para 0, 05 e m p 7 4 graus de liberdade, 0,95;4 9,49 0,95;4 Como c 4,94 9, 49 pode-se dizer que a hipótese de ormalidade ão é rejeitada, o que vem cofirmar a aálise gráfica feita a alíea aterior. Exemplo 7.. Verificar o ajustameto das precipitações diárias máximas auais ocorridas a estação meteorológica de Castro D Aire (Quadro 7.4) à distribuição de Gumbel.
34 Quadro 7.3 Teste do qui-quadrado Limite das classes Nº de elemetos esperados em cada classe (E j) Nº de elemetos observados em cada classe (O j) O E <=60,8,857 0 0,465 60,8-40,,857 3 0,604 40, - 586,,857 7,8933 586, - 758,8,857 9 0,469 758,8-943,8,857 8 0,9566 943,8-84,,857 0,045 Resolução: >84,,857 0 0,465 TOTAL 79 79 4,94 j E j j A verificação do ajustameto irá ser realizada de duas formas: por posicioameto gráfico dos dados ou através de um teste de adequação do ajustameto. a) Posicioameto gráfico Tal como a distribuição ormal, também a distribuição de Gumbel pode ser represetada por uma recta quado desehada o papel de Gumbel. Neste papel, as ordeadas represetam os valores da variável X e as abcissas represetam a probabilidade F x) PX x variável reduzida y ( e a x u. Para o traçado da recta basta uir, por exemplo, três pares de potos x i, y i escolhidos, com x i u yi. Para tal é ecessário determiar os parâmetros e u, que como já se viu são determiados em fução da média e do desvio padrão da amostra (Equações 4.9 e 4.0). A média e o desvio padrão das precipitações diárias máximas auais em Castro D Aire, são respectivamete x 89, 6 mm e S 4, 9 mm, dode os parâmetros são, 6 4,9 9,4 mm; u 89,6 0,577 9,4 78,4 mm. Para o traçado da recta teórica, basta atribuir valores a y, obter os correspodetes valores de x e marcar estes pares de valores o papel de Gumbel. Por exemplo, y i x i u yi - 59,0 0 78,4 97,8 Com os pares 59,0;, 78,4;0 e,8; 97 deseha-se a recta da Figura 7..
35 Quadro 7.4 Precipitação diária máxima aual (mm) em Castro D Aire e probabilidade de ão excedêcia, F(x). Ao Prec. (x i) Prec.ordeada (x i) i F(x) 96/7 99,4 49,6,3 97/8 49,6 5,6,5 98/9 0,4 53,3 3 3,8 99/0 05,0 53,4 4 5,0 90/ 73,6 54,3 5 6,3 9/ 7,4 59, 6 7,5 9/3 99,6 6,3 7 8,8 93/4 79,8 64,6 8 0,0 94/5 98,6 65,6 9,3 95/6 0,0 66,5 0,5 96/7 8,0 67,3 3,8 97/8 99,3 67,4 5,0 98/9 5,6 69,7 3 6,3 99/30 0, 7,0 4 7,5 930/3 98, 7, 5 8,8 93/3 77,8 7, 6 0,0 93/33 53,4 7,4 7,3 933/34 65,6 7,4 8,5 934/35 00,8 7,6 9 3,8 935/36 05,8 73,6 0 5,0 936/37 0,6 73,6 6,3 937/38 8,6 73,8 7,5 938/39 6,4 74,5 3 8,8 939/40 7,4 74,9 4 30,0 940/4 30,8 75, 5 3,3 94/4 84,9 75, 6 3,5 94/43, 75,8 7 33,8 943/44 4,0 77,4 8 35,0 944/45 83,4 77,8 9 36,3 945/46 73,6 78,4 30 37,5 946/47 78,4 78,8 3 38,8 947/48 99,6 79, 3 40,0 948/49 64,6 79,8 33 4,3 949/50 80,4 80,4 34 4,5 950/5 78,8 8,0 35 43,8 95/5 99,0 8,6 36 45,0 95/53 90,6 83,4 37 46,3 953/54 93,0 83,6 38 47,5 954/55 7,0 83,7 39 48,8 955/56, 84,4 40 50,0 956/57 54,3 84,9 4 5,3 957/58 04,4 84,9 4 5,5
36 Quadro 7.4 (Cot.) Precipitação diária máxima aual (mm) em Castro D Aire e 0robabilidade de ão excedêcia, F(x) Ao Prec. (x i) Prec.ordeada (x i) i F(x) 958/59 88,6 86,6 43 53,8 959/60 84,9 88,5 44 55,0 960/6 86,6 88,6 45 56,3 96/6 59, 90, 46 57,5 96/63 7,6 90,6 47 58,8 963/64 8,8 9, 48 60,0 964/65 90, 9,5 49 6,3 965/66,0 93,0 50 6,5 966/67 40,6 93, 5 63,8 967/68 83,7 96,8 5 65,0 968/69 67,4 98, 53 66,3 969/70 84,4 98,6 54 67,5 970/7 66,5 99,0 55 68,8 97/7 69,7 99,3 56 70,0 97/73 96,8 99,6 57 7,3 973/74 74,9 99,6 58 7,5 974/75 9, 00,8 59 73,8 975/76 73,8 0, 60 75,0 976/77 83,6 0,6 6 76,3 977/78 5,5 0,0 6 77,5 978/79 9,3 04,4 63 78,8 979/80 75,8 05,0 64 80,0 980/8 79, 05,8 65 8,3 98/8 9,5,0 66 8,5 98/83 93,, 67 83,8 983/84 77,4 3,4 68 85,0 984/85 88,5 7,5 69 86,3 985/86 74,5 8,8 70 87,5 986/87 7, 9,3 7 88,8 987/88 7,5 0,4 7 90,0 988/89 75,, 73 9,3 989/90 7, 4,0 74 9,5 990/9 6,3 5,5 75 93,8 99/9 67,3 30,8 76 95,0 99/93 75, 40,6 77 96,3 993/94 3,4 6,4 78 97,5 994/95 53,3 99,4 79 98,8 x 89,6 89,6 S 4,9 4,9 9,4 9,4 u 78,4 78,4
37 Para atribuir uma probabilidade empírica aos valores da amostra, utiliza-se a expressão (5.4), m F ( x), que dá a probabilidade de ão excedêcia, F(x), para os valores da amostra, ordeados de forma crescete. Estes valores, apresetados o Quadro 7.4, foram marcados o papel de Gumbel (Figura 7.), ode se pode verificar o ajustameto à recta teórica, dode se pode afirmar que a série de precipitações em estudo segue a distribuição de Gumbel. b) Teste de Kolmogorov-Smirov Para melhor ajuizar da qualidade do ajustameto da distribuição de Gumbel à distribuição empírica de precipitações máximas auais, utilizar-se-á o teste de Kolmogorov Smirov, seguido os passos descritos a alíea b) do poto 5..: º Admite-se que a Fução de distribuição de Gumbel, hipótese ula, H 0; F( x) e xu e e x78,4 9,4 e é a º Cosidera-se que 0 ( m m F x) é a fução de distribuição para os valores da amostra; 79 D 0 ; 3º Calcula-se a estatística maxf x F x 4º Rejeita-se H 0, se para um ível de sigificâcia 0, 05, o valor de D for maior ou igual ao valor D tabelado (Tabela 8.3.). No Quadro 7.5 mostram-se os passos ecessários para efectuar este teste, já explicado o poto 5... Pela aálise do Quadro 7.5, pode coclui-se que a hipótese ula ão é rejeitada, uma vez maxf x F0 x 0, é iferior ao idicado a tabela 8.3. - que o 0545,36 0, 5, o 79 que vem cofirmar a aálise gráfica feita a alíea aterior. Exemplo 7.3. Relativamete às precipitações auais em Castro D Aire, apresetadas o Quadro., determiar: a precipitação associada a um período de retoro de 00 aos e o período de retoro do maior valor de precipitação. Resolução: Depois de se ter verificado (Exercício 7.) que as precipitações auais em Castro D Aire seguem a distribuição ormal é possível efectuar a aálise frequecial pretedida. Para esta a aálise pode recorrer-se ao posicioameto gráfico dos dados ou utilizar técicas aalíticas baseadas em factores de frequêcia.
38 Figura 7.. Ajustameto da distribuição de Gumbel aos valores das precipitações diárias máximas auais