Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia

Projeto TEIA DO SABER 2007 UNESP Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Física, Química, Biologia e Matemática (Eixo Temático I) Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia MATRIZES É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de elementos matemáticos chamados Matrizes. Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele as chamou de tableau ( tabela). O nome Matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ). Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2500 a.c., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas é resolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes.atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia e Computação, por exemplo. Definição: Conjunto de números, funções, etc... dispostos numa forma retangular (ou quadrada). Neste curso, só iremos usar números reais. Notação: Use [ ] ou ( ). NUNCA use, pois significa determinantes. 1

A Teia do Saber Exemplo: 1 0 3 2 3x2 B 8 2 1 3x1 C 7 0 1 3 2 0, 6 2, 7 1 0 D 3 E 5 1 A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas. A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna. A matriz C é uma matriz quadrada x, ou seja, possui linhas e colunas. A matriz D é uma matriz quadrada x, ou seja, possui linha e coluna. A matriz E é uma matriz-linha x, ou seja, possui linha e colunas. De uma forma geral, uma matriz A mxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas dimensões e sua representação genérica é a seguinte: a 11 a 12... a 1n A a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn mxn Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunas uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la: A a ij mxn ou a ij.com i 1,, m e j 1,,n m, n Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a 23 encontra-se na segunda linha e terceira coluna. Exercício 1: Dadas as matrizes: A 1 5 8 0 2 3 1 2 6 2 B 5 5 2 0 5 3 1 2 7 0 2 C 2 3 1 5 2 1 1 2 6 5 1 9 2 0 3 3 5 0 3 3 6 9 1 6 D 2 1 3 6 7 8 9 10 2 5 1 3 5 3 1 0 1 6 3 8 2 a) Determine a ordem de cada matriz acima. b) Determine os elementos c 5,c 16,c 37,d 51,d 5,a 3,a 12,b 32 e b 23. Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1). 8 Exemplo: Neste caso, B 2 1 3x1 é um matriz coluna e E 5 1 1x2 é um matriz 2

linha. 3

Matrizes Especiais Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero. Exemplo:A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3x5 Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por a ij 0 para todos i e j. Obs: Usa-se a notação A 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!! Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz. Exemplo: A 7 0 1 3 2 0, 6 2, 7 1 0.Neste exemplo a matriz A é de ordem 3. Os elementos a 11, a 22, a 33,..., a nn constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada. Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A 7 1 9 3 6 5 1 0 Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto é, a 11 a 22 a 33...a nn. O traço não está definido se a matriz A não for quadrada. n Notação: tra a 11 a 22 a 33...a nn a kk número real. Exemplo: Do exemplo acima: tra 7 3 0 10. k1. Exercício 2: Encontre o traço da matriz B 1 2 3 5 6 8 0 1 3. Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos. Exemplo:A 7 0 0 0 2 0 0 0 3 Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: a ij 0 se i j d se i j onde d R.

Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais a 1. É geralmente denotada pela letra I. Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: a ij i 1,..., n e j 1,..., n. Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2, e 5. 0 se i j 1 se i j para Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz A mxn é definida através da seguinte relação: a ij a T ji, para todo i e todo j. Exemplo.: Seja a matriz A 1 5 8 0 2 3 1 2 6 2, então sua transposta será A T 1 2 2 5 3 6 8 1 0 2. Propriedade: A T T A Exercício : Usando as matrizes do exercício 1, determine: a) Os elementos da diagonal principal da matriz D. b) O traço da matriz de D. c) B T d) C T Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação: Exemplo: A matriz A a ij a ji, isto é, A T A. 7 1 1 2 5 5 3 é simétrica, pois A A T.Verifique encontrando a matriz transposta de A, A T. 5

Propriedade: A T é simétrica. Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz A nxn seguinte relação: isto é, Exemplo: Seja a matriz A a ji 0 1 1 0 5 5 0 a T ij para i j 0 para i j A A T. é uma matriz anti-simétrica. é definida através da Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos nulos. Por quê??? Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas ou anti-simétricas ou nenhuma das duas? Por quê? A 3 1 B 3 0 C 3 0 3 5 2 0 2 1 D 0 0 1 0 0 2 1 2 0 E 0 3 6 3 0 7 6 7 0 Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior. R. Exemplo: A 7 0 0 5 2 0 8 7 Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: a ij 0 se i j d se i j onde d 6

Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior. Exemplo: B 7 3 0 2 6 0 0 Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: b ij 0 se i j d se i j onde d R. Propriedades: 1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior. Exemplo: 2 0 0 3 5 0 1 6 3 0 0 2 0 2 7 1 6 0 0 19 20 0 2 38 6 2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior. Exemplo: 2 3 1 0 2 6 0 0 5 3 5 1 0 2 3 0 0 6 7 0 18 0 0 20 Igualdade de matrizes Operações com Matrizes Duas matrizes A são iguais, se e somente se a ij b ij, elemento por elemento. Exemplo: 3 5 1 3 5 1 3 6 1 2 3 3 6 1 2 3 0 0 0 Exemplo: Se A B e A 3 x 2 5 2 3 5 2, então x 6. Exercício 6: Dadas as matrizes A 2 1 3 x 3 2 1 3 5. Qual o valor de x para que A B? 7

Exercício 7: Calcule os valores de x,y e z para que as matrizes A sejam iguais. A x 2 5x 7 8 2 y 2 1 e B 6 z 8 2 9 1 É possível que a matriz C y? Justique a sua resposta. Soma e Subtração de Matrizes x 2 5x 7 2 y 2 seja igual a matriz A para algum valor de x e de A soma de duas matrizes A só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma dimensão e é definida como c ij a ij b ij, onde C é matriz obtida da soma das matrizes A. A subtração de duas matrizes A é definida de modo análogo, onde c ij a ij b ij. Exemplo: Considere as matrizes A 2 1 0 3 1 0 2 5 2 7 6 3 5 1 2 2 0 1 3 2 5 A B e A B. Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas..calcule Propriedades: Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem. 1) (A B) C A (B C) (associativa) 2) A B B A (comutativa) 3) A 0 0 A A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição) ) A-A 0 5) A B T A T B T 6) tra B tra trb 7) Se A são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então: A B é simétrica. Exemplo: 3 5 1 5 6 2 1 2 1 2 2 2 3 5 5 7 5 7 3 7 9 3 3 3 8 Exercício 8: Dadas as matrizes A 2 3 3 5 0 1 6 1 8 9 3. Calcule A B, A B, A B T e A T B T. 8

Multiplicação por uma constante Multiplicar uma matriz por uma constante (k) implica em multiplicar todos os elementos da matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C k A será c ij k a ij para todo i e j. Exemplo: Seja a matriz A 2 1 0 3 1 0 2 5 2 7 6.Calcule 2A, 1 2 A e A. Exercício 9: Dadas as matrizes A 2 3 3 5 0 1 6 1 8 9 3. Calcule 2A 3B e 1 3 A 2B. Multiplicação de matrizes Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz, ou seja, a multiplicação A mxn. B nxp terá como resultado uma matriz C mxp. A multiplicação de matrizes é definida como sendo: A mxn B nxp C mxp Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij a ik b kj, para i 1,..., m e j 1,..., p. Exemplo: Dadas as matrizes A 1 6 5 0 8 7 Qual é a dimensão da matriz C, onde C A B? 1 3 5 8 9 7 6 5 n k1. Qual é a dimensão da matriz D, onde D B A? Então, só será possível encontrar a matriz C, que será: Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A B B A, em geral. Propriedades Sejam A matrizes de mesma ordem e um escalar. 1) A B AB 2) A A 3) A B A B ) A AA 9

5) k A T k A T, para k uma constante real. 6) Se A são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então k A é simétrica. 7) trk A k tra Multiplicação de matriz por vetor Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz. Multiplicação de vetores É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor linha por um vetor coluna, o resultado será um número. Propriedades: Sejam e dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam realizar as operações. 1) A B C A B C (associativa) 2) A B C A B A C (distributiva à esquerda) 3) A B C A C B C (distributiva à direita) ) I A A I A (I é matriz identidade e elemento neutro) 5) A AA 6) A B 0 para A 0 0 (0 é a matriz nula) Exemplo: 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 7) A 0 0A 0 8) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior. 9) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior. 10) A B T B T A T 11) Se AB AC com A 0, não implica qu C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Exemplo: Sejam A 1 2 3 6, B 3 8 2 3 e C 5 2 1 3. Verifique que AB AC, apesar d C. 12) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica. 13) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, A T A e A A T são simétricas. 10

Potenciação Se A é uma matriz quadrada, definimos: A 0 I A 1 A A 2 A A A n A A A A, com n 0 n vezes Exemplo: Seja A 2 5 1 3. Calcule A 2. Está completamente errado fazer:a 2 2 2 5 2 1 2 3 2 25 1 9 Maneira correta de realizar a potenciação: A 2 2 5 1 3 2 5 1 3 5 10 15 2 3 5 9 9 5 1 1 Propriedades Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então: 1) A r A s A rs 2) A r s A rs Exercício 10: Sejam as matrizes A 1 2 3 2 1 1, B 2 0 1 3 0 1, C 1 2 e D 2 1 Encontre: a) A B b) A C c) B C d) C D e) DA f) DB g) A h) D i) 2A 3B j)c T A T 11

Exercício 11: Sejam as matrizes A 2 1 1 0 0 2 2 0. Encontre: a) A T B T b) B T A T c) A 2 d) B 2 e) AB f) A BA B Exercícios de Fixação 1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens: A x5 B x5 C 5x2 D x2 E 5x Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê a ordem da matriz resultante. a) B A b) A C D c) A E B d) A B B e) E A B f) E A C g) E T A h) A T E D 2. Considere as matrizes: A 3 0 1 2 1 1, B 1 0 2, C 1 2 3 1 5, D 1 5 2 1 0 1 3 2, E 6 1 3 1 1 2 1 3 Calcule (quando possível) a) DE b) DE c) 5 A d)7c e) 2 B C f) E 2 D g) 3 D2E h) A A i) trd j) trd3e k) tr7 B l) tra m) 2A T C n) 1 2 CT 1 A o) DT E T ED T p) B T CC T A T A q) B 2 m) 7 2 3 5 7 n) 1 3 2 9 0 3 9 o) matriz nula p) 0 72 26 2 q) 16 6 0 12

pág 10 Ex 10. Respostas do exercícios a) 1 2 5 1 0 b) 15 c) 6 1 d) 2 1 2 8 e) 0 3 7 f) 7 0 1 g) 1 2 3 2 1 1 h) 2 1 i) 8 3 5 2 5 j) 15 pag 11 Ex 11 a) 2 0 2 b) 2 0 2 c) 1 6 2 3 d) 5 2 2 1 e) 0 0 Exercícios de fixação 1) não é possível fazer: a, c, d, g, b) x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2 2) não é possível fazer: e, L a) 7 6 5 2 1 3 7 3 7, b) 5 1 0 1 1 1 1 1 c) 15 0 5 10 5 5 d) 7 28 1 21 7 35 22 6 8 39 21 2 f) 2 6 g) 9 6 15 h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168 10 0 33 12 30 m) 7 2 3 5 7 n) 1 3 2 9 0 3 9 o) matriz nula p) 0 72 26 2 q) 16 6 0 13