Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Componente de Física 1..8 Movimento de queda, na vetical, com efeito da esistência do a apeciável É um facto que nem sempe se pode despeza o efeito da esistência do a, a qual nem sempe é pejudicial. Basta pensa num páa-quedista; se não existisse a esistência do a ele não diminuiia a sua velocidade duante a queda. Todavia, noutas situações ela pode se incómoda. Que o digam os fabicantes de automóveis sempe peocupados com fomas mais aeodinâmicas paa os seus veículos. A esistência do a ao movimento de um copo nele imeso é uma foça que não é constante. Ela depende de váios paâmetos: densidade da atmosfea no local onde é feito o movimento; coeficiente de atito ente a supefície do copo e o a que este atavessa (paâmeto que assume valoes difeentes dependendo do mateial, ou substância, de que o copo é feito; áea da supefície de contacto ente o copo e o a que atavessa; quadado da velocidade do copo em movimento. Vamos ve se conseguimos então entende o movimento de queda de um páa-quedista. F g f R a, i.e., a intensidade da foça gavítica que a Tea exece sobe o páa-quedista é maio que a intensidade da esistência que o a ofeece à passagem deste. Ele está em queda live e a velocidade vai aumentando à medida que cai até que, a pati de um ceto instante, como a esistência do a depende da velocidade do copo, estas duas foças passam a te a mesma intensidade, F g R. F g p R a, i.e., a intensidade da foça gavítica que a Tea exece sobe o páa-quedista é meno que a intensidade da esistência que o a ofeece à passagem deste, devido à abetua do páa-quedas, dado que a esistência do a depende da áea da supefície em contacto. F g R a, i.e., a intensidade das duas foças é igual pois, com a diminuição da velocidade diminui a intensidade da esistência do a. a Paulo José Santos Caiço Potugal Página 1 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Em suma: em A temos um movimento ectilíneo aceleado, mas não unifomemente aceleado dado que a velocidade não aumenta quantidades iguais em tempos iguais, i.e., a aceleação do movimento não é constante, pois apesa da foça gavítica se uma foça constante (e é uma foça consevativa) a esistência do a não o é, vai aumentando à medida que a velocidade aumenta; em B é atingida a 1ª velocidade teminal, o páa-quedista está animado de movimento ectilíneo unifome, i.e., desloca-se com velocidade constante; em C, com a abetua do páa-quedas, aumenta substancialmente a esistência do a e o copo passa a desloca-se com movimento ectilíneo etadado, mas não unifomemente etadado dado que a velocidade não diminui quantidades iguais em tempos iguais, i.e., a aceleação do movimento não é constante, uma vez que a esistência do a vai diminuindo de intensidade à medida que a velocidade diminui; em D é atingida a ª velocidade teminal, o páa-quedista está de novo animado de movimento ectilíneo unifome, i.e., vai desloca-se até ao solo com velocidade constante. O gáfico seguinte taduz a vaiação da velocidade em função do tempo, consideando que o eixo dos yy, o efeencial catesiano escolhido, está positivamente oientado de baixo paa cima. Os instantes t 1 e t mostam quando se atingem as velocidades teminais. Caacteísticas de um movimento ectilíneo unifome Uma patícula mateial desceve um movimento ectilíneo unifome elativamente a um deteminado efeencial sempe que a sua velocidade se mantenha constante em noma, diecção e sentido, ou seja, v k. Neste movimento o deslocamento sofido pela patícula mateial é diectamente x y z popocional ao intevalo de tempo coespondente, i.e., k, k, k, consoante o efeencial escolhido. Paulo José Santos Caiço Potugal Página de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física x y Então, dado que v, ou v, consoante se o efeencial escolhido fo o eixo dos xx ou dos yy (paa o eixo dos zz o aciocínio é o mesmo), podemos obte: x v x x v. ( t t ) x x v. t, consideando t e o eixo dos xx ;. + y v y y v. ( t t ) y y v. t, consideando t e o eixo dos yy.. + Assim, a lei do movimento ectilíneo unifome, lei das posições, é dada pela expessão: x x v. t, se o movimento se efectua segundo o eixo dos xx ; + y y v. t, se o movimento se efectua segundo o eixo dos yy. + Nota: x ou y é a coodenada da posição inicial da patícula, i.e., no instante inicial t é o instante final v é o valo da velocidade da patícula mateial no instante t consideado Gáficos do movimento ectilíneo unifome A patícula mateial desloca-se no sentido positivo da tajectóia. A patícula mateial desloca-se no sentido negativo da tajectóia. Estes gáficos, x f (t), são semelhantes aos gáficos y f (t) se o eixo do movimento fosse o eixo dos yy. Eles taduzem um segmento de ecta inclinado elativamente ao eixo das abcissas. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 3 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Vemos que o gáfico x f (t) taduz a velocidade da patícula mateial e quanto maio o declive da ecta obtida maio o valo absoluto da velocidade da patícula. x Esta velocidade é constante pois k e x v. Vectoialmente, não esquece que x ou seja, aqui, v. v, O valo da velocidade é positivo sempe que a patícula se desloca no sentido positivo da tajectóia e negativo quando o faz no sentido abitado como negativo. A áea de um gáfico v f (t) pemite obte o deslocamento escala efectuado pela patícula mateial e, a pati deste, o espaço pecoido num ceto intevalo de tempo. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 4 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física 1..9 Lançamento hoizontal de um pojéctil com a esistência do a despezável O pimeio a da uma explicação científica paa o movimento de um pojéctil lançado po um canhão foi Galileu Galilei. O pojéctil pode se lançado hoizontal, com um ângulo de lançamento de º, ou obliquamente, i.e., com um ângulo de lançamento ente º e 9º. Vamos apenas debuça-nos sobe o chamado lançamento hoizontal de um pojéctil. Este é então lançado com uma dada velocidade inicial, futo da acção de uma foça que actua duante um intevalo de tempo muito pequeno, ou seja, um impulso, tendo esta uma diecção hoizontal. Se não existisse nenhuma foça a actua sobe o pojéctil, este desloca-se-ia hoizontalmente com velocidade constante, confome enuncia a 1ª lei de Newton, ou seja, com movimento ectilíneo unifome. Mas existe uma foça que constantemente actua sobe o pojéctil, a foça gavítica, que actua veticalmente sempe puxando o pojéctil paa baixo. Esta é a foça que faz com que um copo, abandonado de uma dada altua elativamente ao solo, caia com aceleação constante, i.e., com movimento ectilíneo unifomemente aceleado. Vamos considea a figua abaixo, a qual mosta um esquema estoboscópico do movimento de duas esfeas, uma abandonada veticalmente de uma dada altua, e outa lançada, da mesma altua, hoizontalmente, com velocidade inicial. Em iguais instantes a posição de cada esfea elativamente ao solo é idêntica, i.e., as esfeas estão à mesma altua do solo em iguais instantes de tempo. Cada linha hoizontal, aqui mostada, dista 15 cm da seguinte e o intevalo de tempo ente duas exposições consecutivas é de 1 3 s. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 5 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Assim, um lançamento hoizontal pode se visto como uma composição de dois movimentos: um movimento ectilíneo unifome, segundo a diecção hoizontal, pois não há nenhuma foça que actua sobe o pojéctil segundo essa diecção, e um movimento ectilíneo unifomemente aceleado, segundo a diecção vetical, a diecção em que actua a única foça sobe o pojéctil, a foça gavítica, uma foça constante. Então, ecoendo às expessões da lei das posições paa estes dois tipos de movimento, e consideando a oigem do efeencial x y como o ponto de lançamento, temos: segundo o eixo dos xx, a lei das posições é dada como x v. t, pois vx v x v ; 1 segundo o eixo dos yy, a lei das posições é dada como y g t, com g 9 m s a g, uma vez que F F, aponta veticalmente paa baixo e o eixo dos yy tem g,8 /, pois a aceleação da gavidade, que é a aceleação do movimento, uma oientação consideada positiva paa cima, ou então como consideando g 9,8 m / s. y 1 g t, As equações paaméticas deste movimento, no qual a tajectóia descita pelo pojéctil é paabólica, são: x v t 1 y g t 1 y g t O vecto posição do pojéctil paa qualque instante é: 1 1 ou v t ex g t ey v t ex + g t e y As equações que pemitem calcula a velocidade do pojéctil em cada instante são: v v x y v k g t ( v g t) y Paulo José Santos Caiço Potugal Página 6 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física A velocidade do pojéctil em cada instante é, assim, dada como: v v ex + g t e y ou v v ex g t ey A figua ao lado mosta a posição, a velocidade e a aceleação de um pojéctil, consideado uma patícula mateial, lançado hoizontalmente, num ponto P da tajectóia, num instante genéico. Realça-se que a velocidade, segundo o eixo dos xx se mantém constante mas segundo o eixo dos yy aumenta em noma quantidades iguais em tempos iguais dado que a aceleação é constante e possui o mesmo sentido que a componente da velocidade segundo este eixo. 1..1 Aplicação das leis de Newton a copos que se movem num plano hoizontal Paa nos deslocamos em cima de uma supefície hoizontal é indispensável existi atito. Já todos vimos o que acontece quando um copo se tenta move sobe uma supefície gelada. Não sai da mesma posição! Poquê? Poque não existe atito. Então o que acontece quando nos queemos move? Considea a figua seguinte. Quando andamos inclinamos o pé no solo e este exece sobe ele uma foça de eacção R, a qual possui duas componentes, uma segundo um eixo vetical, a componente R n, a nossa tão bem conhecida eacção nomal da supefície sobe o copo, e outa segundo um eixo hoizontal, a componente F, aquela que é esponsável pelo nosso movimento. Repaa que estas duas componentes supacitadas têm como foças invesas as execidas sobe o solo segundo os eixos consideados. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 7 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Mas atenção! Esta componente F efeida é uma foça de atito estático. Ela só suge se o pé pude se aposto sobe o solo sem esvala. Então poque é que o atito é consideado desfavoável? O atito estático nunca é desfavoável. O que é consideado desfavoável é o atito cinético (se bem que em cetas situações ele é bem útil, olha o caso do páa-quedista!). Este opõe-se ao movimento dos copos uma vez estes entados em movimento. Considea a situação exemplificada pela figua seguinte. Este copo está a se puxado sobe o tampo hoizontal de uma mesa sob a acção de uma foça constante F. Sobe ele são também execidas a foça gavítica F g e a eacção nomal R. Existe atito cinético devido ao movimento do copo sobe a supefície da mesa, a foça F a. O que podemos dize aceca destas foças e do movimento do copo devido à sua acção? A esultante das foças que actuam segundo a vetical é nula, R F, pois são foças siméticas, possuem a mesma diecção e intensidade, mas sentidos opostos, tal que R F g, i.e., R Fg, estando aplicadas no mesmo ponto, o cento de massa do copo. A esultante das foças que actuam segundo a hoizontal não é nula, F F + Fa, tal que F + F m. a, sendo m a massa do copo e a a aceleação do seu movimento. a Como a foça F é a mais intensa, F F m. a. a O movimento é ectilíneo unifomemente vaiado (neste caso conceto é aceleado) e as leis que o egem são dadas atavés das seguintes expessões genéicas: 1 x x + v t + at v v + at + g Paulo José Santos Caiço Potugal Página 8 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Então e se a foça de atito não existisse? A esultante das foças que actuam segundo a hoizontal não seia nula, F F, tal que F m. a, sendo m a massa do copo e a a aceleação do seu movimento, tal que F m. a. O movimento é ectilíneo unifomemente aceleado com uma aceleação de maio noma que na situação anteiomente descita, aplicando-se as mesmas expessões genéicas paa a descição do movimento do copo. E se a foça de atito fosse de igual intensidade à da foça aplicada? Neste caso a esultante do sistema de foças aplicadas seia nula, F e, como tal, não existiia aceleação, pelo que a velocidade do copo seia constante e este estaia animado de movimento ectilíneo unifome, tal que: x v k x + vt 1..11 Movimento cicula unifome Vivemos numa aldeia global na qual as comunicações desempenham um papel fundamental. Um satélite geoestacionáio, como o epesentado esquematicamente na figua ao lado, é um satélite que acompanha o movimento da Tea, i.e., tem um peíodo de movimento igual ao peíodo do movimento de otação da Tea, apoximadamente 4 h. Todavia, há que salienta que só uma pate dos satélites enviados paa o espaço, ou lá colocados pelo Space Shuttle, tem esta caacteística. Se consideamos a óbita do satélite como cicula, esta é descita com velocidade constante em noma, apesa da velocidade em si não o se, pois muda em diecção. Então, como é colocado um satélite em óbita? Paulo José Santos Caiço Potugal Página 9 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física A colocação de um satélite em óbita passa po vence a foça gavítica que a Tea exece sobe ele, bem como a esistência do a ao movimento do veículo que o tanspota, um foguetão, tal que F + F + R m. a, ou seja, F F R m. a, g em cada instante, sendo F a foça execida pelos motoes, vetical e ascendente, foça gavítica que a Tea exece sobe o conjunto foguetão+satélite, do a, m a massa do conjunto foguetão+satélite e a a aceleação do foguetão. a g a F g a R a a esistência Paa minimiza a esistência do a o veículo tanspotado tem de possui foma aeodinâmica, visto que esta foça é diectamente popocional à áea da supefície de contacto. Todavia, como existe ficção do veículo com o a, dá-se um aumento significativo da enegia intena do sistema+vizinhança, o que esulta numa gande elevação da tempeatua do veículo. O foguetão é constituído po váios andaes, ou estágios, 3, sendo a caga que se que coloca em óbita tanspotada no 3º estágio. No caso de um satélite geoestacionáio, de comunicações, este é colocado a ceca de 36km da supefície teeste. Posteiomente, pequenos foguetes dão-lhe a velocidade hoizontal necessáia paa que este fique em óbita (já deves te epaado, quando assistes na televisão a um lançamento, que o veículo começa a desceve uma tajectóia cuvilínea, à medida que ganha altitude). Paulo José Santos Caiço Potugal Página 1 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Se inicialmente a massa do foguetão é muito elevada, à medida que cada estágio é ejectado, após se esgota o combustível que tanspota, a massa do foguetão vai sendo meno, o que pemite atingi uma velocidade cada vez maio até à obtenção da velocidade ceta paa que o satélite possa fica em óbita. Também à medida que a altitude vai sendo cada vez maio, a esistência do a vai diminuindo devido à diminuição da densidade da atmosfea. Uma vez em óbita, animado de uma ceta velocidade, o satélite desceve uma tajectóia cicula, apenas sujeito a uma única foça, a foça gavítica que a Tea exece sobe ele, foça essa que aponta sempe paa o cento da tajectóia, sendo po isso chamada de foça centípeta. Como não vaia a noma da velocidade este movimento é consideado unifome e dado que a tajectóia é cicula o movimento é designado de cicula unifome. Mas atenção, ao contáio do que acontece com o movimento ectilíneo unifome, aqui a velocidade não é constante, a sua diecção vaia ao longo do tempo e, consequentemente, existe aceleação. A aceleação pode então apesenta duas componentes: componente tangencial, a esponsável pela alteação da noma da velocidade; componente nomal ou centípeta, a esponsável pela alteação da diecção da velocidade. Este movimento, movimento cicula unifome, é então um movimento em que a velocidade do copo é constante em noma (não existe aceleação tangencial), mas a diecção da velocidade muda ao longo do tempo, tendo a aceleação esultante, uma aceleação centípeta, a diecção e sentido da foça esponsável, a foça centípeta, que no caso do movimento obital de um satélite, ou de um asto em tono de outo, é uma foça gavítica. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 11 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física A figua seguinte epesenta os vectoes v, velocidade do satélite, F c, foça centípeta, que aqui é a foça gavítica, a foça esponsável pelo movimento, e centípeta do satélite, i.e., a aceleação do seu movimento. a c, a aceleação A velocidade é um vecto que é sempe tangente à tajectóia, qualque que seja o ponto consideado, a aceleação, que tem a diecção e o sentido da foça esultante, a foça esponsável pelo movimento, tem diecção adial e sentido centípeto, i.e., aponta paa o cento da tajectóia, dado Fc que Fc m. ac, ou seja, ac. m Como F c k, também a c k. Como explica a tajectóia do satélite? Quanto vale a aceleação? E a foça? Podemos admiti que o movimento cicula unifome é uma sobeposição de dois movimentos: um movimento ectilíneo unifome segundo a tangente que o satélite teia devido à sua inécia, com velocidade igual à velocidade inicial; um movimento unifomemente aceleado, de aceleação paa o cento da tajectóia. a c, diigido No intevalo de tempo t, a patícula desloca-se-ia à distância d 1, dada po d1 v.. No mesmo intevalo de tempo, todavia, desloca-se-ia à distância d umo ao cento da tajectóia, uma cicunfeência, com aceleação a c, dada po 1 d ac t. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 1 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Aplicando o teoema de Pitágoas: ( + d ) + d + d + d d d d + d1 1 1 + Paa um intevalo de tempo muito pequeno, d é muito pequeno e quando compaado com.. d. Assim, d 1.. d. d é despezável 1 v... a c Temos então, ( ) Logo, v m. F c, o que dá v a c. Foi Isaac Newton quem pimeio pensou como é que um objecto podia se colocado em óbita, i.e., tansfoma-se num satélite da Tea. Idealizou um canhão que, colocado no cimo de uma montanha, como epesenta a figua ao lado, dispaava pojécteis hoizontalmente de tal modo que, quanto maio fosse a velocidade do lançamento hoizontal maio seia o alcance destes, como epesentam as tajectóias 1 e. Mas, paa a velocidade de lançamento hoizontal ceta o pojéctil, cuja tajectóia está epesentada po 3, podia desceve uma tajectóia cicula em tono da Tea, sem cai, atingindo o ponto de lançamento. Deteminação da velocidade mínima paa coloca um satélite em óbita A expeiência idealizada po Newton levou-o a considea que o pojéctil acompanhava continuamente a cuvatua da Tea, sempe sujeito à acção da foça gavítica, uma foça centípeta: Assim: M m v Fg Fc Fg Fc G m v sendo M a massa da Tea e o aio médio da Tea. M G Paulo José Santos Caiço Potugal Página 13 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Substituindo as gandezas pelos valoes espectivos temos: 4 11 5,976 1 3 v 6,673 1 v 7,9 1 m / s 6 6,371 1, i.e., 7,9km / s. Esta é a 1ª velocidade cósmica, a velocidade mínima necessáia paa coloca um satélite em óbita da Tea. Podemos aplica o aciocínio anteio paa calcula a velocidade de qualque satélite em óbita da Tea, bastando paa isso conhece a distância da óbita ao cento da Tea, ou paa a velocidade de qualque asto em óbita de outo. Sendo assim, considea a óbita da Lua em tono da Tea como sendo cicula. Vamos calcula a velocidade obital da Lua e também a noma da aceleação do seu movimento. A foça esponsável pelo movimento da Lua é a foça gavítica que a Tea exece sobe ela. Logo, sabendo que a distância Tea-Lua é ceca de 3,83 1 8 m e que a massa da Tea 4 é 5,976 1 kg, temos, paa a velocidade obital da Lua, de acodo com o aciocínio anteio: v M G v 6,673 1 11 5,976 1 3,83 1 8 4 v 3 1, 1 m / s 1, km / s Como v a c, temos a c 3 ( 1, 1 ) 3 3,83 1 8,7 1 m / s. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 14 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Velocidade angula escala Quando um copo, consideado patícula mateial, se move com movimento cicula unifome, desceve, numa tajectóia de aio, num ceto intevalo de tempo aco de compimento s, ao qual coesponde um dado ângulo deslocamento angula. t, um θ, o chamado Consideemos o aco de compimento s descito pela patícula quando se move de A paa B segundo a tajectóia cicula de aio epesentada na figua ao lado. Como s. θ, sendo θ o ângulo vaido pelo vecto posição da patícula, elativamente ao cento da tajectóia, duante o movimento de A paa B, num dado intevalo de tempo O quociente t, temos s θ. s é identificado como a velocidade escala e ao quociente θ chamamos velocidade angula escala, ω, a qual epesenta o ângulo vaido pelo vecto posição da patícula po unidade de tempo, ângulo esse que vem expesso em ad, vindo a velocidade angula escala em ad / s. Assim, v ω. é a expessão que elaciona a velocidade linea escala e a velocidade angula escala. Como v a c, temos ( ω. ) a c elaciona a aceleação centípeta e a velocidade angula, e, o que dá a c ω., a expessão que pemite F c mω. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 15 de 16
Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaidade Componente de Física Como o movimento é cicula unifome, duante uma óbita completa o ângulo vaido é π e ao intevalo de tempo coespondente a uma volta completa chamamos peíodo do movimento, T, e assim, ω π, ou ω π f, dado que o peíodo e a T fequência de um fenómeno peiódico são o inveso um do outo, designando a fequência como o númeo de vezes que o fenómeno se epete po unidade de tempo. Relação ente a velocidade obital, o peíodo do movimento e a sua fequência Como a velocidade linea escala elaciona-se com a velocidade angula escala atavés da elação v ω. e como a velocidade angula escala se elaciona com o peíodo do movimento atavés de ω π, temos então que T π v. T Se consideamos a elação ente a velocidade angula escala e a fequência do movimento, ω π f, a elação ente a velocidade linea escala e a fequência do movimento é dada atavés de v π f. Paulo José Santos Caiço Potugal Página 16 de 16