Atividades Trigonometria A trigonometria é um ramo da matemática que exerce um papel importantíssimo em vários contextos do nosso dia-a-dia. Graças a ela foi possível o homem criar desde pequenas obras à grandes e maravilhosas construções e observar fenômenos que possuem comportamentos cíclicos no qual é possível modelá-los através de funções trigonométricas, dentre vários outros fenômenos utilizados na Engenharia, Arquitetura, Aeronáutica e até mesmo na Medicina. Observe alguns exemplos de onde podemos utilizar a trigonometria de diversas formas: I. Utilizado na Engenharia para a construção de rodas gigantes II. Na medicina ao estudar o sistema de batimentos cardíacos, que são movimentos regulares de bombeamento do sangue pelas artérias. III. Na topografia Apesar de enumerarmos várias aplicações da trigonometria, você realmente sabe como ela é aplicada no dia-a-dia? Consegue identificar as características trigonométricas de cada fenômeno? Ou até mesmo consegue identificar um ciclo gráfico de uma função trigonométrica qualquer? Antes de partirmos para a aplicação precisamos conhecer e entender o que é e como a trigonometria é formada a partir de seus conceitos básicos. Para uma maior compreensão de outros exemplos que utilizam a trigonometria assista ao vídeo Discovery na escola Conceitos de Trigonometria [Discovery Channel] disponível no link: http://www.dailymotion.com/video/x10bzkz_discovery-na-escola-conceitos-de-trigonometriadiscovery-channel_school 1
Atividade 1 Comparando as relações trigonométricas Uma das grandes dúvidas é desvendar as relações trigonométricas e qual sua ligação com os ângulos no círculo trigonométrico... No círculo trigonométrico o eixo das abscissas representa os valores dos cossenos dos ângulos, o eixo das ordenadas representam os senos e a tangente do ângulo está representada por uma reta tangente ao círculo trigonométrico. Respeitando sempre o sinal em relação à origem. Ângulos no primeiro quadrante: Observe o círculo trigonométrico a seguir: 1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar a relação: 1 2 3 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: sen(1 ) sen(2 ) sen(3 ) 2
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: cos(1 ) cos(2 ) cos(3 ) 4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de < ou > para representar as relações: tg(1 ) tg(2 ) tg(3 ) 5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos? 6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no primeiro quadrante o seno de qualquer ângulo é, o cosseno é e a tangente é. Por exemplo: 30 45 60 sen(30 ) sen(45 ) sen(60 ) cos(30 ) cos(45 ) cos(60 ) tg(30 ) tg(45 ) tg(60 ) 3
Ângulos no segundo quadrante: Observe o círculo trigonométrico ao lado: 1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar a relação: 1 2 3 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: sen(1 ) sen(2 ) sen(3 ) 3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: cos(1 ) cos(2 ) cos(3 ) 4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de < ou > para representar as relações: tg(1 ) tg(2 ) tg(3 ) 5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos? 6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no segundo quadrante o seno de qualquer ângulo é, o cosseno é e a tangente é. Por exemplo: 4
120 135 150 sen(120 ) sen(135 ) sen(150 ) cos(120 ) cos(135 ) cos(150 ) tg(120 ) tg(135 ) tg(150 ) Ângulos no terceiro quadrante: Observe o círculo trigonométrico ao lado: 1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar a relação: 1 2 3 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: sen(1 ) sen(2 ) sen(3 ) 3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: cos(1 ) cos(2 ) cos(3 ) 4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de < ou > para representar as relações: tg(1 ) tg(2 ) tg(3 ) 5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos? 6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no terceiro quadrante o seno de qualquer ângulo é, o cosseno é e a tangente é. 5
Por exemplo: 180 215 240 sen(180 ) sen(215 ) sen(240 ) cos(180 ) cos(215 ) cos(240 ) tg(180 ) tg(215 ) tg(240 ) Ângulos no quarto quadrante: Observe o círculo trigonométrico a seguir: 1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar a relação: 1 2 3 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: sen(1 ) sen(2 ) sen(3 ) 3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de < ou > para representar as relações: cos(1 ) cos(2 ) cos(3 ) 4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de < ou > para representar as relações: 6
tg(1 ) tg(2 ) tg(3 ) 5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos? 6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no quarto quadrante o seno de qualquer ângulo é, o cosseno é e a tangente é. Por exemplo: 300 315 330 sen(300 ) sen(315 ) sen(330 ) cos(300 ) cos(315 ) cos(330 ) tg(300 ) tg(315 ) tg(330 ) Ângulos das abscissas e das ordenadas: Observe o círculo trigonométrico a seguir: 1) Quais são ângulos das abscissas? 2) Por que possuem este nome? 7
3) O que caracteriza um ângulo da abscissa? Dê outros exemplos. 4) Quais são ângulos das ordenadas? 5) Por que possuem este nome? 6) O que caracteriza um ângulo da ordenada? Dê outros exemplos. 7) Considerando que o círculo trigonométrico possui raio unitário, quais são os valores de: A) sen(0 ) = G) sen(180 ) = B) cos(0 ) = H) cos(180 ) = C) tg (0 ) = I) tg(180 ) = D) sen(90 ) = J) sen(270 ) = E) cos(90 ) = K) cos(270 ) = F) tg (90 ) = L) tg(270 ) = Atividade 2 O arco côngruo Todos os arcos de um círculo trigonométrico, sem exceção, possuem uma determinação principal (na primeira volta). Porém dois ou mais arcos podem possuir a mesma determinação mesmo que não possuam o mesmo comprimento, e isto ocorre porque podem possuir um número diferentes de voltas sobre o círculo trigonométrico. É preciso, então, aplicar a definição geral para representar um arco e seus respectivos côngruos. Observe: Pegaremos como exemplo o ângulo de 30 ou π 6 8
Para descobrirmos os arcos côngruos a 30 ou π no primeiro quadrante basta adicionarmos k-voltas 6 em graus ou radianos a este valor. Em graus Em radianos Arco de 30 Arco de π 6 Nº de voltas completas Arco côngruo 1 30 + (1).(360 ) = 380 2 30 + (2).(360 )=750 3 30 + (3).(360 )=1100 4 30 + (4). (360 )= 1470 k 30 + 360.k Nº de voltas completas Arco côngruo 1 π 13π + 1. 2π = 6 6 2 π 25π + 2. 2π = 6 6 3 π 37π + 3. 2π = 6 6 4 π 49π + 4. 2π = 6 6 k π 2 + 2kπ Isto significa que todos estes ângulos possuem o mesmo ponto dentro do círculo trigonométrico, ou seja, possuem o mesmo seno, cosseno, tangente e qualquer outra relação trigonométrica. 9
1) Siga os mesmos passos do exemplo anterior e encontre os arcos côngruos (em graus e em radianos) de cada ângulo a seguir e ao final represente-os no círculo trigonométrico. A) 45 B) 160 C) 3π 2 D) 5π 3 Porém, dentro de uma mesma volta um ângulo possui seus arcos côngruos em cada um dos quadrantes. Ainda pegando o 30 como exemplo: Representação no I Quadrante Representação no II Quadrante 10
Como desenvolver: Como temos o arco de 30, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das abscissas até a um ponto do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no segundo quadrante. Como calcular: Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 180 ou π, ou seja, 180-30 = 150 ou π π 6 = 5π 6 2) Podemos dizer, então, que se α é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no III Quadrante pode ser calculado por: ou Representação no III Quadrante Como desenvolver: Como temos o arco de 30, se prolongarmos a reta que define o arco no I quadrante ao longo do III quadrante até um ponto do círculo teremos seu arco côngruo no III quadrante, formando assim 11
ângulos opostos pelo vértice. Logo podemos dizer que de 180 até o ponto formado pelo encontro da reta e a circunferência temos um arco de 30. Como calcular: Basta somar o ângulo original no I quadrante a 180 ou π, ou seja, 180 + 30 = 210 ou π + π 6 = 7π 6 3) Podemos dizer, então, que se α é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no III Quadrante pode ser calculado por: ou Representação no IV Quadrante Como desenvolver: Como temos o arco de 30, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das ordenadas até a um ponto do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no quarto quadrante. Como calcular: Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 360 ou 2π, ou seja, 360-30 = 330 ou 2π π 6 = 11π 6 4) Podemos dizer, então, que se α é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no IV Quadrante pode ser calculado por: ou 5) Dados os ângulos a seguir encontre os seus respectivos côngruos(em graus e em seguida represente-os no círculo trigonométrico radianos) da primeira volta em cada um dos quadrantes : A) 15 B) 60 C) 7π 18 D) π 4 Os sinais das funções trigonométricas de um ângulo em relação aos seus côngruos Observe o círculo trigonométrico a seguir: 12
6) Agora responda, colocando o sinal de (+) ou (-): A) sen(α) = sen(π α) D) cos(α) = cos(π α) B) sen(α) = sen(π + α) E) cos(α) = cos(π + α) C) sen(α) = sen(2π α) F) cos(α) = cos(2π α) 7) Agora, em relação a tangente, podemos fazer a mesma relação? Sim Não 8) Se sim, relacione a tg(α) com as tangentes dos arcos côngruos a α na primeira volta: 9) O que podemos dizer sobre tangente de um ângulo em relação ao seus seno e cosseno? Atividade 3 Arcos côngruos nas determinações negativas Sabemos que a determinação de um círculo trigonométrico é anti-horária, na qual denominamos de sentido positivo. 13
Porém, há situações em que temos o sentido horário, denominado de sentido ou determinação negativa. Como calcular o ângulo na determinação negativa? 14
Observe que α = - 30. Isto significa que α distanciou 30 de 360 no sentido negativo, logo na primeira determinação positiva temos que α = 360-30 = 330. Este cálculo também pode ser efetuado se o ângulo estiver em radianos. Podemos concluir que 30 = 330 na primeira determinação positiva. Se um ângulo ultrapassar 360 na determinação positiva procedemos da seguinte forma: Por exemplo: - 795-795 : 360 (1 volta completa) = 2 voltas completas em sentido negativo e sobraram 75. 360-75 = 285. Isto significa que na primeira determinação positiva o ângulo 795 = 285. 1) Observando o exemplo encontre o valor de cada ângulo em sua primeira determinação principal. A) 182 E) 1540 I) 16π 5 B) 240 F) 2486 J) 2π C) 180 G) 5π 4 D) 270 H) 7π 3 K) 25π 2 L) 37π 4 Funções trigonométricas em relação aos ângulos na determinação negativa 15
2) Analise o círculo a seguir e complete as lacunas com (+) ou (-): A) sen(α) = sen( α) B) cos(α) = cos ( α) C) tg(α) = tg( α) 3) Essa relação é sempre a mesma para qualquer valor de α? Justifique. 4) Discuta em sala se há alguma aplicação de problema que devemos utilizar a determinação negativa e qual seu significado. Atividade 4 Construindo meu próprio ciclo trigonométrico Chegou a hora de você mesmo construir seu próprio ciclo trigonométrico. Ao manipularmos algo concreto podemos perceber e intender muitos outros conceitos que não percebemos ao apenas executar listas de exercícios. Material utilizado: Papel cartão, papelão ou algo similar (pode ser feito em A4, porém quanto mais rígido for o papel melhor); Régua; 16
Transferidor; Compasso; Tesoura; Barbante; Lápis. Construção: 1º Passo: Utilizando o compasso com uma abertura de 10 cm, desenhe um círculo no papel escolhido para executar o trabalho e com uma régua trace os eixos cartesianos. 2º Passo: Divida os eixos de 1 em 1 centímetro e os marque da seguinte forma: 3º Passo: Utilizando o transferidor. Marque pontos sobre a circunferência de 10 em 10 graus. 17
4º Passo: Pegue um pedaço de barbante com um pouco mais de 10 cm de comprimento e cole uma de suas pontas no centro da circunferência. Em seguida corte a sobra até que ele fique com exatamente 10 cm de comprimento (mesmo tamanho do raio da circunferência confeccionada). A ideia é que o barbante sirva como seu raio. 5º Passo: Recorte, com a tesoura, o círculo para que fique melhor de manuseá-lo e carregá-lo. A ideia é encontrar os valores aproximados dos senos e cossenos dos ângulos e definir os valores das outras funções (tangente, secante, cossecante e cotangente). Se quiser uma aproximação melhor faça o círculo trigonométrico maior e o divida em mais partes. 18
Referências: Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/ferris_wheel#/media/file:riesenrad_centro_park_oberhausen.jpg> - Acesso em: 14 out. 2015 Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/category:blood_vessels#/media/file:circulatory_system_zh.svg> - Acesso em: 14 out. 2015 Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/category:topography#/media/file:field-mapbirdie2.jpg> - Acesso em: 14 out. 2015 19