Celso Carneiro Ribeiro Introdução aos Modelos e Métodos de Otimização em Pesquisa Operacional

Celso Carneiro Ribeiro Introdução aos Modelos e Métodos de Otimização em Pesquisa Operacional Parte I Programação Linear 4

Organização Parte I: Programação linear (5 aulas) Parte II: Programação inteira (5 aulas) Parte III: Heurísticas (4 aulas) Parte IV: Programação dinâmica ( aulas) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Parte I Programação linear Origens Motivação Formulação de problemas Solução gráfica Forma canônica Geometria da PL Método Simple Dualidade Análise de sensibilidade Laboratório de programação linear Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Origens Fourier (87): método para resolver sistemas de inequações lineares considerado como o primeiro estudo de programação linear Kantorovich (939): formulação de problemas de programação linear em alocação ótima de recursos em economias centralizadas Koopmans (957): formulação de problemas de programação linear em economia Kantorovich e Koopmans receberam o prêmio Nobel de Economia em 975. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Origens von Neumann (98): relação entre teoria dos jogos e dualidade em programação linear II Guerra Mundial: formulação e solução de modelos de programação linear em problemas de planejamento de operações militares, envolvendo aprovisionamento de suprimentos, programação de manutenção e treinamento de pilotos, distribuição de navios pelas forças no Pacífico, localização de radares na costa da Inglaterra e a estratégia de caça aos U-boats no Mar Báltico Pesquisa Operacional : Operations Research Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Origens Dantzig (947): descoberta do método Simple para a solução de problemas de programação linear, coincidindo com o aparecimento dos primeiros computadores e viabilizando sua aplicação a problemas reais Hitchcock (94): problema de transporte Kachian (979): método do elipsóide (polinomial) Karmarkar (984): método de pontos interiores Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Origens Ford e Fulkerson, anos 5: fluos em redes Problema do caminho mais curto: dados um grafo (rede) e distâncias associadas a seus arcos, encontrar o caminho mais curto entre dois nós específicos (Dijkstra, Floyd, Belmann) Problema do fluo máimo: dados um grafo (rede) e capacidades associadas a seus arcos, encontrar o maior fluo que pode ser enviado de um nó a outro Problema de fluo mínimo: dados um grafo (rede), capacidades e custos associados a seus arcos e ofertas e demandas associadas a seus nós, encontrar um fluo de custo mínimo que satisfaça ofertas, demandas e restrições de capacidade Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Origens Primeira tentativa de resolver o problema do caieiro viajante (Dantzig, 954): 49 cidades (Simple cortes) Gomory, anos 6: problemas de programação linear inteira (as variáveis só podem assumir valores inteiros) Anos 6: primeiros resolvedores de programação linear Atuais resolvedores podem tratar de forma eata problemas com algumas centenas de milhares de variáveis e restrições: XPRESS, CPLEX, LINDO, EXCEL, etc. Maior TSP resolvido atualmente: 5. cidades ( processadores, 6 anos de processamento) http://www.math.princeton.edu/tsp/d5sol/ Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Bibliografia G. Dantzig, Linear programming and etensions, 963 V. Chvatal, Linear progamming, 983 M. Bazaraa, J. Jarvis e H. Sherali, Linear programming and network flows, 99 D. Bertsimas e J. Tsitsiklis, Introduction to Linear Optimization, 997 Transparências disponíveis em: http://www.inf.puc-rio.br/~celso/grupo_de_pesquisa.htm Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9

Motivação Uma empresa produz dois tipos de fósforos. Esta empresa tem um lucro de 3 ( u.m.) em cada caia de fósforos longos e de ( u.m.) em cada caia de fósforos curtos. Fósforos dos dois tipos são feitos por uma única máquina, que pode produzir 9 (.) caias de fósforos por ano. Para produzir e vender os fósforos, a empresa precisa de madeira e de caias. São necessários 3 m 3 de madeira para cada caia de fósforos longos e m 3 de madeira para cada caia de fósforos curtos. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Motivação A empresa possui 8 (.) m 3 de madeira para usar durante o próimo ano. Dispõe ainda de 7 (.) caias para fósforos longos e 6 (.) caias para fósforos curtos. A empresa deseja maimizar seus lucros com a venda de fósforos no próimo ano, sabendo que toda sua produção pode ser vendida. Como formular e resolver este problema através de um modelo matemático? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Motivação Variáveis de decisão: : número de caias (.) de fósforos longos : número de caias (.) de fósforos curtos Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Motivação Objetivo da empresa: Lucro em uma caia de fósforos longos = 3 () Lucro em caias de fósforos longos = 3 () Lucro em caias de fósforos curtos = () Lucro total a ser maimizado = 3 função objetivo A função objetivo sozinha define a programação da produção? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Motivação Restrições: Capacidade máima anual de produção da máquina: 9 (.) Quantidade de madeira disponível: 3 8 (.) Número máimo de caias disponíveis: 7 (.) 6 Não-negatividade: e (.) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Motivação Problema de programação linear: maimizar 3 sujeito a : 3, 7 6 9 8 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5 Programação linear: todas as relações entre variáveis são lineares (função objetivo e restrições) restrição () restrição () restrição (3) restrição (4)

Motivação Como representar no plano uma desigualdade? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Motivação Como representar no plano uma desigualdade? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Motivação Como representar no plano uma igualdade? = Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Motivação Como representar no plano uma desigualdade? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9

Motivação Como representar no plano uma desigualdade? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Motivação Como resolver aquele problema de programação linear? Resolver: determinar os valores ótimos das variáveis de decisão Solução gráfica: método mais simples para problemas com duas variáveis apenas Representar e tratar o problema no plano Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Motivação Restrições de não-negatividade: Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Motivação Não-negatividade e restrições () a (4): região viável maimizar 3 sujeito a : 3 A restrição (3) é desnecessária ou redundante., 7 6 9 8 restrição () restrição () restrição (3) restrição (4) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Motivação Maimização da função objetivo: maimizar 3 normal=(3,) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Motivação Maimização da função objetivo: 3 =,5 3 = 3 = = = (máimo) maimizar 4,5 3 = = (mínimo) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Motivação Visualização do modelo em três dimensões: z = 3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Motivação Etensão do modelo com uma restrição adicional: devido a restrições contratuais, a empresa deve fornecer um mínimo de 5 (.) caias de fósforos no próimo ano. 5 (.) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Motivação Novo modelo de programação linear: maimizar sujeito a : 3, 7 6 9 5 3 8 restrição () restrição () restrição (3) restrição (4) restrição (5) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Motivação Nova região viável: maimizar sujeito a : 3 3, 7 6 9 5 8 restrição () restrição () restrição (3) restrição (4) restrição (5) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9

Formulação de problemas Princípios básicos da programação linear: Proporcionalidade: se o valor de uma variável é multiplicado por uma constante, sua contribuição para a função objetivo e para cada restrição também é multiplicada por esta mesma constante. Aditividade: o custo total é a soma dos custos individuais, assim como o valor total de uma restrição é a soma dos valores individuais de cada atividade. Divisibilidade: o valor de cada variável pode assumir qualquer valor fracionário. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Formulação de problemas (I) Problema das ligas metálicas: Uma metalúrgica deseja maimizar sua receita bruta. A tabela a seguir ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação, assim como a disponibilidade de cada matéria prima (em toneladas) e os preços de venda por tonelada de cada liga. Qual deve ser a quantidade produzida de cada liga? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Formulação de problemas Liga Liga Disponibilidade Cobre,5, 6 ton. Zinco,5,3 ton. Chumbo,5,5 5 ton. Preço 3. 5. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Formulação de problemas Variáveis de decisão: : quantidade produzida da liga (em toneladas) : quantidade produzida da liga (em toneladas) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 33

Formulação de problemas Função objetivo: maimizar 3. 5. Disponibilidade das matérias primas:,5, 6 cobre,5,3 zinco,5,5 5 chumbo Todas as quantidades produzidas são não-negativas:, Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 34

Formulação de problemas (II) Problema da dieta: Este problema tem diversas versões, aborda-se aqui a mais simples. Suponha que uma dieta alimentar está restrita a leite desnatado, carne magra, peie e salada verde. Os requisitos nutricionais são epressos em quantidades mínimas (em miligramas) das vitaminas A, C e D. A tabela a seguir resume a quantidade disponível de cada vitamina em cada alimento, a necessidade diária de cada vitamina e o custo de cada alimento. Determine uma dieta de custo mínimo que satisfaça as necessidades alimentares. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 35

Formulação de problemas Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peie (kg) Salada (g) Requisito mínimo A mg mg mg mg mg C 5 mg mg mg 3 mg 7 mg D 8 mg 7 mg mg 8 mg 5 mg Custo 4,5 (slide 78) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 36

Variáveis de decisão: Formulação de problemas i : quantidade ingerida do alimento i {l, c, p, s} Função objetivo: minimizar l 4 c,5 p s Restrições: l c p s 5 l c p 3 s 7 8 l 7 c p 8 s 5 l, c, p, s Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 37

Formulação de problemas (III) Problema de capitalização de investimentos: Um projeto de construção estadual eige recursos financeiros ao longo dos próimos quatro anos de milhões, 4 milhões, 8 milhões e 5 milhões, respectivamente. Assumese que todos os recursos são necessários e recebidos no início do ano. A administração estadual decide vender bônus para cobrir as demandas anuais de recursos. Todos estes bônus serão resgatados numa certa data futura distante, independentemente da data de sua emissão. As taas anuais de juros projetadas para os próimos quatro anos são 7%, 6%, 6,5% e 7,5%, respectivamente. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 38

Formulação de problemas O pagamento dos juros começa um ano após o fim do projeto e continua ao longo de anos, quando os bônus são resgatados. Durante este período, as taas de juros a curto prazo (o que a administração pode receber sobre depósitos) são estimadas em 6%, 5,5% e 4,5% (a administração não pretende investir em depósitos de curto prazo ao longo do quarto ano). Qual deve ser a estratégia ótima da administração para vender bônus e fazer depósitos de curto prazo para poder completar seu projeto de construção? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 39

Formulação de problemas Variáveis de decisão: i : valor dos bônus vendidos no início do ano i=,...,4 Quando bônus são vendidos, uma parte dos recursos apurados são aplicados em depósitos de curto prazo para serem usados nos anos seguintes, enquanto o restante é usado no projeto de construção. y i : valor aplicado em depósito de curto prazo no início do ano i=,...,3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Formulação de problemas Restrições: A diferença entre o valor apurado com a venda de bônus no ano e o valor aplicado em depósito de curto pazo neste ano deve ser suficiente para cobrir os recursos necessários para o projeto neste ano: y Esta restrição é equivalente à igualdade y =, já que sobras de recursos serão sempre aplicadas em depósitos de curto prazo. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Formulação de problemas Considera-se agora o início do segundo ano. Além dos bônus vendidos e dos depósitos de curto prazo efetuados, deve-se considerar o resgate e os juros do depósito de curto prazo efetuado no ano :,6y y = 4 Nos anos seguintes:,55y 3 y 3 = 8,45y 3 4 = 5 Restrições de não-negatividade:,, 3, 4, y, y Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Formulação de problemas Objetivo da administração: desconsiderando-se a taa de inflação a cada ano, minimizar o valor total pago de juros ao longo dos anos subseqüentes a cada venda de bônus Juros dos bônus vendidos no ano :,7 Juros dos bônus vendidos no ano :,6 Juros dos bônus vendidos no ano 3:,65 3 Juros dos bônus vendidos no ano 4:,75 4 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 43

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 44 Formulação de problemas Modelo de programação linear completo:,,,,,, 5,45 8,55 4,6 (,75) (,65) (,6) (,7) 3 4 3 4 3 3 3 4 3 = = = = y y y y y y y y y sujeito a : minimizar

Formulação de problemas (IV) Problema de planejamento da produção: Uma empresa fabrica n produtos usando m matérias primas. Seja b i a quantidade disponível da matéria prima i=,...,m. Cada unidade do produto j=,...,n requer a ij unidades da matéria prima i=,...,m para sua produção e resulta em um lucro c j por unidade produzida. Qual deve ser a quantidade produzida de cada produto de forma a maimizar o lucro da empresa? Variáveis de decisão: j : quantidade produzida do produto j=,,n Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 45

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 46 Formulação de problemas Modelo:,...,,............... n m n mn m n n n n n n b a a b a a b a a c c c m a a a sujeito a : maimizar

Formulação de problemas (V) Problema de transporte: Uma empresa produz um determinado produto em m fábricas distintas e afastadas, para atender a demanda de n cidades diferentes. A capacidade de produção da fábrica i é no máimo igual a a i, i=,...,m. A demanda da cidade j é igual a b j, j=,..,n. Sabendo-se que o custo de envio de uma unidade do produto da fábrica i para a cidade j é igual a c ij, determinar a quantidade que deve ser enviada de cada fábrica para cada cidade, de modo a minimizar os custos de transporte desta empresa. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 47

Formulação de problemas a c b a b a m m c mn n b n Variáveis de decisão: ij : quantidade enviada da fábrica i para a cidade j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 48

Formulação de problemas Modelo: minimizar sujeito a :......... m n ij m n c............... c n mn m mn = = a b a b n n m n... c m... c i =,..., m; j =,..., n m mn mn Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 49

Formulação de problemas (VI) Problema de planejamento de capacidade: Um estado deseja fazer seu planejamento de capacidade instalada. A previsão de demanda de capacidade é igual a d t MW para cada ano t=,...,t. A capacidade eistente em usinas a óleo e que estará disponível em cada ano t=,...,t é igual a e t. Há duas alternativas possíveis para a epansão de capacidade: usinas nucleares e usinas a carvão. Há um custo de capital igual a c t por MW de usinas a carvão que tornam-se disponíveis no ano t. O custo de capital correspondente para usinas nucleares é n t. A capacidade Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Formulação de problemas em usinas nucleares não pode ser superior a % da capacidade total instalada. Usinas a carvão têm vida útil de anos, enquanto usinas nucleares têm vida útl de 5 anos. Deseja-se planejar a epansão de custo mínimo. Variáveis de decisão: t : capacidade instalada em usinas a carvão disponibilizada no início do ano t y t : capacidade instalada em usinas nucleares disponibilizada no início do ano t Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Formulação de problemas Função objetivo: custo da epansão de capacidade: minimizar T t= Capacidade instalada em usinas a carvão disponibilizada no t início do ano t=,...,t: w t = s Capacidade instalada em usinas nucleares disponibilizada no início do ano t=,,t: t z t = y s Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5 ( c t t n t y t ) s= ma{, t 9} s= ma{, t 4}

Formulação de problemas Atendimento à demanda no ano t=,...,t: w t z t e t d t Fração da capacidade instalada em nucleares no ano t=,...,t: zt, w z e t t t,8z,w,e t t t Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 53

Formulação de problemas Modelo: minimizar w z t w,8z t t t, y t= ( c s s= ma{, t 9} s s= ma{, t 4} t t z t,w t t d T t y t t = = e t,e Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 54 t n t t y t ) t =,...,T t =,...,T t =,...,T t =,...,T t =,...,T

Formulação de problemas (VII) Problema de plantio: Uma cooperativa agrícola opera três fazendas. A produção total de cada fazenda depende da área disponível para o plantio e da água para irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção e vai plantar este ano três culturas em cada fazenda: milho, arroz e feijão. Cada cultura demanda uma certa quantidade de água. São estabelecidos limites de área plantada para cada cultura. Para evitar concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada fazenda. Determinar a área plantada de cada cultura em cada fazenda de modo a otimizar o lucro da cooperativa. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 55

Formulação de problemas Fazenda 3 Área (acres) 4 65 35 Água (litros).8. 95 Cultura Área má. (acres) Agua (litros por acre) Lucro (por acre) Milho 66 5,5 5. Arroz 88 4 4. Feijão 4 3,5.8 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 56

Variáveis de decisão: Formulação de problemas ij : área da fazenda i=,,3 destinada ao plantio da cultura j {m, a, f} Função objetivo: maimizar 5. ( m m 3m ) 4. ( a a 3a ).8 ( f f 3f ) Restrições de não-negatividade: im, ia, if, i=,,3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 57

Formulação de problemas Restrições associadas à área de cultivo: m a f 4 m a f 65 3m 3a 3f 35 Restrições associadas ao consumo de água: 5,5 m 4 a 3,5 f.8 5,5 m 4 a 3,5 f. 5,5 3m 4 3a 3,5 3f 95 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 58

Formulação de problemas Restrições associadas ao plantio por cultura: m m 3m 66 a a 3a 88 f f 3f 4 Restrições associadas à proporção de área cultivada: ( m a if )/4 = ( m a f )/65 ( m a f )/65 = ( 3m 3a 3f )/35 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 59

Formulação de problemas (VIII) Problema da mistura de petróleos: Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma planilha de custos diferentes, epressando condições de transporte e preços na origem. Cada tipo de petróleo representa uma configuração diferente de subprodutos para a gasolina. Na medida em que cada tipo de petróleo é utilizado na mistura para produção de gasolina, é possível programar a octanagem e outros requisitos de cada tipo de gasolina produzida. Estes requisitos definem o tipo de gasolina obtida. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Formulação de problemas Supondo-se que a refinaria utiliza quatro tipos de petróleo e deseja produzir três tipos de gasolina (amarela, azul e super), programar a mistura dos tipos de petróleo de modo a maimizar o lucro obtido (diferença entre as vendas e o custo de petróleo). Variáveis de decisão: ij : quantidade de barris de petróleo do tipo j=,,3,4 destinados à produção de gasolina do tipo i=,,3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Formulação de problemas Petróleo 3 4 Disponibilidade (barris/dia) 3.5. 4..8 Custo (barril/dia) 9 4 7 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Formulação de problemas Gasolina Super () Azul () Amarela (3) Especificações Não mais que 3% do petróleo () Não menos que 4% do petróleo () Não mais que 5% do petróleo (3) Não mais que 3% do petróleo () Não menos que % do petróleo () Não mais que 7% do petróleo () Preço (por barril) 35 8 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 63

Função objetivo: Formulação de problemas maimizar 35 ( 3 4 ) 8 ( 3 4 ) ( 3 3 33 34 ) 9 ( 3 ) 4 ( 3 ) ( 3 3 33 ) 7 ( 4 4 34 ) Restrições associadas à quantidade de petróleo disponível: 3 3.5 3. 3 3 33 4. 4 4 34.8 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 64

Formulação de problemas Restrições associadas às especificações da mistura:.3 ( 3 4 ) gasolina super.4 ( 3 4 ) 3.5 ( 3 4 ).3 ( 3 4 ) gasolina azul. ( 3 4 ) 3.7 ( 3 3 33 34 ) gasolina amarela Restrições de não-negatividade: ij, i=,,3; j=,,3,4 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 65

Formulação de problemas O que muda na formulação do problema anterior se a obtenção de gasolina não tratar-se simplesmente de uma mistura, mas que ainda eista um fator tecnológico a ij que indique o número de barris de gasolina do tipo i=,,3 obtidos a partir de cada barril de petróleo do tipo j=,,3,4 utilizado na mistura? Função objetivo: maimizar 35 (a a a 3 3 a 4 4 ) 8 (a a a 3 3 a 4 4 ) (a 3 3 a 3 3 a 33 33 a 34 34 ) 9 ( 3 ) 4 ( 3 ) ( 3 3 33 ) 7 ( 4 4 34 ) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 66

Formulação de problemas (IX) Problema de corte linear: Uma fábrica necessita cortar uma fita de aço de cm de largura em tiras de,4 cm, 3,4 cm e 4,5 cm de largura. As necessidades globais de tiras de cada comprimento são as seguintes: Tipo 3 Largura (cm),4 3,4 4,5 Demanda (m) 5 45 8 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 67

Formulação de problemas Formule um modelo que permita otimizar o consumo da fita a ser cortada, minimizando a perda de material. Padrão 3 4 5 6 7 Tiras 5 3 3 Tiras 3 Tiras 3,7 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 68 Perda (cm),4,3,4,6,8

Eemplo: Padrão 5 Formulação de problemas 4,5cm 4,5cm,4cm (3) (3) () Perda =,6cm Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 69

Formulação de problemas Variáveis de decisão: i : comprimento cortado segundo o padrão i=,...,7 Restrições de demanda por tipo de fita: 5 3 3 3 4 5 5 tipo 4 3 6 7 45 tipo 3 5 7 8 tipo 3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Formulação de problemas Função objetivo: perdas por sobras perdas por fitas desnecessárias minimizar,4,3 3,4 4,6 5,8 6,7 7,4 (5 3 3 3 4 5-5) 3,4 ( 4 3 6 7-45) 4,5 ( 3 5 7-8) ou comprimento total cortado minimizar 3 4 5 6 7 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Formulação de problemas (X) Problema de escalonamento de horários: Um hospital deseja planejar os horários das enfermeiras de seu turno da noite. A demanda por enfermeiras no turno da noite no dia j=,...,7 da semana é um número inteiro d j. Cada enfermeira trabalha cinco dias consecutivos e descansa nos dois dias seguintes. O objetivo consiste em minimizar o número de enfermeiras contratadas. Variáveis de decisão: j : número de enfermeiras que começam seu horário no dia j=,...,7 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 73 Formulação de problemas Modelo:,,,,,, 7 6 5 4 3 7 7 6 5 4 3 6 6 5 4 3 5 5 4 3 4 7 4 3 3 7 6 3 7 6 5 7 6 5 4 7 6 5 4 3 d d d d d d d sujeito a : minimizar inteiros 7 6 5 4 3,,,,,, Problema de programação linear inteira: seu valor ótimo é superior ao do problema linear associado, pois contém restrições adicionais (todas as variáveis devem assumir valores inteiros). O número de enfermeiras nunca pode ser fracionário!

Formulação de problemas (XI) Problema da mochila: Um viajante dispõe de n itens que deve selecionar para colocar em uma mochila que está sendo preparada para uma viagem. O peso do item j é igual a j e o lucro obtido caso ele seja selecionado e colocado na mochila é igual a c j, para j=,,n. Quais itens devem ser selecionados, sabendo-se que o peso máimo que o viajante pode carregar na mochila é igual a b? Variáveis de decisão: j : quantidade selecionada do item j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 74

Formulação de problemas Caso (): os itens podem ser fracionados e não há limite n na quantidade selecionada Problema de programação linear Solução trivial? maimizar sujeito a : =,..., n Selecionar o item j* cuja razão c j /a j é máima e fazer j* =b/a j*, j = para os demais. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 75 j, j= n j= j a c j j j j b

Formulação de problemas Caso (): os itens podem ser fracionados e no máimo uma unidade de cada item pode ser selecionada Problema de programação linear Solução trivial? maimizar sujeito a : =,..., n Ordenar os itens pela razão c j /a j e fazer j = enquanto couber, fracionar o objeto seguinte e fazer j = para os demais. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 76 j, n j= n j= a c j j j j j b

Formulação de problemas Eemplo: maimizar 6 sujeito a : j, 8 4 3 j =,,3,4 3 4 4 4 Maior razão: c /a = 6/= 6 = Segunda maior razão: c /a = 8/ = 4 = Terceira maior razão: c 3 /a 3 = 4/ = 3 =,5 4 = Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 77

Formulação de problemas Caso (3): os itens não podem ser fracionados e no máimo uma unidade de cada item pode ser selecionada Problema de programação inteira Solução trivial? Não!!! maimizar sujeito a : j n j= n j= a c b {, }, j =,..., n j j j j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 78

Formulação de problemas Eemplo: maimizar sujeito a : 3 {, }, j =,,3 Maior razão: c /a = /3 = 4 = = 3 = Esta solução é ótima? j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 79 7 6 Não, o problema de programação inteira é mais difícil!!! (lucro = ) Solução ótima: =, =, 3 = (lucro = 3) 3 3 4

minimizar 6 8 Solução gráfica 5 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Solução gráfica A normal c=(c,c ) da função objetivo sempre aponta para a direção de crescimento da função. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8 Solução gráfica, 8 6 3 minimizar A normal c=(c,c ) da função objetivo sempre aponta para a direção de crescimento da função.

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 83 Solução gráfica, 3 3 minimizar A normal c=(c,c ) da função objetivo sempre aponta para a direção de crescimento da função.

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 84 Solução gráfica,, 3 3 3 minimizar A normal c=(c,c,c 3 ) da função objetivo sempre aponta para a direção de crescimento da função.

Solução gráfica Em todos os eemplos anteriores, a região viável era limitada e a solução ótima era única: correspondia a um ponto etremo da região viável e seu valor era finito. Será que isto ocorre sempre? Não!!! Outras situações possíveis: Problemas com múltiplas soluções ótimas Problemas com solução ilimitada Problemas inviáveis Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 85

Solução gráfica minimizar c, c c=(,): solução ótima única (,) c=(,): conjunto limitado com múltiplas soluções ótimas c=(,): conjunto ilimitado com múltiplas soluções ótimas c=(-,-): solução ótima ilimitada restrição adicional -: problema inviável A normal c=(c,c ) aponta para a direção de crescimento Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 86

Solução gráfica Solução ótima finita única: Região viável limitada Região viável não-limitada Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 87

Solução gráfica Soluções ótimas finitas alternativas: Região viável limitada Região viável não-limitada Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 88

Solução gráfica Valor ótimo ilimitado: Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 89

Solução gráfica Em três dimensões: Generalização: método Simple Visitar os vértices do politopo que representa a região viável até chegar a um vértice ótimo Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9 Forma canônica de um PPL,...,,............... = = = n m n mn m n n n n n n b a a b a a b a a c c c m a a a sujeito a : minimizar

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9 Forma canônica de um PPL Variáveis: Dados:........................ ),...,, = = = m m n m mn m m n n n n b b b b a a a a a a a a a A c c c c (... = n n Modelo: sujeito a : minimizar.. = b A c

Forma canônica de um PPL Variáveis irrestritas ou livres: qualquer número real pode ser escrito com a diferença entre dois números positivos Transformar a variável em: irrestrita em sinal j j = j j j j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 93

Forma canônica de um PPL Eliminação de desigualdades: dada uma desigualdade do tipo n i, transformá-la em: j = aij j b n a s = j = Eliminação de desigualdades: dada uma desigualdade do tipo n, transformá-la em: j = aij j bi n a s = j = si Em ambos os casos, é chamada de variável de folga. s i ij ij j j i i b b i i Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 94

Forma canônica de um PPL Uma igualdade pode ser transformada em duas desigualdades: n j = a = ij j b i é equivalente a n j = aij j n j = aij j b i b i ou ainda a n j = aij j n a j = ( ij ) b j i b i Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 95

Forma canônica de um PPL Um problema de minimização é equivalente a um de maimização: f() f(*) * Então: min f() = ma { f()} -f(*) -f() Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 96

Forma canônica de um PPL Valores absolutos na função objetivo (custos positivos): c j n j = minimizar sujeito a : A. c j b j Por definição, j é o menor número positivo z j tal que j z j e j z j. Então, o n minimizar c z j = j j problema acima equivale a: sujeito a : A. b =,..., n Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 97 j j z j z j j j =,..., n

Forma canônica de um PPL Valores absolutos na função objetivo (custos positivos): c j n j = minimizar sujeito a : A. c j b j Alternativamente, inicialmente substituir a variável irrestrita por: j j = j j j j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 98

Forma canônica de um PPL A idéia é garantir que j = j ou j = j, dependendo do valor de ser positivo ou negativo. j Em seguida, substituir por j. j j Então, alternativamente o problema anterior equivale a: Isto porque em uma solução viável ótima necessariamente pelo menos uma das componentes j ou será nula. j minimizar sujeito a : =,..., n Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 99 j, j A. n j= j c j ( j A. j b )

Forma canônica de um PPL Qualquer problema de programação linear, envolvendo igualdades ou desigualdades variáveis restritas ou irrestritas em sinal minimização ou maimização valores absolutos funções lineares por partes pode ser reformulado e colocado na forma canônica. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Um poliedro é um conjunto que pode ser descrito da forma { R n : A. b}, onde A é uma matri mn e b é um vetor m. O conjunto das soluções viáveis de um PPL pode ser descrito por restrições da forma A. b e portanto é um poliedro (mesmo na forma canônica A.=b e ). Seja a um vetor n não-nulo. Então, O conjunto { R n : a.=b} éum hiperplano. O conjunto { R n : a. b} é um semi-espaço. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Eemplo: hiperplano em R = normal (,) < > Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Eemplo: semi-espaço em R equivalente a - - - Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Geometria da PL Um conjunto S é conveo se para qualquer par de elementos,y S e qualquer λ [,], então λ.(- λ).y S. Não-conveo Conveo y y Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Geometria da PL A região viável de um problema de programação linear é um conjunto conveo. a.=b a.=b a.<b a a.>b a.=b a4.=b 4 a 3.=b 3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Geometria da PL Dados os vetores,,..., k R n e números escalares não-negativos satisfazendo λ λ... λ k =, diz-se que o vetor λ. λ.... λ k. k é uma combinação linear convea de,,..., k. A envoltória convea dos vetores,,..., k é o conjunto formado por todas suas combinações conveas: Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6 3

Geometria da PL Um vetor P é um ponto etremo do poliedro P se não eistem dois vetores y,z P diferentes de tais que seja uma combinação linear de y e z. 3 w P 4 w não é ponto etremo Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7

Geometria da PL O conjunto das soluções viáveis de um PPL corresponde à envoltória convea de seus pontos etremos: a.=b a4.=b 4 a.=b 3 4 a 3.=b 3 Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Geometria da PL Um vetor P é um vértice do poliedro P se eiste um vetor c de dimensão n tal que c. < c.y para qualquer y P diferente de. 3 w P w não é vértice, pois qualquer é vértice, hiperplano pois eiste um hiperplano passando passando por w intercepta por que o poliedro não intercepta em outros o poliedro 4 em pontos. outros pontos. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9

Geometria da PL vértice Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS Geometria da PL Seja um poliedro P R n associado a um problema de programação linear definido em termos de restrições lineares de igualdade e de desigualdade: Os conjuntos M, M e M 3 são conjuntos finitos de índices. 3,.,.,. M i b a M i b a M i b a i i i i i i =

Geometria da PL Se um vetor (isto é, uma solução do PPL) * satisfaz a i.* = b i para algum i em M, M ou M 3, diz-se então que a restrição correspondente está ativa em *. Seja * R n e I = {i M M M 3 : a i.* = b i } o conjunto de restrições ativas em *. Então: Há n vetores independentes no conjunto {a i : i I} (isto é, há n restrições linearmente independentes ativas em *). Qualquer vetor de R n pode ser epresso como combinação linear dos vetores em {a i : i I}. O sistema de equações a i.=b i, i I, tem solução única. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Diz-se que os vetores,,..., k de R n são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido como uma combinação linear dos demais, isto é: λ. λ.... λ k. k = λ = λ =... = λ k = Definição algébrica de ponto etremo: é uma solução viável do problema na qual há n restrições ativas linearmente independentes. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Geometria da PL Sejam um poliedro P definido por restrições lineares de igualdade e de desigualdade e * R n : (a) O vetor * é uma solução básica se todas as restrições de igualdade estão ativas e se há n restrições linearmente independentes ativas em *. (b) Se * é uma solução básica que satisfaz todas as restrições, então diz-se que * é uma solução básica viável. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Geometria da PL A, B e C: soluções básicas viáveis 3 A P={(,, 3 ): 3 =,,, 3 } E D Há 3 restrições ativas nos pontos A, B, C e D. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5 P B C Há apenas restrições ativas no ponto (viável) E.

Geometria da PL B A D C E P A, B, C, D, E e F são soluções básicas (duas restrições ativas linearmente independentes em cada). F C, D, E e F são soluções básicas viáveis (satisfazem todas as restrições). Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7 Geometria da PL, 5 6 7 8 3 9 3 sujeito a : maimizar

Geometria da PL Sejam um poliedro P não-vazio e * P. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: * é um vértice. * é um ponto etremo. * é uma solução básica viável. Dado um número finito m de desigualdades lineares, pode haver apenas um número finito de soluções básicas viáveis. m desigualdades lineares, n restrições ativas em qualquer solução básica: número de soluções básicas é limitado pelo número de maneiras que se pode escolher n restrições dentre m. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8

Geometria da PL Embora o número de soluções básicas (viáveis) seja finito, ele pode ser muito grande: { R n : i, i=,...,n} Número de restrições? n Número de soluções básicas viáveis? n n = n Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9

Geometria da PL B A D C E P A, B, C, D, E e F são soluções básicas (duas restrições ativas linearmente independentes em cada). F Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Duas soluções básicas são adjacentes se há n- restrições linearmente independentes comuns ativas em ambas. Se duas soluções básicas adjacentes são viáveis, diz-se que o segmento de reta que as conecta é uma aresta A do conjunto viável. E C-F é uma aresta. D B e E são adjacentes a D. P D e E são adjacentes a B. B F C Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Considera-se agora um problema de programação linear formulado na forma canônica e P = { R n : A. = b, } o poliedro associado às suas restrições. A tem dimensão mn, onde m é o número de restrições de igualdade. Hipótese simplificadora: as m restrições são linearmente independentes. Logo, n m. Linhas linearmente dependentes de A correspondem a restrições redundantes que podem ser descartadas. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS

Geometria da PL Em toda solução básica há n restrições ativas linearmente independentes. Toda solução básica satisfaz as m restrições de igualdade A. = b, o que provê m restrições ativas. Para totalizar as n restrições ativas linearmente independentes, é necessário tornar ativas n-m restrições de não-negatividade i, fiando em as variáveis correspondentes. Entretanto, para que as n restrições ativas sejam linearmente independentes, esta escolha não pode ser totalmente arbitrária. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Geometria da PL Teorema: Sejam as restrições A. = b e. Assume-se que a matriz A de dimensões mn tenha suas linhas linearmente independentes. Então, um vetor R n éuma solução básica se e somente se A. = b e se eistem índices B(),..., B(m) tais que: (a) as colunas A B(),..., A B(m) são linearmente independentes. (b) se i B(),..., B(m), então i =. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Geometria da PL Procedimento para construir soluções básicas: () Escolher m colunas linearmente independentes A B(),..., A B(m). () Fazer i = para todo i B(),..., B(m). (3) Resolver o sistema de m equações A. = b para calcular as variáveis B(),..., B(m). Se todas estas variáveis são não-negativas, então trata-se de uma solução básica viável. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Geometria da PL Se é uma solução básica, as variáveis B(),..., B(m) são chamadas de variáveis básicas. Neste caso, as colunas A B(),..., A B(m) são chamadas de básicas e como são linearmente independentes formam uma base para R m. Colocando-se as m colunas básicas lado a lado, obtém-se uma matriz básica B de dimensão mm. Como as colunas da base são linearmente independentes, a matriz básica é inversível. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 7 Geometria da PL = N B [ ] N B A = = ) ( () ()... m B B B B = ) ( () ()... m B B B B [ ] ) ( () ) (... m B B B A A A B = A solução básica é determinada resolvendo-se a equação B. B = b, cuja solução única é B = B -.b.

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 8 Geometria da PL Sistema A. = b da forma: Colunas básicas A 4, A 5, A 6 e A 7 são linearmente independentes. = 6 4 8. 6

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 9 Geometria da PL = 6 4 8. 6 Solução básica viável, pois todas as variáveis básicas são não-negativas. Matriz básica: = = = = 6 4 8 6 4 8.. 7 6 5 4 b B B = B

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3 Geometria da PL Considerando-se o mesmo sistema A. = b: Colunas básicas A 3, A 5, A 6 e A 7 também são linearmente independentes. = 6 4 8. 6

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3 Geometria da PL = 6 4 8. 6 Solução básica não-viável, pois uma variável básica é negativa. Matriz básica: = = = = 6 4 4 6 4 8. 3 /. 7 6 5 3 b B B = 6 B

Geometria da PL Soluções básicas adjacentes e bases adjacentes: Duas soluções básicas são adjacentes se eistem n- restrições linearmente independentes ativas em ambas. Duas bases são adjacentes se possuem todas as colunas básicas em comum, eceto uma. As bases {A 3, A 5, A 6, A 7 } e {A 4, A 5, A 6, A 7 } do eemplo anterior são adjacentes. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 3

Geometria da PL Degeneração: uma solução básica R n é degenerada se há mais de n restrições ativas em. Eemplo: 3 8 6 3 4 6,, 3 = (,6,) solução básica viável não-degenerada (3 ativas) = (4,,) solução básica viável degenerada (4 ativas) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 33

Geometria da PL B: solução básica degenerada B H A D C G E P A: solução básica E: solução básica viável degenerada F F: solução básica viável não-degenerada Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 34

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 35 Geometria da PL Degeneração na forma canônica:,, 6 4 6 8 3 3 3

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 36 Geometria da PL Inserindo-se variáveis de folga:,,,,,, 6 4 6 8 7 6 5 4 3 7 6 5 3 4 3 = = = =

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 37 Geometria da PL = 6 4 8. 6 Base formada pelas colunas A, A, A 3 e A 7 : Fazer 4 = 5 = 6 =. Resolvendo-se o sistema B. B = b para as demais variáveis: = 4, =, 3 =, 7 = 6 Base degenerada: quatro variáves nulas, e não apenas três.

Geometria da PL Considera-se um problema de programação linear formulado na forma canônica e P = { R n : A. = b, } o poliedro associado às suas restrições. Sejam uma solução básica e m o número de linhas de A. O vetor é uma solução básica degenerada se mais de n-m de suas componentes são nulas. Múltiplas bases correspondem à mesma solução básica degenerada. No eemplo anterior, as bases {A,A,A 3,A 7 }, {A,A 4,A 3,A 7 }, {A,A 5,A 3,A 7 } e {A,A 6,A 3,A 7 } correspondem à mesma solução básica degenerada = 4, 3 =, 7 = 6, = 4 = 5 = 6 =. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 38

Geometria da PL A degeneração tem conseqüências importantes na queda de desempenho dos resolvedores de problemas de programação linear. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 39

Geometria da PL Nem todo poliedro tem um ponto etremo: em R A eistência de um ponto etremo depende do poliedro conter ou não uma reta infinita. Diz-se que um poliedro P R n contém uma reta se eistem um vetor P e um vetor não-nulo d R n tal que λ.d P para qualquer escalar λ. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Geometria da PL Teorema: Suponha-se que o poliedro P = { R n : a i. b i, i=,...,m} seja não vazio. Então, as afirmações abaio são equivalentes: O poliedro P tem pelo menos um ponto etremo. O poliedro P não contém uma reta. Há n vetores da família a, a,..., a m que são linearmente independentes. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Geometria da PL Um poliedro limitado não pode conter uma reta. O conjunto { R n : } é limitado, logo não contém uma reta. Como um poliedro na forma canônica está contido em { R n : }, ele não pode conter uma reta. Qualquer poliedro limitado não-vazio e qualquer poliedro não-vazio na forma canônica contém pelo menos um ponto etremo, ou seja, uma solução básica viável. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 4

Geometria da PL Teorema da otimalidade: Considera-se o problema de programação linear de minimizar a função objetivo c. sobre um poliedro P. Suponha-se que P tenha pelo menos um ponto etremo e que eista uma solução ótima. Então, eiste pelo menos uma solução ótima que é um ponto etremo de P. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 43

Geometria da PL Solução ótima finita única: Região viável limitada Região viável não-limitada Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 44

Geometria da PL Soluções ótimas finitas alternativas: Região viável limitada Região viável não-limitada Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 45

Geometria da PL Valor ótimo ilimitado: Não eiste solução ótima, pois o valor ótimo é ilimitado Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 46

Geometria da PL Teorema da otimalidade: Considera-se o problema de programação linear de minimizar a função objetivo c. sobre um poliedro P não-vazio. Então, ou o custo ótimo é igual a - (valor ilimitado) ou eiste uma solução ótima (em um ponto etremo). Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 47

Geometria da PL Resumindo... (a) Se o conjunto de soluções viáveis é não-vazio e limitado, então eiste uma solução ótima. Além disso, eiste uma solução ótima que é um ponto etremo. (b) Se o conjunto de soluções viáveis é ilimitado, então eiste uma solução ótima que é um ponto etremo ou o valor ótimo é -. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 48

Geometria da PL Resumindo... Supõe-se que o valor ótimo seja finito e que o conjunto de soluções viáveis contenha pelo menos um ponto etremo. Como há um número finito de pontos etremos, o PPL pode ser resolvido em um número finito (embora eventualmente muito grande) de passos por enumeração. Método Simple: procedimento sistemático que se move de um ponto etremo para outro, sem necessitar enumerar todos. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 49

Geometria da PL Resumindo... Pontos etremos estão associados a soluções básicas viáveis. Há n restrições ativas (todas as m de igualdade e n-m de desigualdade) em cada ponto etremo. Considerando-se o PPL na forma canônica, cada solução básica é obtida fiando-se (n-m) variáveis (não-básicas) em zero e calculando-se as demais resolvendo o sistema B. B = b, cuja solução é B = B -.b, onde B é a matriz formada pelas colunas associadas às variáveis básicas. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5 Método Simple Variáveis: Dados:........................ ),...,, = = = m m n m mn m m n n n n b b b b a a a a a a a a a A c c c c (... = n n Problema na forma canônica: sujeito a : minimizar.. = b A c

Método Simple Se um PPL na forma canônica tem uma solução ótima, então eiste uma solução básica viável (ponto etremo) que é ótima. O método Simple procura a solução ótima movendo-se de uma solução básica viável para outra através das arestas da região viável, sempre diminuindo o valor da função objetivo. O algoritmo termina ao chegar numa solução básica viável onde todas arestas levam a aumento de custo. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 5

Método Simple Métodos de busca local: partem de uma solução viável, procuram sempre por uma solução vizinha de menor custo e terminam quando tal solução vizinha ineiste ótimo local PPL: soluções básicas viáveis adjacentes são vizinhas. PPL: ótimo local também é ótimo global Problema: como encontrar uma uma direção (aresta) de diminuição de custo na vizinhança de uma dada solução? Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 53

Método Simple Seja P: então, um vetor d R n éuma direção viável em se eiste um escalar θ tal que θ.d P. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 54

Método Simple Seja uma solução básica e B(),..., B(m) os índices das variáveis básicas. Seja ainda B = [ A A A ] B( ) B()... B( m) a matriz básica correspondente. Então, i = para qualquer variável não-básica e o vetor de variáveis básicas é dado por B() B() B = = B. b... B( m) Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 55

Método Simple Considera-se a possibilidade de mover de para uma nova solução θ.d selecionando-se uma variável não-básica j (até então igual a zero) e aumentando-a até um valor θ, mantendo todas as demais variáveis não-básicas iguais a zero. Então, d j = e d i = para qualquer outra variável não-básica i diferente de j. O novo vetor de variáveis básicas passa a ser B θ.d B. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 56

Método Simple Como só nos interessam as soluções viáveis, então eigese que A.( θ.d) = b. Como é viável, A. = b. Logo, para que as restrições de igualdade sejam satisfeitas para θ >, é necessário que A.d = : = A. d = n m A = = i= i. di A i= B i d B i A ( ). ( ) j. B d B A j Como a matriz B é inversível, então a direção d B = -B -.A j. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 57

Método Simple A direção d assim construída é chamada de direção básica j. Mostramos que as restrições de igualdade são respeitadas quando se move ao longo desta direção d. Mas o que acontece com as restrições de não-negatividade? As demais variáveis não-básicas diferentes de j não são afetadas, continuando portanto nulas. Seja uma solução básica não-degenerada. Como B >, então B θ.d > para θ suficientemente pequeno. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 58

Método Simple Como varia o custo da solução a medida em que se desloca ao longo de uma direção básica? Se d é a j-ésima direção básica, a variação no custo da solução obtida após um deslocamento de valor θ ao longo de d é igual a c B.( B θ.d B ) c j.θ -c B. B.= θ.(c B.d B c j ). Como d B = -B -.A j, a taa de variação do custo por unidade da variável j ao longo da j-ésima direção básica é então igual a c j -c B.B -.A j. Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 59

Método Simple A taa de variação do custo ao longo da j-ésima direção básica é então igual a c j -c B.B -.A j. Interpretação: c j é o custo por incremento unitário na variável j, enquanto o termo -c B.B -.A j. reflete as compensações necessárias para manter as restrições A. = b viáveis com o aumento de j. Definição: sejam uma solução básica, B a matriz básica associada e c B o vetor de custos das variáveis básicas. Define-se o custo reduzido c j da variável j como: c j = c j (c B.B - ).A j Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6

Método Simple Qual é o custo reduzido de uma variável básica B(i)? c B(i) = c B(i) c B.B -.A B(i) = c B(i) c B.e i = c B(i) c B(i) =, pois B -.A B(i) é igual ao produto da inversa da matriz básica pela i-ésima coluna da base, que é igual à coluna i da matriz identidade. Resumindo: c j = c j -c B.B -.A j, se j é uma variável não-básica c j =, se j éuma variável básica Abril-agosto 4 Modelos e métodos de otimização ONS 6