Matrizes e Sistemas Lineares

MATEMÁTICA APLICADA Matrizes e Sistemas Lineares MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Matrizes Uma matriz de ordem mxn é uma tabela, com informações dispostas em m linhas e n colunas. Nosso interesse é em matrizes cujas entradas são números reais. Exemplo: A = 2, matriz de dimensão x. 0 6 8 Os elementos da matriz A são denotados por a i,j, onde i é o índice da linha do elemento e j, o índice de sua coluna. A matriz acima é uma matriz quadrada: tem mesmo número de linhas que de colunas. Uma matriz quadrada de dimensão x é dita ser de ordem. Uma matriz pode ter número diferente de linhas e colunas. Nesse caso, ela não é quadrada. Casos especiais de matrizes não quadradas são as com uma única coluna, também chamada vetor coluna e matriz com uma única linha, vetor linha. Exemplo: B = C = [ ] D = 2 E 2, 2,, = 6 2 6 7

Matrizes e Sistemas Lineares As matrizes B e C são matrizes colunas x e x, portanto, vetores, vetor coluna e vetor linha respectivamente. D é uma matriz 2x e E é uma matriz x2. Matriz nula é uma matriz onde todos seus elementos são zero. Duas matrizes são iguais, se são de mesma dimensão e seus elementos correspondentes são iguais. Assim F = A se F for de ordem e f i,j = a i,j para i =,2, e j =,2,. Diz-se que uma matriz M é simétrica, se m i,j = m j,i, por exemplo: 2 2 M = 2 2 0 Dizemos que uma matriz quadrada é uma matriz diagonal, se todos os elementos em que o índice de linha é diferente do índice de coluna são nulos (a ij =0, se i j). Uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais a é chamada matriz identidade. Por exemplo 0 I 2 = 0 0 0 ou I = 0 0 são matrizes identidade 0 0 de ordem 2 e respectivamente. Em geral, I n denota a matriz 20 identidade de ordem n. Matriz transposta de uma matriz N de dimensão mxn é uma matriz de dimensão nxm, denotada por N t, onde a linha i de N t corresponde à coluna i de N. Por exemplo: 8

MATEMÁTICA APLICADA N = 2 6 e Nt = 2. 6 Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que estão abaixo da diagonal são nulos, isto é, a ij = 0 se i>j. Na matriz triangular inferior, ao contrário, os elementos que estão acima da diagonal é que são nulos. 2 0 8 7 6 Exemplo: é uma matriz triangular superior e 0 0 0 0 0 0 0 2 0 é uma matriz triangular inferior. 2 Operação com matrizes Adição: Duas matrizes A e B de mesma dimensão podem ser somadas, formando uma terceira matriz C onde o elemento na posição (i,j) de C é obtido pela soma do elemento (i,j) de A com o elemento (i,j) de B: c i,j = a i,j + b i,j Exemplo: 2 6 7 2 0 0 8 + = 6 7 7 7 Subtração: de duas matrizes se faz como na adição, porém subtraindo os termos correspondentes: c i,j = a i,j - b i,j 9

Matrizes e Sistemas Lineares Exemplo: 2 6 7 2 0 2 8 = 7 Multiplicação de uma matriz por um escalar: Dada uma matriz A e um número α, o produto de α por A é a matriz que se obtém multiplicando todos os elementos de A por α, e é denotado por α A. 2 Exemplo:. 6 = 20 2 0. 7 8 9 0 Multiplicação de matrizes: Uma matriz A e uma matriz B de dimensões mxn e nxp podem ser multiplicadas, formando uma matriz C de dimensão mxp, da seguinte maneira: c i,j = a i, b,j +a i,2 b 2,j + +a i,n b n,j = Σ n k= a i,k b k,j (Multiplicar os elementos da primeira matriz que estão na i- ésima linha pelos correspondentes elementos da segunda matriz na j-ésima coluna.) Exemplo: A = 2 2 B, = 2, então 2 * 2 + 2 * ( 2) + * C = A B = + + = 7. 2 * 2 * ( 2) * 0

MATEMÁTICA APLICADA Determinante: Definiremos o determinante de uma matriz utilizando a Regra de Laplace. Processo de definição recursivo, onde se recai no cálculo de determinante de matrizes de ordem n-. O determinante de uma matriz quadrada M de ordem n é um número que se obtém somando todos os elementos de uma fila sua qualquer multiplicados pelo determinante da matriz obtida, retirando-se a linha e a coluna desse elemento (seja ele m i,j ), multiplicando ainda por (-) i+j. Exemplo: 2 det 0 + 0 2 0 = * det * ( ) 2 * det 2 + 2 * ( ) + * det * ( ) 2 + 2 + 2 = 0 * det * ( ) 2 2 + * det 2 * ( ) + * det * ( ) = 2+ 2+ 2 2+ 0 + 2 2+ 2 + = * det * ( ) * det * ( ) 2 * det + + 0 * ( ) = + 2 + + 2 * * ( ) * det * ( ) det 2 * ( ) * det 2 * * ( ) det = [ ] [ ] + [ ] + [ ] = = + 2 + 2 = 0 20 Observe que desenvolvemos os determinantes de ordem 2 encontrados na expressão do desenvolvimento do determinante pela regra de Laplace, pela terceira coluna da matriz, também por Laplace. O determinante de uma matriz de ordem é igual ao próprio elemento, isto é, det[a]=a.

Matrizes e Sistemas Lineares.2 Sistema linear Toda equação do tipo a x +a 2 x 2 +a x +...a n x n =b é chamada equação linear nas incógnitas x,x 2,...,x n. Os números a, a 2,...,a n são chamados coeficientes e o número b é chamado termo independente ou conhecido. Um conjunto de m equações lineares nas mesmas n incógnitas é chamado sistema linear. Uma solução de um sistema linear a n incógnitas é uma n-upla ordenada de números que, substituídas as incógnitas em cada uma das equações do sistema, verifica a equação. Dado um sistema linear, esse pode ser possível, ou impossível. Será possível, se existir pelo menos uma solução e impossível, caso contrário (nesse caso tem equações incompatíveis). Um sistema linear possível que só tem uma solução é chamado sistema determinado. Um sistema linear possível que possui mais do que uma solução é dito sistema indeterminado. Exemplos: 2x + y z = 2 x y + z =,é um sistema linear de equações e incógnitas; x + z = 2 2x + y z = 2,é um sistema linear de 2 equações e incógnitas; x + z = 2 20 x + y = 2 x + 2y =, é um sistema com equações e 2 incógnitas; x y = 2 2

MATEMÁTICA APLICADA x + y = 2 x y = é um sistema possível e determinado; x =, y = 0, resolve esse sistema e pode demonstrar que esta é a única solução; já o sistema x + y = x + y = 2 é impossível, e o sistema x + y = 2x + 2y = 2 x = 0, é possível, porém indeterminado, pois é solução, mas y = 0, x = 2 também resolve o sistema. y = Chamamos de matriz dos coeficientes aquela que se obtém, colocando na primeira linha os coeficientes da primeira equação linear, na segunda linha, os coeficientes da segunda equação do sistema, e assim por diante até a última equação do sistema. Os termos independentes colocados sob a forma de uma matriz de ordem nx, ou seja, como vetor coluna, são chamados vetor (ou matriz) lado direito ou lado direito ou ainda vetor conhecido. Exemplo: para o primeiro exemplo de sistema linear temos: 2 matriz dos coeficientes A = 0 2 b = 2. e lado direito 2 Para o segundo exemplo temos A = 0 e b = 2 2.

Matrizes e Sistemas Lineares Pode-se provar que, para sistemas lineares com mesmo número de equações e incógnitas, isto é, onde a matriz dos coeficientes é uma matriz quadrada, se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo, o sistema é impossível ou indeterminado. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema é possível e determinado, tendo, portanto, uma única solução. Para os interessados, essa prova se faz utilizando o método de Cramer para solução de um sistema linear, método visto no ensino médio. Como o único interesse do método de Cramer, para nós, é provar esse resultado, não iremos recordá-lo nem faremos esta prova. Um sistema com mais incógnitas do que equação pode ter solução se atribuirmos valores a variáveis excedentes e a matriz dos coeficientes do sistema resultante tiver determinante não nulo. 20 O processo geral, chamado método de eliminação de Gauss, utilizado para resolver um sistema linear de n equações a n incógnitas, é o baseado no escalonamento ou triangularização do sistema. Aplicaremos uma série de operações, chamadas elementares, que sabemos não alterarem a solução do sistema, para transformar a matriz dos coeficientes do sistema original em uma matriz triangular superior, mantendo a mesma solução do sistema. Chamaremos o sistema linear obtido de sistema triangularizado. 2 As operações elementares sobre equações de um sistema linear que não afetam a solução do sistema são: Multiplicar uma equação qualquer do sistema por um número real não nulo (multiplicar todos os termos, inclusive o lado direito). Somar a uma equação do sistema outra equação multiplicada por um número real qualquer ( (equação ) (equação ) + α*(equação 2)). Trocar duas equações de posição.

MATEMÁTICA APLICADA Lançaremos mão dessas operações elementares para transformar um sistema cuja matriz dos coeficientes não é triangular superior em outro sistema linear equivalente, isto é, com mesma solução, onde a matriz dos coeficientes é triangular superior. Feito isso, resolveremos esse sistema triangularizado por substituição sucessiva: da última equação resolveremos a última incógnita, que, substituída na penúltima equação, nos fará obter o valor da penúltima incógnita; e assim por diante, até chegar às primeiras equação e incógnita, quando resolveremos o sistema. Utilizaremos a segunda operação elementar para zerar os elementos desejados, numa operação sistemática, começando na primeira incógnita. Exemplo: O sistema linear matricial: x + y + 2z = 9 x + 2y + z = 8 2x + y + z = 7 pode ser escrito na forma 2 x 9 2 y = 8. Queremos anular os coeficientes de 2 z 7 x da 2 a e a equações, depois anular o coeficiente de y na a equação, obtendo assim o sistema triangularizado. 20 Faremos isso de forma sistemática. Sempre utilizaremos uma mesma linha para anular os coeficientes de uma mesma coluna. Vejamos: 2 Para anular o coeficiente de x na segunda equação, subtrairemos da segunda a primeira. Para anular o coeficiente de x na terceira, subtrairemos dela a primeira equação multiplicada por 2. Obteremos:

Matrizes e Sistemas Lineares 2 x 9 0 y =. 0 z Para zerar o coeficiente y da terceira equação, não podemos utilizar novamente a primeira, pois destruiríamos o zero introduzido na etapa anterior como coeficiente de x. Utilizaremos, então, a segunda linha. Subtrairemos da terceira linha a segunda, multiplicada por (-) (o mesmo que somar a terceira linha a segunda linha.). Obteremos, então: 2 x 9 0 y =. 0 0 z 2 20 Esse sistema já está triangularizado. Podemos resolvê-lo por substituição sucessiva: a terceira equação é - z = -2, de onde temos z =. Substituindo esse valor na segunda equação, temos: y = -+z = -+=2. Da primeira equação, substituindo os valores já encontrados, obtemos x=. Portanto, a solução do sistema linear dado é (x, y, z) = (, 2, ). Vamos generalizar o procedimento. Para zerar um elemento da primeira coluna (a i, ), subtraímos da linha i a primeira linha multiplicada por (a i, /a, ). Essa operação precisa ser feita para i =2,,...n, ou seja, todas as linhas que estão abaixo da primeira. Acabamos de zerar os coeficientes da primeira coluna que estão abaixo do elemento da diagonal (a ). Vamos zerar agora os coeficientes da segunda incógnita que estão na segunda coluna, abaixo do (a 2,2 ). 2 Esse método é também conhecido como método do Escalonamento ou ainda como método de eliminação de Gauss. Sistematicamente, anulamos todos os coeficientes dos elementos da matriz dos coeficientes que estão na primeira 6

MATEMÁTICA APLICADA coluna abaixo do elemento da diagonal, usando a primeira linha como base. Em seguida, anulamos os elementos da segunda coluna, abaixo de a 22, usando a segunda linha como base, os elementos da terceira coluna, abaixo de a, usando a terceira coluna como base, e assim por diante. Se em alguma etapa, o elemento da diagonal, a ii, for nulo, precisamos permutar a i- ésima linha com outra que esteja abaixo para servir de base. Se todos os elementos da coluna i forem nulos (da linha i em diante) é porque o determinante da matriz dos coeficientes é nulo. Nesse caso o processo deve ser interrompido. Tudo que foi feito independe das incógnitas. Dessa forma podemos trabalhar somente com a matriz dos coeficientes e a matriz do lado direito. Operaríamos sobre a matriz aumentada do sistema (matriz dos coeficientes acrescida da ou das coluna(s) correspondente(s) ao lado direito): 2 2 2 9 2 8 0 7 0 9 2 0 0 0 9 x + y + 2z = 9 0 + y z = 2 0 + 0 z = 2 20 A solução do sistema triangularizado é feita por substituição sucessiva: a da terceira equação determina o valor de z. Da segunda equação, substituindo o valor de z já calculado, obtemos o valor de y. Da primeira equação, com os valores de y e z, obtemos o valor de x. Vamos resolver outro exemplo: Seja o sistema linear: x + x2 + x + x = x + x2 + x x = 2 x + x2 x x = 0 x x2 x x = 2 7

Matrizes e Sistemas Lineares A matriz aumentada desse sistema é: a linha a linha* 2 2 ( ) a linha a linha *( ) 2 a linha a linha *( ) 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 6 Como a 22 é nulo, vamos trocar a segunda linha com a quarta, ou seja, a segunda equação com a quarta equação. Essa troca se faz necessária, pois a 22 =0. 20 Obtemos o sistema triangularizado: 0 2 2 2 6, que, resolvendo por substituição 0 0 2 2 0 0 0 2 2 sucessiva, resulta em: x =, x =, x 2 =, e x =. Observe que o determinante de uma matriz triangularizada é obtido com a multiplicação dos elementos da diagonal. Verifique!!! Assim, o método de eliminação de Gauss é bastante eficiente para calcularmos o determinante de uma matriz. Lembre-se de que a troca de duas linhas de uma matriz implica mudança no sinal do determinante. No primeiro exemplo, não houve troca de linhas do sistema, portanto o determinante da matriz dos coeficientes é dado por det(a)=**(-)= -. No segundo exemplo, a troca da segunda pela quarta linha da matriz faz com que o determinante seja: det(a)=(-)**(-2)*(- 2)*(-2)=8, onde o primeiro (-) é devido à troca da segunda e da quarta equações do sistema. 8

MATEMÁTICA APLICADA Vejamos outro exemplo, fornecido matricialmente: 2 2 x 2 x 6 2 x 8 0 x 2 2 =. Temos 2 2 0 0 7 7 0 0 7 0 0 0 a linha a linha* ) 2 ( 2 a 2 2 linha a linha *( ) a linha a linha *( ) 0 0 7 7 0 0 0 7 8 0 0 8 0 8 Não há troca possível da segunda linha. O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo. Vamos continuar o processo de triangularização para comprovar isso. 2 2 0 0 7 7 0 0 7 0 0 0 (=*0*(-)*(-)). e temos determinante igual a 0 0 8 Referências bibliográficas HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções (vol.). São Paulo: Saraiva, 200. HAZZAN, S. e POMPEO, J. N. Matemática financeira. São Paulo: Saraiva, 200. JUER, M. Matemática financeira: praticando e aplicando. São Paulo: Qualitymark, 200. 9

Matrizes e Sistemas Lineares MORETTIN, P. A. e colaboradores. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 200. MUROLO, A. C. e BONETTO, G. A. Matemática aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Thomson Learning, 200. SILVA, S. M. da. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 999. SILVA, S. M. e SILVA E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002. WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. São Paulo: Harbra, 986. 60