MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para tentar explicar tal fenômeno e o fenômeno em si. esmagadora maioria dos fatos estudados pela estatística apresenta resultados de difícil previsibilidade, dado que variam de uma observação para outra, mesmo em condições normais de experimentação. Ora, para analisar, interpretar e explicar tais fenômenos é preciso utilizar a probabilidade, uma técnica matemática desenvolvida a partir do século XVI, inicialmente para planejar estratégias de apostas em jogos de azar. Hoje, a matemática das probabilidades é amplamente utilizada não apenas nos jogos de azar, mas também na estatística, na medida em que ela possibilita conhecer as possibilidades de ocorrência de determinado resultado desejado. Por exemplo, ao lançarmos um dado, a probabilidade não pode afirmar qual face vai aparecer, mas pode, por exemplo, afirmar quais as chances de que dê o número 6. O uso da probabilidade se explica, nestes casos, como destacamos no módulo 1, por não haver a possibilidade da descrição de fatos, já que existem circunstâncias ou experimentos que envolvem o acaso ou a incerteza com relação à ocorrência de um resultado. Sendo assim, as probabilidades surgem para definir quais as chances de ocorrerem certos eventos determinados. Este dito evento é o resultado que se espera de determinado experimento. Ele pode ser cara (no caso do lançamento de uma moeda), 6 (no caso do lançamento de um dado), chuva (no caso da observação do tempo), etc. probabilidade de ocorrer determinado evento será sempre um número entre 0 e 1, indicando aproximadamente a chance de ocorrência deste mesmo evento. Quanto mais próxima de 1, maior é a probabilidade de ocorrer este
evento; quanto mais próxima de zero, menor a chance do evento acontecer. Quando a probabilidade de determinado evento é zero, diz se que este é um evento impossível. Sendo assim, temos: ( ) 1 0 P base da matemática das probabilidades é a teoria dos conjuntos, e para bem desenvolvê la faz se necessária uma pequena revisão sobre esta teoria antes de nos aprofundarmos no desenvolvimento específico da teoria das probabilidades. 6.1. TEORI DOS CONJUNTOS, ESPÇO MOSTRL E EVENTOS Um conjunto seria definido como um grupo de objetos ou itens que apresentam características comuns. São exemplos de conjuntos os habitantes de São Paulo, os estudantes de Gestão de Negócios da UNIP, o número de consoantes do alfabeto, o número de vogais do alfabeto, etc. Podemos descrever os elementos de um conjunto, podemos fazê lo das três formas abaixo, seja enumerando cada um deles entre chaves, seja indicando suas características comuns, também entre chaves. Senão vejamos: { a, e,, i o u } conjunto =, ou conjunto = {conjunto das vogais do alfabeto}; conjuntob = {todos os números inteiros maiores que 3}. Se me deparo com um conjunto finito, poderemos identificar todos os seus subconjuntos. O número de subconjuntos de um conjunto finito será obtido através da seguinte fórmula: N n subconjunt os =, onde n = número de elementos do conjunto. Por exemplo, se eu tenho um conjunto como o dado abaixo, calcule a quantidade de subconjuntos e faça a sua apresentação: = {, 4, 6, 8 } quantidade de subconjuntos de será: N subconjunt os = n = 4 = 16 Os subconjuntos de serão portanto: = { }, { 4 }, { 6 }, { 8 }, {, 4 }, {, 6 }, {, 8 }, { 4, 6 }, { 4, 8 }, { 6, 8 }, {, 4, 6 }, {, 6, 8 }, {, 4, 8 }, { 4, 6, 8 }, {, 4, 6, 8 }, { }
Ora, se trazemos estes conceitos para a probabilidade, podemos definir então o que seria espaço amostral e evento. Na teoria das probabilidades nós temos o chamado experimento, uma experiência que poderá ser repetida sob as mesmas condições indefinidamente. Para cada experimento existe um conjunto S formado por todos os possíveis resultados deste experimento. Este conjunto é denominado de Espaço mostral. Por exemplo, ao lançar um dado e observar o número da face que fica para cima, teríamos o seguinte conjunto de resultados possíveis deste experimento, e portanto, o seguinte espaço amostral: S = Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 }, onde Ω é o espaço amostral. O espaço amostral poderá ser representado pela letra ômega, tal como fizemos acima. Sendo o espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de uma dada experiência, a probabilidade do espaço amostral deverá ser igual a 1 ou 100%, pois ao menos um dos resultados deve ocorrer. Sendo assim temos: ( querespaço amostral Ω ) = 1, 00 P eventoqual Os chamados eventos correspondem a subconjuntos do espaço amostral, na medida em que correspondem às combinações de resultados do conjunto de resultados possíveis. Os eventos são, portanto, os resultados de um experimento. No caso do nosso exemplo, de lançar um dado, seriam exemplos de eventos: : Ocorrer face igual a 6; B: Ocorrer face igual a 5. O evento é geralmente simbolizado através de uma letra maiúscula, tal como fizemos acima. Poderíamos simbolizar graficamente o espaço amostral e o evento através do diagrama de Venn, para que possamos visualizar melhor a diferença entre estes dois importantes conceitos da Teoria das Probabilidades. Senão vejamos:
EVENTO ESPÇO MOSTRL O que significa então o gráfico acima? Para entender melhor é preciso relembrar algumas relações que se estabelecem entre dois ou mais conjuntos, e que tipo de classificação didática isto gera, para entender que implicações isto pode ter para a teoria das probabilidades. Dois ou mais conjuntos que não possuam elementos em comum são chamados Conjuntos Disjuntos. Por exemplo, sejam os conjuntos abaixo: = { 3, 5, 7 } e B = { 9, 11,}, são dois conjuntos que claramente não apresentam nenhum elemento em comum, e podem ser representados pelo diagrama de Venn como segue: 3 5 7 B 9 11 Como e B não possuem elementos em comum, o resultado da união destes conjuntos irá gerar um novo conjunto cujo número de elementos será dado pela soma dos elementos de e dos elementos de B. No exemplo posto, teremos então: n n ( B ) = n ( ) + n ( B ) ( B ) = 5 Se dois ou mais conjuntos apresentam elementos em comum, teremos o caso de conjuntos não disjuntos. Neste caso, o número de elementos da união dos dois conjuntos será dado pela soma dos elementos de cada conjunto, subtraindo se os elementos que estes possuem em comum. Senão vejamos:
= {, 4, 6, 8, 10 } e B = { 8, 10, 1 } n ( B ) = n ( ) + n ( B ) n ( B ); n ( B ) = 5 + 3 = 6 Poderemos verificar este resultado comparando o ao diagrama de Venn, que irá apresentar claramente os elementos da união dos dois conjuntos e B. ssim, teremos: B 4 6 8 10 1 Estes conceitos de conjuntos são importantes porque nos permitem, por exemplo, definir novos eventos utilizando estas operações de união e intersessão. ssim: evento; a) ( B ) quando ocorre, ou B ocorre, ou ambos ocorrem temos este b) ( B ) evento só ocorre se e B ocorrerem simultaneamente; c) evento quando não ocorre. partir disto, podemos definir os eventos como complementares, mutuamente exclusivos, não mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos. Diz se que dois eventos são complementares quando completam um determinado espaço amostral. É importante ressaltar que os eventos complementares não devem apresentar elementos em comum. soma das probabilidades de eventos complementares é sempre igual a 1. Podemos representar dois eventos complementares com o diagrama que segue: Espaço mostral
Por exemplo: podemos considerar como eventos complementares ocorrer cara ou coroa no lançamento de uma moeda; atender ou não à porta. O espaço amostral dos dois experimentos respectivamente será: { cara, coroa } Ω =, onde : ocorrer cara; B:ocorrer coroa. { atender não atender } Ω =, onde, C: atender à porta; D: não atender à porta. Em ambos os experimentos podemos observar que a soma das probabilidades será igual a um, porque os eventos completam o espaço amostral. ssim, no caso dos dois exemplos acima, teremos: 1 P ( ) = 1 P ( B ) = P ( ) + P ( B ) = 1 1 P ( C ) = 1 P ( D ) = P ( C ) + P ( D ) = 1 Dois ou mais eventos que não possuem elementos comuns, ou não podem ocorrer simultaneamente são ditos eventos mutuamente excludentes. No entanto, diferente dos eventos complementares, eles não necessariamente completam o espaço amostral. Sendo assim, podemos dizer que todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas nem todos os eventos mutuamente exclusivos são complementares. Também é importante ressaltar que na teoria dos conjuntos, os eventos mutuamente exclusivos são os chamados conjuntos disjuntos. Isto significa, em outras palavras, que: ( B ) = φ
Para ilustrar graficamente dois eventos mutuamente exclusivos podemos mais uma vez nos valer de um diagrama de Venn, conforme figura abaixo: Ω : Espaço mostral B Por exemplo: no lançamento de um dado, ocorrer as faces 1,, 3, 4, 5,6. São seis eventos mutuamente excludentes, já que dois não podem ocorrer simultaneamente, então a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. Se restringirmos este experimento a apenas duas faces, teremos: Experimento: lançamento de um dado Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 } : ocorrer a face ; B: ocorrer a face 4. ; (espaço amostral) Temos aqui dois eventos mutuamente exclusivos e que não são complementares. Quando dois eventos apresentam elementos em comum ou podem ocorrer simultaneamente diz se que eles são eventos não mutuamente excludentes. Estes eventos podem ser representados através de um diagrama de Venn como segue abaixo: Ω : Espaço mostral B
Como exemplo, podemos nos valer da distribuição de freqüências do módulo 4, para dar exemplo de dois eventos que sejam não mutuamente excludentes. Vejamos então a distribuição de freqüência das idades dos alunos formandos do curso de Direito de uma Universidade B: Distribuição de Freqüência das Idades Classes Freqüência bsoluta Simples 0 8 4 10 4 6 1 6 8 0 8 30 17 30 3 15 3 34 9 34 36 5 36 38 3 38 40 1 100 Tomando se a distribuição de freqüência acima, poderemos dar exemplo de dois eventos não mutuamente exclusivos: : apresentar idade entre 0 e 6 anos no momento da formatura; B: apresentar idade entre e 30 anos no momento da formatura. Como entre estes dois eventos existem elementos em comum, ou seja, os intervalos de a 6 anos, esses eventos são não mutuamente excludentes. É importante ressaltar que os eventos não mutuamente exclusivos, na teoria dos conjuntos, são os conjuntos não disjuntos por nós estudados neste módulo. Os eventos podem ser ainda coletivamente exaustivos. Isto acontece quando os eventos em questão ocuparem todo o espaço amostral, tornando impossível qualquer outro resultado além daqueles eventos dados. São considerados eventos coletivamente exaustivos os eventos complementares, mas nem sempre os eventos coletivamente exaustivos serão complementares. lém disso, os eventos coletivamente exaustivos serão em alguns casos mutuamente excludentes. Podemos então representar graficamente eventos coletivamente exaustivos com o diagrama abaixo:
Ω : Espaço mostral ssim, são exemplos de eventos coletivamente exaustivos, no caso de um experimento de lançar uma moeda: : ocorrer cara; B: ocorrer coroa. Um outro exemplo seria ao se fazer a experiência de retirar cartas de um baralho, definir como eventos: : carta de copas; B: carta de paus; C: carta de ouros; D: carta de espadas. B C Temos acima dois exemplos de eventos coletivamente exaustivos.