CÁLCULO I Prof. Eilson Neri Júnior Prof. Anré Almeia Aula n o 25: Funções Logarítmicas e Eponenciais Gerais Objetivos a Aula Denir f() = log Denir f() = a Funções Eponenciais Gerais Denição. Se a > 0 e r for qualquer número racional, então: a r = ln a (e ) r = r ln a e. Portanto, para um mesmo número irracional, enimos a = ln a e () A função f() = a é chamaa função eponencial com base a. Observe que a é positivo para too, pois e é positivo para too. A Denição nos permite estener uma as proprieaes e logaritmos. Já sabemos que ln(a r ) = r. ln a, quano r é racional. Mas, se permitirmos que r seja qualquer número real, temos pela Denição : ln a r = ln(e r ln a ) = r. ln a r R As proprieaes gerais os epoentes seguem a Denição com as proprieaes o epoentes para e. Teorema. Se e y forem números reais e a, b > 0, então:. a +y = a.a y 2. a y = a a y 3. (a ) y = a y 4. (ab) = a.b y Teorema 2 (Derivaa e a ). Seja f() = a, então (a ) = a ln a. Demonstração: (a ) = (e ln a ) = ln a e ( ln a) = a ln a. Observação. Se a >, então ln a > 0, logo a. ln a > 0, o que mostra que y = a é crescente. Analogamente, se 0 < a <, então ln a < 0 e, portanto, y = a é ecrescente.
2 Funções Logarítmicas Gerais Se a > 0 e a, então f() = a é uma função injetora. logarítmica e base a e é enotaa por log a. Logo: Sua função inversa é chamaa função log a = y a y = (2) Em particular: log e = ln. Para erivar y = log a, escrevemos a equação como a y =. Logo: y ln a = ln = y = ln ln a = log a. Como ln a é uma constante, poemos erivar a seguinte forma: 3 Derivaa e f() g() (log a ) = ln ln a = ln a (ln ) = ln a. Sejam f e g uas funções eriváveis num mesmo conjunto A, com f() > 0 para too A. Consieremos a função enia em A e aa por Aplicano ln aos ois membros obtemos y = f() g() ln y = ln f() g() ln y = g() ln f() e, assim ou seja, Então E, portanto, g() ln f() y = e f() g() g() ln f() = e [f() g() ] = e g() ln f().[g() ln f()] [f() g() ] = f() g().[g() ln f()]. (3) Eemplo. Calcule a erivaa e: y =. Note que = e ln [ ] = e ln ( ln ) = (ln + ). Eemplo 2. Calcule a erivaa e: y = 3. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 2
Note que: 3 = e ln 3 [3 ] = e ln 3 ( ln 3) Como ln 3 é constante, ( ln 3) = ln 3. Assim: [3 ] = 3 ln 3. Eemplo 3. Seja a > 0, a, constante. Mostre que, para too, (a ) = a ln a a = e ln a (a ) = e ln a.( ln a). Como ( ln a) = ln a = ln a, resulta: a = a ln a. Eemplo 4. Seja α uma constante real qualquer. Mostre que, para too > 0, [ α ] = α α. α = e α ln [ α ] = e α ln (α ln ) Seno α constante, (α ln ) = α(ln ) = α. Assim, [ α ] = α. α = αα. Eemplo 5. Calcule a erivaa e: f() = 2. f () = 2 2. Eemplo 6. Calcule a erivaa e: y = 8 + log 2. y = 8 ln 8 + ln 2. Eemplo 7. Calcule a erivaa e: y = sen(). Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 3
Pela regra o prouto, temos: y = ( ) sen() + cos() = (ln + )sen() + cos() = [sen().(ln + ) + cos()]. Eemplo 8. Seja f e g eriváveis em A, com f() > 0 em A. Verique que, para too em A, [f() g() ] = f() g() g () ln f() + g()f() g() f (). (4) Por (3), temos: [f() g() ] = f() g().[g() ln f()] [ = f() g(). g () ln f() + ] f().f ().g() = f() g().g () ln f() + f()g().f ().g() f() = f() g().g () ln f() + g()f() g().f () Observação 2. Em: [f() g() ] = f() g().g () ln f() + g()f() g().f () }{{}}{{} 2 é a erivaa e f() g(), supono f constante e 2 é a erivaa e f() g(), supono g constante. Eemplo 9. Calcule a erivaa e: f() = ( + 2). y = ( + 2).() ln( + 2) +.( + 2).( + 2) y = ( + 2) ln( + 2) + ( + 2) = ( + 2) [( + 2) ln( + 2) + ]. Eemplo 0. Calcule a erivaa e: y = ( + e ) 2. y = ( + e ) 2.( 2 ). ln( + e ) + 2.( + e ) 2.( + e ) = 2 ln( + e )( + e ) 2 + e 2 ( + e ) 2 = ( + e ) 2 [2( + e ) ln( + e ) + e ] Eemplo. Calcule: 0. + Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 4
Veja que: Então: Como: Eemplo 2. Calcule: Veja que: 0 + = [0 0 ] (ineterminação) = e ln 0 = + 0 e ln = + e 0 + ln ln ln = 0 + 0 + = 0 + 2 = = 0. 0 +( ) 0 = + 0 e ln = + e 0 + ln = e 0 =. ( + ) ln ( + ) ln. = [ 0 ] (ineterminação) ( + ) = e ln. ln(+) Assim: Logo:. ln( + ) = ln ln( + ) = [ ln = ln(+) ( + ) ln = e ln = e = e. + =. Resumo Faça um resumo os principais resultaos vistos nesta aula, estacano as enições aas. Aprofunano o conteúo Leia mais sobre o conteúo esta aula nas páginas A46 A50 e no Apênice G o livro teto. Sugestão e eercícios Resolva os eercícios a página A50 na seção e apênices o livro teto. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 5