Matemática
Professor conteudista: Renato Zanini
Sumário Matemática Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES... EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES...6 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES...7 4 RESOLVENDO INEQUAÇÕES...1 Unidade II FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS REPRESENTAÇÕES...17 6 FUNÇÃO DO 1º GRAU...0 7 FUNÇÃO DO º GRAU...6 8 SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE INTERSECÇÃO)...9
MATEMÁTICA Unidade I APRESENTAÇÃO Caro aluno, 1 0 Sua visitação por conteúdos matemáticos já estudados nos ensinos fundamental e médio contemplará o objetivo geral da disciplina Matemática, que, por sua vez, deseja capacitá-lo na operação com formulações e modelos para o desenvolvimento do raciocínio lógico, espírito de investigação e habilidade em solucionar problemas, além de fazê-lo familiarizar-se com símbolos, métodos e técnicas que ajudam a estimular, organizar o pensamento e, portanto, fornecer-lhes ferramentas necessárias para futuras aplicações da matemática nas diferentes áreas profissionais. O material apresentado a seguir está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos os conjuntos numéricos, suas operações e a resolução de equações e inequações. Em seguida, na segunda parte, abordaremos o conceito de função e suas representações. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias. Observação: durante as aulas (estudos e provas), se for necessário, utilize-se de uma simples calculadora para facilitar os cálculos. 1
Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES Representações Os números que utilizamos diariamente em nossa vida são organizados por meio de conjuntos. Veja: Conjuntos dos números naturais: N = {0; 1; ; 3; 4;...} Conjunto dos números inteiros (Z): o conjunto dos números inteiros é formado por todos os elementos do conjunto dos números naturais (números inteiros positivos) e também por todos os números inteiros negativos. Z = {...; 4; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; 4;...} Conjunto dos números racionais (Q): um número racional é representado por meio de uma fração. Por exemplo: 1 3 ; 6 4 4 ; 3 ; 8 1 7-3 ; - ; 1 ; 1 ; - 1 ; 3 ; 9 1 Toda fração pode ser representada de outra maneira se dividirmos o seu numerador pelo seu denominador. Observe os exemplos abaixo: 0 1 = 1: = 0, 3 3 3 4 0 7 3 1 4 = : =, = : =, 1 = : 1= 8 = 8: 1= 8 1 = = 1 3 1 : 3 0, 3333... (dízima periódica) 7 = 7: 9 = 0, 7777... (dízima periódica) 9 Portanto, podemos dizer que o conjunto dos números racionais (Q) é formado pelo conjunto dos números inteiros (que
MATEMÁTICA podem ser representados na forma de fração) e também por números não inteiros que, necessariamente, são representados através de frações e de números decimais. Conjunto dos números irracionais (Ir): o conjunto dos números irracionais é formado por números que não se podem expressar como quociente de dois números inteiros, ou seja, não se podem expressar por meio de fração. Por exemplo: Se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Logo, são irracionais, 3,, 7, 8, e outros. Tais números são representados por dízimas infinitas e não periódicas. Veja: = 141413,... 3 = 173008,... =, 360679... 1 Conjuntos dos números reais (R): Reunindo o conjunto dos números irracionais (Ir) e o conjunto dos números racionais (Q), obtemos o conjunto dos números reais (R). A representação dos números reais na reta numérica: 0 4 3 1 0 1 3 4 Reais Observação: vale lembrar que entre dois números reais inteiros, existem infinitos outros números reais. Operações (relembrando através de exemplos) Multiplicação e divisão em primeiro lugar: +. 7 = + 3 = 37 1 : 3 = = 3
Unidade I Distributiva: 3. (4 + 6) = 3. 4 + 3. 6 = 1 + 18 = 30. ( 6) =. +. ( 6) = 0 30 = 0 Os sinais: 7 4 = 11 7 + 4 = 3 7 4 = 3 ( 7). ( 4) = +8 ( 7). (+4) = 8 7. ( 4) = 8 ( 7) : ( 4) = +1,7 ( 7) : (+4) = 1,7 7 : ( 4) = 1,7 Potências: =. = 0. =. (.) =.0 = 00 ( ) = ( ). ( ) = 0 = (. ) = 0 3 =.. = 1 ( ) 3 = ( ). ( ). ( ) = 1 1 9 1/ = 9 = 3 Frações e representações decimais: 3 + 7 3 = 3 = 7: 3 =, 333..., 3 1 3 + 3 4 = 4 + 4 = 4 = : 4= 1, (Obs.: a fração ½ é equivalente à fração /4) 4
MATEMÁTICA 4. 4 8 = = = 8: 1= 0, 33... 0, 3 3 3. 1 1 3 : 1 6 6 = 6 3 = 6 = 1 (Obs.: multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda) As raízes: 8. = 16 = 4 8 : = 4 = 8 +, 83 + 141, 4, 4 (Obs.: 8 + ) 8, 83 141, 14, (Obs.: 8 6) ( 8) = 8 3 + 3 =. 3. 173, 3, 46 Subconjuntos de R interpretando a simbologia: A = {x R x > 3} Quais são os elementos do conjunto A? Resp.: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que x são elementos reais maiores que 3. 1 B = {x R x } Quais são os elementos do conjunto B? 0 Resp.: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que x são elementos reais menores ou iguais a. C = {x R 8 < x < 3} Quais são os elementos do conjunto C? Resp.: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que x são elementos reais maiores que 8 (pois 8 < x) e menores que 3 (pois x < 3), ou seja, elementos reais que estão entre os números 8 e 3.
Unidade I EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES Utilizamos as letras para representar ou traduzir, em linguagem matemática, as operações estudadas em aritmética. Tais representações são ferramentas muito úteis na resolução de problemas. Para relembrar: Valor numérico de expressões literais: Considere: y = x + x Qual o valor de y quando x=? Resp.: y = () +.() = 4 + 4 = 8 Considere: p=m 3 4m +3m+ Qual o valor de p quando m=3? Resp.: p=(3) 3 4.(3) + 3.(3)+=7 4.(9)+9+=7 36+9+= Operações com expressões literais: x. x = x x + x = x (b + 3c a) + (3a 4b c) = b + 3c a + 3a 4b c = b + c + a (6x + 1y) = 6x 1y ( x + 3y) = + x 3y (9x + 1y) (6x + 1y) = 9x + 1y 6x 1y = 3x + 3y (3c). ( 4c) = 1c 1.(3x + 4y) = 6x + 8y 3c. (4c c ) = 1c 6c 3 (x + 3y).(x 3y) = x 6xy + 1xy 9y = x + 9xy 9y (1x 3 ) : (3x) = 4x 6
MATEMÁTICA Produtos notáveis: (a + b) = (a + b).(a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b).(a b) = a ab ab + b = a ab + b (a + b).(a b) = a ab + ab b = a b 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES As equações são igualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma equação, pode-se encontrar um valor desconhecido. Veja: Exemplo 1 y + 6 = (Vamos encontrar y ) y + 6 6 = 6 1 y = 4 y = 4 y = Exemplo x + 3 = x + 6 (Vamos encontrar x ) x + 3 3 = x + 6 3 x = x + 3 x x = x x + 3 3x = 3 0 3x = 3 3 3 x = 1 7
Unidade I Exemplo 3 m + 3 = 4m + 6 (Vamos encontrar m ) m + 3 3 = 4m + 6 3 m = 4m + 3 m 4m = 4m 4m + 3 6m = +3 6m = +3 6 6 m = 3 = 1 = 0, 6 Exemplo 4 14 = p + 3 (Vamos encontrar p ) 14 3 = p + 3 3 11 = p 11 = p, = p 1 Exemplo.(3t + ) = 4.(t 3) (Vamos encontrar t ) 6t + = 4t 1 6t + = 4t 1 6t = 4t 8
MATEMÁTICA 6t 4t = 4t 4t t = t = t = 11 Exemplo 6 4n + = 0 (Vamos encontrar n ) 4n + = 0 4n = 4n = 4 4 n = = =, 4 Exemplo 7 Equação do º grau x 6x = (Vamos encontrar x ) x 6x + = + x - 6x + = 0 a = 1 b = 6 c = + 1 = b 4.a.c = ( 6) 4.(1).() = 36 0 = 16 x = b + -.a x = ( 6) + 16 6 = + 4 =.( 1) = 0 -(-6)- 16 x = =- 6-4.(1) = = 1 9
Unidade I Exemplo 8 Equação do º grau x 9 = 0 (Vamos encontrar x ) a = 1 b = 0 c = 9 = b 4.a.c = (0) 4.(1).( 9) = 0 + 36 = 36 -b +- x =.a x = -(0)+ 36 0 6.(1) = + 6 = =3 -(0)- 36 x = = -0-6.(1) = -6 =-3 Exemplo 9 Equação do º grau x + x = 0 (Vamos encontrar x ) a = b = 1 c = 0 1 = b 4.a.c = (1) 4.().(0) = 1 0 = 1 b x = +. a x = ( 1) + 1 = 1 + 1 0 =.( ) 4 4 = 0 x = ( 1 ) 1 = 1 1 = = 1.( ) 4 4
MATEMÁTICA As equações são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano. Por exemplo: a) A soma de nossas idades atualmente é 4. Calcule-as, sabendo que sou mais velho do que você 7 anos. Resolução: Seja: x...minha idade atual e x 7...sua idade atual. x + (x 7) = 4 x + x 7 = 4 x 7 = 4 x 7 + 7 = 4 + 7 x = x = x = 6 Portanto, a minha idade atual é 6 anos e a sua idade atual é 6 7 = 19 anos. b) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 0 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 1,00. Resolução: Q = 0 4p Q = 0 4.(1) Q = 0 60 = 40 unidades do produto 11
Unidade I c) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 0 4p. Determinar o preço p correspondente a 0 unidades de produtos vendidos. Resolução: Q = 0 4p 0 = 0 4p 0 0 = 0 0 4p 0 = 4p 0 = 4p 4 4 1,0 reais = p 4 RESOLVENDO INEQUAÇÕES As inequações são desigualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma inequação, podem-se encontrar infinitos valores que satisfazem uma determinada condição matemática. Os símbolos utilizados nas desigualdades são: > (maior), < (menor), >(maior ou igual), <(menor ou igual). Exemplo 1 y + 6 > y + 6 6 > 6 y > 4 y > 4 y > ou seja {y R y > } 1
MATEMÁTICA É solução desta inequação: elementos y pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que y são elementos reais maiores que. Exemplo x + 3 < x + 6 x + 3 3 < x + 6 3 x < x + 3 x x < x x + 3 3x < 3 3x < 3 3 3 x < 1 ou seja {x R x < 1} É solução desta inequação: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que x são elementos reais menores que 1. 1 Exemplo 3 m + 3 > 4m + 6 (Vamos encontrar m ) m + 3 3 > 4m + 6 3 m > 4m + 3 m 4m > 4m 4m + 3 0 6m > +3 (Atenção: é necessário tornar 6m um termo positivo) 13
Unidade I (Por isso, neste caso, dividem-se os dois membros da inequação por 6 ) -6m > +3 6 6 (Então, troca-se o sinal > por <) m < 3 6 m < 1 = 0, m < 0, ou seja {m R m < 0,} É solução desta inequação: elementos m pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que m são elementos reais menores ou iguais a 0,. Exemplo 4 14 < p + 3 14 3 < p + 3 3 11 < p 1 11 < p 0, < p ou p >, (Atenção: os sinais > ou < são invertidos sempre que os membros são trocados) {p R p >,} É solução desta inequação: elementos p pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que p são elementos reais maiores ou iguais a,. 14
MATEMÁTICA Exemplo 4n + > 0 4n + > 0 4n > 4n > 4 n > = - =, 4 n > n >, ou seja {n R n >,} É solução desta inequação: elementos n pertencentes ao conjunto dos números reais, de tal modo que n são elementos reais maiores que,. Dica importante: Vale observar que, por exemplo, a equação 14 = p + 3 pode ser escrita, também, como p + 3 = 14. Afinal, trata-se de uma igualdade. Já, nas desigualdades: Exemplo: a inequação 14 > p + 3 não pode ser escrita como p + 3 > 14, mas sim como p + 3 < 14, pois, por exemplo, se 1 <, então > 1. 1
Unidade I As inequações, assim como as equações, também são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano. Por exemplo: A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 90 p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de, no mínimo, 40 unidades. Resolução: Q > 40 90 p > 40 90 90 p > 40 90 p > 0 p > 0 p < Resp.: para que a quantidade de produtos vendidos seja de, no mínimo, 40 unidades, os preços devem ser menores ou iguais a R$,00. 16