Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 6 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Rotacionais pela Mecânica ewtoniana IRODUÇÃO esta apostila aprenderemos como obter o modelo matemático de sistemas mecânicos rotacionais, a partir da aplicação da a Lei de ewton para o movimento de rotação, também conhecida como Equação de Euler Inicialmente, apresentaremos as equações constitutivas de cada um dos elementos que compõem o sistema mecânico rotacional e, após, mostraremos como tais equações são inseridas na EDOL que descreve o modelo matemático do sistema RELÇÕES ERE EXCIÇÃO E RESPOS PR OS ELEMEOS DO SISEM MECÂICO EQUÇÕES COSIUIVS Conforme já vimos, as equações constitutivas entre ecitação e resposta para os vários elementos (considerados lineares) de um sistema mecânico são dadas por () C () C( ) (3) ( - ) eq () nada mais é do que a a Lei de ewton para o movimento de rotação, onde, que é a resultante de todos os torques eternos aplicadas ao corpo rígido de momento de inércia, é proporcional à aceleração angular absoluta do corpo constante de proporcionalidade é o momento de inércia eq () diz respeito ao torque que atua sobre um amortecedor viscoso, a qual é proporcional à velocidade angular relativa entre as etremidades do amortecedor constante de proporcionalidade é o coeficiente de amortecimento viscoso C á a eq (3) mostra a proporcionalidade entre a força da mola de torção e o deslocamento angular relativo das etremidades da mola constante de proporcionalidade é a rigidez Observemos que a aceleração angular é absoluta, ao passo que o deslocamento angular e a velocidade angular são relativos
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 3 MODELGEM MEMÁIC DE SISEMS MECÂICOS ROCIOIS Para a modelagem de sistemas rotacionais, empregamos as equações constitutivas (), () e (3) em conjunto com a a Lei de ewton para o movimento de rotação, também conhecida como Equaçãp de Euler: (4) onde o membro esquerdo representa a resultante dos torques eternos que atuam sobre a massa, é o momento de inércia da massa em relação ao eio de rotação e é a coordenada angular adotada Vamos ilustrar a técnica da modelagem através de eemplos Eemplo : sistema motor-propulsor (fig ) Fig a fig, o momento de inércia das peças rotativas do motor é representado por e e o momento de inércia do propulsor por p O torque de acionamento do motor é dado por (t) Consideraremos que o eio tem massa desprezível em comparação com as massas do motor e do propulsor, sendo ele representado por uma rigidez torcional Vamos admitir, também, a eistência de um torque de resistência aerodinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade de rotação do propulsor Para o desenvolvimento do modelo matemático, vamos escrever as equações do movimento a partir do diagrama de corpo livre da fig, considerando > : Fig e - ( ) C p Coordenada : (t) ( ) Coordenada : e p C - (5) - (t) (6) Como vemos, o modelo matemático é composto de duas equações diferenciais: uma linear e outra não linear
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 3 Eemplo : sistema engrenado (fig 3) Fig 3 fig 3 mostra um sistema com duas engrenagens, estando a maior delas ( dentes e raio primitivo r ) conectada a um eio cuja outra etremidade está fiada a uma estrutura Sobre a engrenagem menor ( dentes e raio primitivo r ) atua um torque (t) sen ωt Para o desenvolvimento do modelo matemático, vamos antes transferir a inércia da engrenagem menor para o eio da engrenagem maior: (7) eq O torque (t), por sua vez, também pode ser transferido para o eio da engrenagem maior, tendo em vista que (ver fig 4) Fig 4 (8) senωt r F (9) eq (t) r F logo r () eq(t) sen ωt r Podemos, então, escrever as equações do movimento a partir do diagrama de corpo livre da fig 5: eq - eq Fig 5 r Levando em conta as eqs (7) e (): senωt - r
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 4 Ordenando e tendo em conta que, r, chegamos finalmente a r () senωt Eemplo 3: sistema rotacional com dois GDL (fig 6) Fig 6 Vamos representar no Espaço de Estados o sistema rotacional da fig 6, considerando e como variáveis de estado e como saídas os deslocamentos angulares e Consideremos os diagramas de corpo livre da fig 7: Fig 7 Modelo matemático: (t) - ( ) C Mola : ( ) Disco : Ordenando: () ( ) (3) C (t)
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 5 Equação de Estado: Variáveis de estado: Derivando: ] C [(t) ] C [(t) Levando em conta a eq () e ordenando: (t)] C [ a forma matricial: (4) [ ] (t) C ) ( Equação de Saída: Considerando as variáveis de estado e a eq (): a forma matricial: (5) [ ] (t) EXERCÍCIOS Deduzir o modelo matemático para o pêndulo simples da figura É a equação diferencial linear ou não-linear? Solução Seja a coordenada generalizada Decompondo o peso em suas componentes radial e transversal ao fio, podemos aplicar a Equação de Euler em relação ao ponto O Evidentemente, somente a componente transversal faz momento:
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 6 ( mg sen )L ml ml (t) mg sen (t) Vemos que o modelo matemático é uma EDO não-linear Considerando no pêndulo do eercício que, para pequenas oscilações, sen em radianos (verifique na sua calculadora), linearize o modelo matemático do pêndulo, transformando-o em uma EDOL Resp: ml (t) mg(t) 3 Considerando, no eemplo do teto, (t) como entrada e (t) como saída, achar a função de transferência do sistema 4 Deduzir o modelo matemático para o pêndulo composto da figura Linearizar o modelo 5 Considere o eemplo 3 do teto che a função de transferência sendo (t) a entrada e a saída
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos ranslacionais pela Mecânica ewtoniana 7 6 figura mostra o motor de um barco (torque e (t) e momento de inércia e ) acionando o propulsor a hélice (momento de inércia p ), através de acoplamentos (momentos de inércia c e c ) e eios fleíveis (rigidezes e ) Desenvolver um modelo matemático para o sistema, incluindo o torque resistente w que a água oferece ao movimento Resp: 7 O sistema da figura consiste de um momento de inércia, correspondente ao rotor de uma turbina, o qual está acoplado ao momento de inércia do propulsor Potência é transmitida através de um acoplamento fluido com coeficiente de atrito viscoso C e um eio com rigidez Um torque de acionamento (t) é eercido sobre e um torque de carga L é eercido sobre Sendo a entrada o torque (t) e a saída a velocidade angular, representar o modelo matemático (a) no espaço de estados; (b) na forma de equação I/O (c) na forma de função de transferência