caderno do ROFESSOR ensino médio 3 a SÉRIE volume 3-009 MATEMÁTICA
Governador José Serra Vice-Governador Albero Goldman Secreário da Educação aulo Renao Souza Secreário-Adjuno Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinee Fernando adula Coordenadora de Esudos e Normas edagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Meropoliana da Grande São aulo José Benedio de Oliveira Coordenador de Ensino do Inerior Rubens Anonio Mandea residene da Fundação para o Desenvolvimeno da Educação FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Albero Vanzolini residene do Conselho Curador: Anonio Rafael Namur Musca residene da Direoria Eecuiva: Mauro Zilbovicius Direor de Gesão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary lonski Coordenadoras Eecuivas de rojeos: Beariz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CEN Coordenadoria de Esudos e Normas edagógicas Coordenação do Desenvolvimeno dos Coneúdos rogramáicos e dos Cadernos dos rofessores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: aulo Miceli, Luiza Chrisov, Adilon Luís Marins e Renê José Trenin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Sanos e Sérgio Adas Hisória: aulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Sanos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teieira de Souza Marins, Marcelo Sanos Masse Lacombe, Melissa de Maos imena e Sella Chrisina Schrijnemaekers Ciências da Naureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperane Limp, Maria Augusa Querubim Rodrigues ereira, Olga Aguilar Sanana, aulo Robero da Cunha, Rodrigo Venuroso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Crisina Leie, João Carlos Miguel Tomaz Michelei Neo, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperane Limp, Maíra Baisoni e Silva, Maria Augusa Querubim Rodrigues ereira, aulo Rogério Miranda Correia, Renaa Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Sanos Jordão, Simone Jaconei Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Esevam Rouinol, Guilherme Brockingon, Ivã Gurgel, Luís aulo de Carvalho iassi, Marcelo de Carvalho Bonei, Maurício ierocola ino de Oliveira, Mawell Roger da urificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz eioo, Isis Valença de Sousa Sanos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda eneado Lamas e Yvone Mussa Esperidião A Secrearia da Educação do Esado de São aulo auoriza a reprodução do coneúdo do maerial de sua iularidade pelas demais secrearias de educação do país, desde que manida a inegridade da obra e dos crédios, ressalando que direios auorais proegidos* deverão ser direamene negociados com seus próprios iulares, sob pena de infração aos arigos da Lei nº 9.60/98. * Consiuem direios auorais proegidos odas e quaisquer obras de erceiros reproduzidas no maerial da SEE-S que não esejam em domínio público nos ermos do arigo da Lei de Direios Auorais. Caalogação na Fone: Cenro de Referência em Educação Mario Covas S39c Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Are: Gisa icosque, Mirian Celese Marins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara ereira Educação Física: Adalbero dos Sanos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neo, Mauro Bei e Sérgio Robero Silveira LEM Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, riscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua oruguesa: Alice Vieira, Débora Malle ezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Maeos Maemáica Maemáica: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz asore Mello, Robero erides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César ieropaolo e Waler Spinelli Caderno do Gesor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de rodução Coordenação Eecuiva: Beariz Scavazza Assessores: Ale Barros, Beariz Blay, Carla de Meira Leie, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Auguso, Luiza Chrisov, Maria Eloisa ires Tavares, aulo Eduardo Mendes, aulo Robero da Cunha, epia raa, Renaa Elsa Sark, Solange Wagner Locaelli e Vanessa Dias Morei Equipe Ediorial Coordenação Eecuiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa rojeo Ediorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e rodução Ediorial: Edições Jogo de Amarelinha, Coneão Ediorial e Occy Design (projeo gráfico) AOIO FDE Fundação para o Desenvolvimeno da Educação CT, Impressão e Acabameno Esdeva Indúsria Gráfica São aulo (Esado) Secrearia da Educação. Caderno do professor: maemáica, ensino médio - 3ª- série, volume 3 / Secrearia da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz asore Mello, Nílson José Machado, Robero erides Moisés, Waler Spinelli. São aulo : SEE, 009. ISBN 978-85-789-36-. Maemáica. Ensino Médio 3. Esudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz asore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Robero erides. VI. Spinelli, Waler. VII. Tíulo. CDU: 373.5:5
Caras professoras e caros professores, Tenho a graa saisfação de enregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do rofessor. Vocês consaarão que as ecelenes críicas e sugesões recebidas dos profissionais da rede esão incorporadas ao novo eo do currículo. A parir dessas mesmas sugesões, ambém organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações consanes acerca do grande esforço que em caracerizado as ações de professoras, professores e especialisas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secrearia segue muio moivada para apoiá-los, mobilizando odos os recursos possíveis para garanir-lhes melhores condições de rabalho. Conamos mais uma vez com a colaboração de vocês. aulo Renao Souza Secreário da Educação do Esado de São aulo
Sumário São aulo faz escola Uma roposa Curricular para o Esado 5 Ficha do Caderno 7 Orienação geral sobre os Cadernos 8 Siuações de Aprendizagem Siuação de Aprendizagem Grandezas, inerdependência: um panorama sobre funções Siuação de Aprendizagem Consrução de gráficos: um olhar funcional Siuação de Aprendizagem 3 As rês formas básicas de crescimeno ou decrescimeno: a variação e a variação da variação 7 Siuação de Aprendizagem Os fenômenos naurais e o crescimeno ou decrescimeno eponencial: o número 37 Orienações para Recuperação 50 Recursos para ampliar a perspeciva do professor e do aluno para a compreensão do ema 5 Considerações finais 53 Coneúdos de Maemáica por série/bimesre do Ensino Médio 5
SãO AUlO FAz ESCOlA UMA ROOSA CURRiCUlAR ARA O ESAdO rezado(a) professor(a), É com muia saisfação que lhe enregamos mais um volume dos Cadernos do rofessor, pare inegrane da roposa Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamenal Ciclo II e do Ensino Médio do Esado de São aulo. É sempre oporuno relembrar que esa é a nova versão, que raz ambém a sua auoria, uma vez que inclui as sugesões e críicas recebidas após a implanação da roposa. É ambém necessário relembrar que os Cadernos do rofessor espelharam-se, de forma objeiva, na Base Curricular, referência comum a odas as escolas da rede esadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, jusa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem regisros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o empo de rabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveiado. Já emos as primeiras noícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Ese mério é, sem dúvida, de odos os profissionais da nossa rede, especialmene seu, professor! O objeivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práicas de sala de aula. odemos dizer que ese objeivo esá sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Esado de São aulo fizeram dos Cadernos um insrumeno pedagógico com bons resulados. Ao enregar a você eses novos volumes, reieramos nossa confiança no seu rabalho e conamos mais uma vez com seu enusiasmo e dedicação para que odas as crianças e jovens da nossa rede possam er acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior. Maria Inês Fini Coordenadora Geral rojeo São aulo Faz Escola 5
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FiChA do CAdERnO Funções como relações de inerdependência: qualidades, gráficos, ransformações, variações nome da disciplina: Maemáica área: Maemáica Eapa da educação básica: Ensino Médio Série: 3 a Volume: 3 emas e coneúdos: A ideia de função: um panorama de eemplos Consrução e análise de gráficos de funções Análise da variação das funções: crescimeno, decrescimeno, aas 7
ORiEnAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS Os emas escolhidos para compor o coneúdo disciplinar de cada bimesre não se afasam, de maneira geral, do que é usualmene ensinado nas escolas, ou do que é apresenado pelos livros didáicos. As inovações preendidas referem-se à forma de abordagem desses emas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimesres. Em al abordagem, busca-se evidenciar os princípios noreadores do presene currículo, desacando-se a coneualização dos coneúdos, as compeências pessoais envolvidas, especialmene as relacionadas com a leiura e a escria maemáica, bem como os elemenos culurais inernos e eernos à Maemáica. Em odos os Cadernos, os coneúdos esão organizados em oio unidades de eensões aproimadamene iguais, que podem corresponder a oio semanas de rabalho leivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor eplorará cada assuno com mais ou menos aprofundameno. A criério do professor, em cada siuação específica, o ema correspondene a uma das unidades pode ser esendido para mais de uma semana, enquano o de oura unidade pode ser raado de modo mais simplificado. É desejável que o professor ene conemplar odas as oio unidades, uma vez que, junas, compõem um panorama do coneúdo do bimesre e, muias vezes, uma das unidades conribui para a compreensão das ouras. Insisimos, no enano, no fao de que somene o professor, em sua circunsância paricular e levando em consideração seu ineresse e o dos alunos pelos emas apresenados, pode deerminar adequadamene quano empo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresenadas, além de uma visão panorâmica do coneúdo do bimesre, quaro Siuações de Aprendizagem (,, 3 e ), que preendem ilusrar a forma de abordagem sugerida, insrumenalizando o professor para sua ação em sala de aula. As siuações são independenes e podem ser eploradas pelo professor com mais ou menos inensidade, segundo o seu ineresse e da sua classe. Nauralmene, em razão das limiações no espaço dos Cadernos, nem odas as unidades foram conempladas com Siuações de Aprendizagem, mas a epecaiva é de que a forma de abordagem dos emas seja epliciada nas aividades oferecidas. São apresenados ambém em cada Caderno, sempre que possível, maeriais disponíveis (eos, sofwares, sies, vídeos, enre ouros) em sinonia com a forma de abordagem proposa que podem ser uilizados pelo professor para o enriquecimeno de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o coneúdo considerado indispensável ao desenvolvimeno das compeências esperadas no presene bimesre em cada Siuação de Aprendizagem. 8
Maemáica 3 a série Volume 3 Coneúdos básicos do bimesre O coneúdo básico do 3 o bimesre da 3 a série é a ideia de função, que é a radução, em linguagem maemáica, da relação de inerdependência enre duas ou mais grandezas. Tal ideia já foi apresenada aos alunos aneriormene em diversas siuações e seria ineressane uma breve reomada de ais ocorrências por pare do professor, anes de iniciar os rabalhos dese bimesre. O fundameno dessa noção pode ser enconrado na 6 a série do Ensino Fundamenal, no esudo da proporcionalidade direa ou inversa: quando duas grandezas são proporcionais, o valor de uma delas é deerminado pelo valor da oura, ou seja, se y é proporcional a, para cada valor de eise em correspondência um e somene um valor para y, ou seja, y é uma função de. No caso da proporcionalidade direa, epressamos al fao escrevendo: y = k; na proporcionalidade inversa, raduzimos a inerdependência escrevendo y= k, sendo k uma consane, nos dois casos. Na 8 a série, al noção foi eplorada um pouco mais, esudando-se as funções de o grau y = a + b, que sempre raduzem uma proporcionalidade (enre y b e ), e as funções de o grau y = a + b + c, que sempre raduzem uma proporcionalidade enre uma grandeza e o quadrado de oura. De fao, uma vez que sempre podemos escrever o rinômio de o grau na forma y = k( u) + v, podemos dizer que y v é direamene proporcional a ( u). Na a série do Ensino Médio, reomamos o esudo das funções, procurando caracerizar melhor a siuação de inerdependência enre duas grandezas, uma das quais pode variar livremene é a variável independene sendo que a oura em o seu valor deerminado pelo valor da primeira é a variável dependene. Assim, sendo a variável independene, se a cada valor de corresponde um único valor da variável dependene y, enão dizemos que y é uma função de e escrevemos y = f(). Nessa perspeciva, foram esudadas as funções de o grau f() = a + b e a de o grau f() = a + b + c. Além disso, foram esudados dois ipos especiais de função, em que uma das variáveis aparece como epoene, como nos casos em que y = a ou = a y, sendo a uma consane posiiva e diferene de. No primeiro caso, em que a variável independene esá no epoene, emos a função eponencial f() = a e, no segundo, em que a variável dependene esá no epoene, escrevemos f() = log a, e emos a função logarímica. Ambas as funções são especialmene imporanes para represenar maemaicamene fenômenos que não envolvem proporcionalidade direa ou inversa enre as grandezas, mas em que uma delas cresce ou decresce eponencialmene com a oura: crescimeno de populações, juros composos, desinegração radioaiva são eemplos de fenômenos desse ipo. Na a série do Ensino Médio, fomos apresenados a um novo ipo de função, especialmene adequada para a represenação de fenômenos periódicos: as funções rigonoméricas f() = sen, g() = cos, enre ouras. 9
Em ais funções, embora os valores de possam variar livremene ao longo de oda a rea real, os valores correspondenes de f() repeem-se periodicamene, siuando-se enre os eremos e. Em odas essas siuações, foram apresenadas ceras qualidades das funções em quesão, sobreudo as associadas aos respecivos gráficos e relaivas ao crescimeno ou decrescimeno, bem como à evenual eisência de valores máimos ou mínimos, por eemplo. A parir de agora, serão eploradas de modo um pouco mais sisemaizado as qualidades / caracerísicas das funções já esudadas em séries aneriores, ampliando-se as possibilidades de consrução de gráficos e da compreensão das formas básicas de crescimeno ou decrescimeno. Com isso, a possibilidade de uilização de funções para compreensão de fenômenos da realidade concrea será ampliada, e os alunos poderão apreciar com mais niidez a riqueza da linguagem das funções. ara a organização dos rabalhos ao longo do bimesre, propomos a seguine esruura: f Nas rês primeiras unidades, serão apresenadas as funções já esudadas em séries aneriores (funções de o e o graus, funções polinomiais, funções eponencial e logarímica, funções rigonoméricas), endo em visa não somene a recordação de suas principais qualidades, mas ambém a consrução de um panorama comparaivo das relações de inerdependência já conhecidas (Siuação de Aprendizagem Grandezas, inerdependência: um panorama sobre funções). f Nas duas unidades seguines, serão eplorados especialmene os recursos para a consrução de gráficos envolvendo as funções apresenadas nas rês primeiras unidades, incluindo as ransformações que se podem realizar sobre cada uma delas: composição, ranslações, ec. (Siuação de Aprendizagem Consrução de gráficos: um olhar funcional ). f Nas rês úlimas unidades, buscar-se-á caracerizar as diferenes formas de crescimeno ou decrescimeno, as aas de variação e suas relações com as concavidades (as infleões). Ainda que a abordagem seja essencialmene qualiaiva, serão calculados os valores das aas em alguns eemplos simples (Siuação de Aprendizagem 3 As rês formas básicas de crescimeno ou decrescimeno: a variação e a variação da variação). Será apresenada ainda uma rerospeciva das funções das unidades aneriores, endo em visa um esudo simples do crescimeno, do decrescimeno e das aas de variação, à guisa de conclusão (Siuação de Aprendizagem Os fenômenos naurais e o crescimeno ou decrescimeno eponencial: o número ). 0
Maemáica 3 a série Volume 3 Quadro geral de coneúdos do 3 o bimesre da 3 a série do Ensino Médio Unidade A ideia de função Da proporcionalidade às funções polinomiais. Unidade Variável no epoene Funções eponencial e logarímica. Unidade 3 Fenômenos periódicos e funções rigonoméricas. Unidade Consrução de gráficos Em vez de pono a pono, um olhar funcional. Unidade 5 Funções e ransformações: composições, ranslações, inversões. Unidade 6 Formas básicas de crescimeno e decrescimeno Taas de variação e concavidade; polinômios. Unidade 7 O crescimeno eponencial e a função f() =. Unidade 8 Eercícios sobre funções, incluindo gráficos, aas de variação, concavidade, crescimeno eponencial.
SiUAçõES de AREndizAGEM SITuAçãO DE ARENDIzAGEM GRANDEzAS, INTERDEENDêNCIA: um ANORAMA SObRE FuNçõES Muias relações de inerdependência enre grandezas já erão sido esudadas pelos alunos aé o presene bimesre, desde as siuações que envolviam grandezas proporcionais aé aquelas que consideravam o crescimeno ou o decrescimeno eponencial, ou ainda as que se referiam a fenômenos periódicos, em que os valores de uma grandeza repeem-se caprichosamene a cada novo período. Nosso objeivo agora é recordar ais emas, munindo-os de uma linguagem e de recursos mais amplos, ou seja, abordando ais inerdependências como funções. Ao mesmo empo, procuraremos compor um panorama das funções aé aqui esudadas, desacando suas qualidades essenciais e fazendo com que colaborem muuamene, favorecendo uma compreensão mais ampla de múliplos fenômenos da realidade. As compeências básicas epressão, compreensão, coneualização, argumenação, decisão esarão presenes coninuamene ao longo das aividades previsas, uma vez que, como já se afirmou aneriormene, buscamos com as funções uma linguagem adequada para compreender e epressar fenômenos de diferenes ipos, praicando efeivamene o movimeno de apreender um coneo e represená-lo por meio da linguagem maemáica, endo sempre como mea a argumenação e a omada de decisões em siuações concreas. Sugere-se ao professor que uilize duas semanas na consrução do panorama sobre o esudo das funções já realizado aé o presene momeno nas séries aneriores. empo previso: semanas. Coneúdos e emas: panorama/resumo sobre funções de o e o graus, funções eponencial e logarímica, funções rigonoméricas, com a apresenação de seus gráficos em siuações simples e de suas propriedades fundamenais. Compeências e habilidades: epressar e compreender fenômenos de diferenes ipos por meio da linguagem maemáica, especificamene por meio da represenação de funções; argumenar e omar decisões na resolução de siuações-problema vinculadas a fenômenos da realidade. Esraégias: apresenação, de forma sinéica, dos coneúdos e emas, com desaque para a ideia de função como uma especial siuação de inerdependência; eploração de alguns eercícios eemplares dos vários ipos de função em esudo.
Maemáica 3 a série Volume 3 Roeiro para aplicação da Siuação de Aprendizagem Coneúdos e emas Seria ineressane que o professor recordasse as caracerísicas principais das funções referidas aneriormene, quais sejam: f Função de o grau: y = a + b, com a e b consanes, a 0 Esudada na 6 a série do Ensino Fundamenal, na 8 a série do Ensino Fundamenal, na a série do Ensino Médio e no o bimesre da 3 a série do Ensino Médio, essa função epressa a proporcionalidade direa enre y b e. O coeficiene a represena a variação de y por unidade a mais de, a parir de qualquer pono. f Função do o grau: y = a + b + c, com a, b e c consanes, a 0 Esudada na 8 a série do Ensino Fundamenal, na a série do Ensino Médio e no o bimesre da 3 a série do Ensino Médio. O sinal do coeficiene a indica a concavidade da curva que é o gráfico (parábola): quando a > 0, a concavidade é para cima e a função em um b valor mínimo no pono (u,v), sendo u = a e v = f(u); quando a < 0, a concavidade é para baio e a função em um valor máimo no b pono (u,v), sendo u = e v = f(u). a f Função y= k, com k consane, k 0 Esudada na 6 a série do Ensino Fundamenal e na 3 a série do Ensino Médio, essa função represena a proporcionalidade inversa enre as grandezas y e ; podemos dizer que y é inversamene proporcional a ou que é inversamene proporcional a y. A curva que represena o gráfico é uma hipérbole. f Funções eponencial e logarímica: y = a e y = log a, com a > 0 e a Esudadas na a série do Ensino Médio, as funções eponenciais e logarímicas podem ser enendidas com base na mesma relação y = a, a parir da qual se pode escrever = log a y. De modo geral, represenam siuações em que uma variável enconra-se no epoene, caracerizando um crescimeno ou decrescimeno eponencial. Quando a variável independene esá no epoene, emos a função eponencial; quando a variável dependene esá no epoene, emos a função logarímica. f Funções rigonoméricas: y = sen, y = cos, y = g, y = sec, enre ouras Esudadas na a série do Ensino Médio. Vale a pena desacar que o cosseno de um arco é o seno do arco complemenar de, ou seja, o seno de π, de modo que odas as propriedades da função cosseno podem ser deduzidas a parir da função seno. Algo similar ocorre com a função cossecane de, que é a secane do complemeno de, e coangene de, que é a angene do complemeno de. Assim, as duas funções rigonoméricas fundamenais são y = sen e y = g. A consrução dos gráficos correspondenes na forma básica poderá ser apresenada 3
ou recordada com maior ou menor ênfase, uma vez que uma ampliação nos recursos para a consrução de gráficos será realizada nas unidades e 5 (Siuação de Aprendizagem ). uma esraégia a ser eplorada nesa Siuação de Aprendizagem, para a apresenação dos coneúdos e emas acima descrios, é a seguine: f apresenação de forma sinéica dos coneúdos e emas, com desaque para a ideia de função como uma especial siuação de inerdependência; f eploração de alguns eercícios eemplares dos vários ipos de função em esudo. uma grandeza pode depender dos valores aribuídos a duas ouras; a área A de um reângulo depende dos comprimenos de seus dois lados, e y. Dizemos, nesse caso, que A é uma função das duas variáveis independenes e y. Na escola básica, somene esudamos funções de uma variável, mas podemos facilmene imaginar siuações práicas em que uma grandeza depende simulaneamene de várias ouras, sendo uma função de diversas variáveis. Alguns eemplos simples de funções são apresenados a seguir: Eemplo O comprimeno C de uma circunferência é uma função de seu raio : C = π Apresenação dos coneúdos e emas uma grandeza é algo que pode ser medido; seu valor é o resulado dessa medida e pode ser consane ou variável em cada siuação concrea. Chamaremos uma grandeza variável (ou consane) apenas de variável (ou consane). Quando uma variável y depende de oura variável de al forma que a cada valor que aribuímos livremene a corresponde um único valor para y, dizemos que y é uma função de, e escrevemos y = f(). Dizemos que é a variável independene e que y é a variável dependene. Nauralmene, qualquer lera pode represenar as variáveis dependene e independene; quando escrevemos w = f(z), por eemplo, queremos dizer que a variável dependene w é uma função da variável independene z. Eemplo O preço p a pagar por uma corrida de ái de quilômeros é uma função de : p = f()
Maemáica 3 a série Volume 3 Eemplo 3 A área A de um quadrado é uma função de seu lado : A = Eemplo A disância verical y percorrida por um corpo em queda livre é uma função do empo de queda: y = f(). (próimo à superfície da Terra emos y =,9, y em meros e em segundos) Eemplo 6 Manendo-se consane a emperaura, a pressão de um gás no inerior de um recipiene de volume variável V é uma função de V: = f(v). No caso, emos = k, V onde k é uma consane. Eemplo 5 A massa m de uma subsância radioaiva diminui com o empo, ou seja, é uma função do empo de decomposição : m = f(). ara cera subsância, em-se m = m o. 0,, em que m o é a massa inicial e o empo de decomposição em horas. Eemplo 7 uma pequena bola é presa a uma mola perfeiamene elásica; afasada da posição O de equilíbrio de uma disância a, a bola oscila em orno da mola, deslocando-se em uma superfície lisa, horizonal; a disância da bola aé o pono O depende do insane considerado, ou seja, é uma função de : = f(). No caso, emos = a. cos(k), onde k é uma consane que depende da elasicidade da mola e da massa da bola. 5
Eercícios eemplares Alguns eercícios proposos a seguir poderão servir de preeo para uma revisão do que já foi esudado sobre funções aé o presene momeno. Com base em cada um dos eercícios, o professor poderá sugerir ou criar ouros eercícios análogos. Aividade Na figura seguine esá represenada uma viga rea Ab, que susena um arco Ab de parábola, consruído de ferro e apoiado em hases vericais. A largura l do vão é de 0 m e a flecha f do arco de parábola em 5 m. Sabendo que as hases vericais são igualmene espaçadas no vão, calcule seus comprimenos y, y e y 3. Escolhendo o sisema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico da função f() = a + c, com a < 0. Como as hases são igualmene espaçadas, os comprimenos das hases serão os valores de f() para = 5, = 0 e 3 = 5. Como a flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f() = a + 5. Como o pono B em abscissa = 0 e ordenada y = 0, segue que f(0) = 0 e enão, 0 = a. 0 + 5, ou seja, a = 80. Logo, f() = 80 +5 e os valores procurados são: 75 y = f( ) = f( 5) = 69, m 6 5 y = f( ) = f( 0) = 375, m 35 y = f( ) = f( 5) = 9, m 3 3 6 Aividade Enre odos os reângulos de perímero m, qual deles em a maior área? m m 6 m 6 m Um reângulo de perímero m pode ser bem magrinho, endo área muio pequena. Chamando de e y os lados de um reângulo, seu perímero será p = + y e sua área será A = y. Como devemos er p =, 6
Maemáica 3 a série Volume 3 a cada valor de escolhido corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de. No caso, emos y =. A área do reângulo é uma função de e y, mas como y =, segue que a área A é uma função de : A = f() =.( ) =. Esa função é um rinômio de o grau que se anula para = 0 e para =. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade volada para baio, ou seja, a função área apresena um valor máimo no pono de coordenadas (u; v), ( sendo + ) u = e v = f(u). Logo, u = 6 e A má = f(6) = 36. O reângulo de perímero m e área máima é, pois, o quadrado de lado 6 m; a área máima é igual a 36 m. Aividade 3 A população n de deerminado município cresce eponencialmene desde a sua fundação, há 0 anos, de acordo com a epressão N = 3000. 0 0,, sendo em anos. a) Esboce o gráfico de n como função de. 6 000 9 868 N A população N é uma função do empo, conado a parir da fundação: N = f()= 3 000. 0 0,. O gráfico de f(), nese caso, é o de uma função eponencial crescene, cujo valor inicial (para = 0) é 3000. b) Calcule o valor da população n, 5 anos após a fundação do município. O valor de N para = 5 é N = f(5) = = 3 000. 0 0,.5 = 3 000. 0 9 868 habianes 3 c) Depois de quano empo, após a fundação, o valor de n aingiu 6 000 habianes? O valor de N será 6000 para um valor de al que f() = 6000, ou seja, 3 000. 0 0, = 6 000 Logo, 0 0, = 7 e 0, = log7 Consulando uma abela de logarimos ou usando uma calculadora, obemos log7 =,86; segue que 8,6 anos. Aividade Cera subsância radioaiva se decompõe de al forma que sua massa m reduz-se à meade do valor inicial a cada horas, ou seja, m = m o. 0,5, sendo m o o valor inicial da massa ( em horas). arindo de 60 g da subsância, pede-se: 3 000 0 5 8,6 a) o gráfico de m como função de ; A função m = f() = 60. 0,5 é uma eponencial decrescene, a parir do valor inicial 60. 7
m 60 m = 60. 0,5? 8 b) a massa m resane após 8 h; O valor de f() para = 8 é: m = f(8) = 60. 0,5. 8 = 5 g horizonal lisa, conforme mosra a figura. Com a mola em seu comprimeno normal, a bolinha fica em equilíbrio, parada. Afasando-se a bolinha 0 cm da posição de equilíbrio, a mola fica esicada; abandonando-se, enão, a bolinha, ela passa a oscilar em orno da posição inicial, realizando um movimeno de vai e vem. É possível mosrar que o afasameno da bolinha em relação à posição de equilíbrio é uma função periódica do empo, e pode ser epressa pela fórmula = 0. cos(k), com em cenímeros e em segundos. Noando que a bolinha reorna à posição em que foi abandonada ( = 0) a cada segundos: c) a epressão de como função de m; Epressando em ermos de m, ou seja, escrevendo como uma função de m, obemos sucessivamene: 60. 0,5 = m = 60 m 05, = log 60 =.log m 60 0, 5 m d) após quano empo a massa resane será igual a g? ara saber após quano empo a massa m será igual a g podemos usar a epressão de m em função de, ou a epressão de em função de m obida no iem c: =.log 60 =.log 5 =.log 5 Usando uma calculadora, obemos o valor log 5,3; segue que 9,8 h. Aividade 5 uma pequena bola é presa a uma mola perfeiamene elásica, apoiada em uma superfície a) deermine o valor de k; Sabemos que para = 0, = 0 e que para =, emos = 0 (primeiro reorno à posição inicial), resula, enão: 0 = 0. cos(k. ) Logo, cos(k) =, o que implica: k = π, ou seja, k= π Noe que para = 8, ambém emos 0cos(k. 8) = 0, e cos(8k) = ; ambém emos 8k = π (segundo reorno à posição inicial). 8
Maemáica 3 a série Volume 3 b) calcule o valor de para = s, = s, = 3s e = 0 s 3. Sendo, = 0.cos calculemos os valores de para os valores indicados de : = = 0. cos π = 0 cm = = 0. π. co s = 0 c os π = 0 cm = 3 = 0. cos π. 3 = 0 cm = 0 3 π 0 = 0. co s =. c 3 s π =. c 5 π 0 os 3 = 0. = 5 cm c) consrua o gráfico de como função de. π O gráfico da função f. = () = 0 cos é mosrado a seguir: π. 0 cos π f a curva que represena o gráfico de uma função polinomial é conínua, suave, assumindo odos os valores inermediários enre dois valores dados; f o número de raízes reais de uma equação polinomial (algébrica) de grau 3 é no máimo 3; f em consequência, o gráfico não corará o eio em ouro pono, além dos 3 já idenificados; f o valor de f(0) é ( ).( ).( 5), ou seja, é 0. Reunindo as informações aneriores, emos o esboço do gráfico: y 0 5 f() = ( ).( ).( 5) 0 Consruindo o gráfico efeivamene, usando um sofware, obemos: Aividade 6 Esboçar o gráfico da função polinomial f() = ( ).( ).( 5). Noamos que o gráfico cora o eio nos ponos (;0), (;0), e (5;0), ou seja, que =, = e = 5 são raízes da equação polinomial de grau 3 correspondene à igualdade f() = 0. Isso é suficiene para um esboço do gráfico de f() pelas seguines razões: É ineressane noar que, na função polinomial f() = a 3 + b + c + d, quando assume valores muio alos, os valores de f() 9
acompanham de pero os valores absoluos de a 3, sendo muio alos, se a > 0, ou muio baios, se a < 0. No eemplo, como a =, emos valores de f() muio alos para valores muio grandes de e valores de f() muio baios para valores muio pequenos de. Consruindo efeivamene o gráfico usando um sofware, obemos: Aividade 7 Esboçar o gráfico da função polinomial f() =.( + ).( ).(3 7). De modo análogo ao que foi feio na aividade 6, emos: f as raízes da equação polinomial de grau represenada pela igualdade f() = 0 são = 0, =, = e = 7 3 ; f sendo a equação de grau, ela erá no máimo raízes reais, ou seja, o gráfico somene corará o eio nos ponos correspondenes às quaro raízes mencionadas; f noamos, mesmo sem efeuar os cálculos, que o coeficiene do ermo em é posiivo e igual a 3, ou seja, quando os valores de crescem muio, os valores de f() são dominados pelos valores de 3, ou seja, ornam-se cada vez maiores; o mesmo ocorre quando se orna muio pequeno ( 000 000, por eemplo), uma vez que o maior epoene de é par; f segue o esboço do gráfico de f(): Considerações sobre a avaliação Ao final dese percurso de aprendizagem, a epecaiva é que os alunos reconheçam siuações de inerdependência enre grandezas em coneos caracerísicos, como o da proporcionalidade direa e inversa, o do crescimeno eponencial e logarímico e dos fenômenos periódicos, associados a funções do ipo seno ou cosseno. As caracerísicas das funções polinomiais de o e o graus, esudadas já na 8 a série do Ensino Fundamenal, devem aqui ser consolidadas. Os gráficos das funções esudadas podem ser apresenados apenas na forma básica, sem eploração maior das ransformações que podem ser realizadas sobre eles, uma vez que al esudo será realizado mais adiane. As aividades apresenadas no roeiro desa Siuação de Aprendizagem represenam uma amosra da epecaiva sobre o resulado final do panorama composo. y f() =.(+).( ).(3 7) 0 7 3 Como dio inicialmene, a consrução de um panorama sobre as siuações de inerdependência eve como esraégia a eploração de algumas aividades consideradas eemplares, que consiuiriam meros preeos para o professor, a parir deles, recordar ou apresenar as caracerísicas das funções envolvidas. 0
Maemáica 3 a série Volume 3 SITuAçãO DE ARENDIzAGEM CONSTRuçãO DE GRáFICOS: um OlhAR FuNCIONAl Convidamos o professor, nesa Siuação de Aprendizagem, a eplorar uma forma especial de consruir o gráfico de uma função y = f(), que pode ser muio ineressane. Nosso objeivo é apresenar uma nova esraégia, que complemena a esraégia mais frequene, qual seja, a aribuição de valores à variável independene, a deerminação dos valores da variável dependene y, a consrução de abelas com os valores de e y e a represenação dos ponos (;f()) no plano caresiano. Esse procedimeno pono a pono pode ser muio ineressane quando já sabemos o ipo de curva que será o gráfico, mas é bem pouco efeivo quando não dispomos dessa informação. Com os conhecimenos que já emos sobre as funções apresenadas na Siuação de Aprendizagem, vamos agora procurar desenvolver um olhar funcional sobre a epressão y = f(), procurando idenificar as funções mais simples componenes da epressão f(). ara ober o gráfico de f() = + 5, por eemplo, basa consruir o gráfico de y = e deslocá-lo para cima 5 unidades, na direção do eio y. Muias ransformações simples podem ser realizadas a parir dos gráficos das funções em sua forma básica, como foi apresenado na Siuação de Aprendizagem. As mesmas compeências básicas associadas aos coneúdos e emas da Siuação de Aprendizagem esarão presenes nesa Siuação de Aprendizagem, com desaque para a epressão e compreensão. Sugere-se que o professor uilize duas semanas na eploração dessa nova esraégia para a consrução de gráficos. empo previso: semanas. Coneúdos e emas: apresenação dos gráficos das funções recordadas na Siuação de Aprendizagem anerior; consrução de gráficos de siuações de inerdependência envolvendo composições, ranslações, ampliações, reduções, apresenadas de modo informal. Compeências e habilidades: epressar fenômenos diversos por meio de gráficos; compreender ransformações realizadas sobre eles em diferenes coneos. Esraégias: apresenação de eemplos ilusraivos da consrução de gráficos segundo um olhar funcional ; proposição e eploração de eercícios represenaivos das diferenes ransformações referidas.
Roeiro para aplicação da Siuação de Aprendizagem Coneúdos e emas f Consrução de gráficos em siuações em que a inerdependência enre grandezas envolve composições de funções, apresenada de modo informal. f Translações, ampliações, reduções e ouras ransformações a serem realizadas nos gráficos das funções já conhecidas em sua forma básica. or eemplo, uma função como f() = ( + 5) pode ser inerpreada como a função f(x) = X, sendo X = ( + 5); já a função f() = sen( 5) pode ser inerpreada como a composição da função f(x) = senx com a função X = ( 5), e assim por diane. Também aqui a esraégia será a apresenação de uma série de eemplos ilusraivos da consrução de gráficos segundo um olhar funcional, que podem servir de preeo para o professor eplicar os coneúdos proposos. A seguir, uma série de eercícios eemplares represenaivos dos vários ipos de ransformações visas aneriormene será proposa para a eploração por pare do professor, que poderá criar a parir deles muios ouros igualmene significaivos ao ema. Eemplos ilusraivos ara ilusrar o que se preende eplorar na presene Siuação de Aprendizagem, vamos eaminar a consrução de alguns gráficos. Eemplo Gráfico de f() = 7 Temos que represenar os ponos (,y) em que y = 7. odemos imaginar o gráfico de y = deslocado 7 unidades para baio na direção do eio y. y 0 y = f() = 7 5 0 6 6 5 Eemplo Gráfico de f() = + sen odemos represenar o gráfico de f() = + sen deslocando o gráfico de y = sen unidades para cima na direção do eio y. y f() = +sen 0 5 0 5 5 0 5 y = sen Eemplo 3 Gráfico de f() = ( 3) odemos imaginar o gráfico de y = deslocado 3 unidades para a direia na direção do eio. O gráfico de y = ( 3) é como se fosse o de y = X, sendo X = 3. O vérice da parábola desloca-se do pono em que = 0 para o pono em que = 3.
Maemáica 3 a série Volume 3 y 9 8 7 6 5 3 0 3 0 3 5 6 7 y = (+ ) Eemplo Gráfico de f() = 3 f() = ( 3) odemos imaginar o gráfico de y = 3 deslocado para a esquerda na direção do eio. O gráfico de y = 3 (+) é como se fosse o de y = 3 X, sendo X = +. É como se o eio y se deslocasse horizonalmene de al forma que o anigo pono em que = 0 fosse coincidir com o novo pono em que = (ou seja, X = 0). y 3 0 9 f() = 3 (+) 8 7 6 5 3 0 9 8 7 6 5 3 0 3 y = 3 Eemplo 5 Gráfico de f() = + log ( 5) ara ober o gráfico de y = log ( 5) podemos imaginar o gráfico de y = log deslocado de 5 unidades para a direia, como se esivéssemos consruindo o gráfico de y = log X, sendo X = 5. Depois, deslocamos o gráfico assim obido para cima, na direção do eio y, unidades. y 9 8 f() = + log ( 5) 7 6 5 3 y = log 0 3 3 5 6 7 8 9 0 3 y = log ( 5) Eemplo 6 Gráfico de f( )= + ara consruir o gráfico de f() podemos começar com o de y =. Depois, fazemos o de y = +, deslocando o de y = uma unidade para cima, na direção do eio y. A parir daí, para ober o gráfico de f(), represenamos os ponos (,y) ais que o valor de y seja o inverso de +, para cada valor de. y 3 y = + y = f( )= + 6 5 3 0 3 5 6 É imporane noar que: f no pono onde = 0, + vale e o inverso de + é igual a ; f em odos os ouros ponos + é posiivo e maior do que, logo, seu inverso é posiivo e menor do que ; f assim, o gráfico de f( )= siua-se + sempre acima do eio, aproimando-se mais e mais dele à medida que o valor de aumena, pois quano maior for o valor de +, menor será o valor de seu inverso. 3
Resumindo, na consrução do gráfico de f( )=, podemos seguir os seguines passos: + f consruir o gráfico de y = ; f consruir o gráfico de y = + ; f consruir o gráfico de f( )= +. Eemplo 7 Gráfico 7de f( ) = odemos fazer o gráfico de y = e represenar, para cada valor de, a ordenada y que é o inverso de. Eemplo 8 Gráfico de f( ) = odemos fazer o gráfico de y =, depois o de y = e em seguida represenar os ponos com abscissa e ordenada o inverso de. y y = 5 f( )= + 3 y = 0 3 0 3 3 5 9 8 7 6 5 3 3 y 0 3 É imporane noar que: y = f( ) 3 5 6 7 8 9 f quando = 0 não eise o inverso de, ou seja, a função f() não esá definida; f quano mais próimo de 0 é o valor de, maior é o valor absoluo do inverso de, sendo que valores de posiivos êm inversos posiivos, e valores de negaivos êm inversos negaivos; f quano maior é o valor absoluo de, ano posiivo quano negaivo, mais próimo de 0 é o inverso de, sendo o sinal de sempre igual ao sinal de seu inverso. É imporane noar que: f quando = 0, ou seja, quando emos = ou =, enão a função f() não esá definida; f quando assume valores próimos de ou de, os valores absoluos dos inversos ornam-se muio grandes. Se se aproima de por valores maiores do que, os inversos ornam-se muio grandes (posiivos), enquano se se aproima de por valores menores do que, os inversos ornam-se muio grandes em valor absoluo, mas negaivos. Algo similar ocorre quando se aproima de. Eemplo 9 Gráfico de f() = 3sen O gráfico é análogo ao de y = sen, com a ampliude aumenando de para 3 unidades, ou seja, os valores de f() oscilarão enre +3 e 3.
Maemáica 3 a série Volume 3 3 3 y 0 0 3 5 6 7 8 3 Eemplo 0 Gráfico de f() = 3.sen ara consruir o gráfico de f() = 3.sen, basa imaginar o gráfico de y = A.sen, sendo que o valor de A varia de acordo com segundo a rea y = 3. Assim, o gráfico oscilará enre as reas y = 3 e y = 3, conforme observamos na figura a seguir: 5 60 0 0 0 0 60 y 0 y = 3 Eercícios eemplares 5 0 5 0 5 30 y = 3 f () = 3.sen Muios ouros gráficos poderiam ser obidos sem dependermos das conclusões a que uma represenação de ponos isolados nos conduziria. ara praicar o caminho sugerido nos eemplos aneriores, o professor poderá eplorar os eercícios seguines. Aividade Esboçar no mesmo sisema de coordenadas os gráficos das seguines funções: a) f() = + 9 b) g() = 9 c) h() = 9 d) m() = 9 0 8 y 6 f() = +9 g() = 9 0 8 6 5 3 0 3 5 h() = 9 6 8 0 m() = 9 6 Aividade Esboçar no mesmo sisema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f() = cos b) g() = 5 + cos c) h() = 3 + cos d) m() = 5cos g() = 5 + cos y 5 3 m() = 5cos f()=cos 0 9 8 7 6 5 3 0 3 5 6 7 8 9 0 3 h()= 3 + cos 5 Aividade 3 Esboçar no mesmo sisema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f() = 3 b) g() = 3 c) h() = 3 + d) m() = 3 e) n() = 3 + 5
y n() = 3 + 0 8 h() = 3 + f() = 3 6 0 8 m() = 3 6 0 3 g() = 3 Noe que o valor de g() para = 0 é igual a, ou seja, é o inverso do valor de f() 3 para = 0, que é 3. Aividade Esboçar no mesmo sisema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f() = b) g() = 3 c) h ( )= 3 y 6 h ( )= 3 3 + 3 g() = 3 5 3 3 5 f()= 6 Aividade 5 Esboçar no mesmo sisema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f() = 3 b) g() = 3 c) h() = sen d) m() = 3.sen h() = sen y 6 f() = 3 0 8 6 m() = 3.sen 0 8 6 7 6 5 3 0 3 5 6 7 6 8 g() = 3 0 6 8 0 6 Considerações sobre a avaliação Ao final dese percurso, a epecaiva é que os alunos enham aprendido a ler a epressão f(), que raduz analiicamene uma siuação de inerdependência funcional, sendo capazes de omar iniciaivas de decompor al função em ouras mais simples, já esudadas aneriormene. Assim, a consrução do gráfico de funções mais compleas pode ser vislumbrada a parir dos gráficos das funções mais simples. As compeências desenvolvidas na práica de al inerpreação/decomposição dependerão do número de eercícios realizados, em sinonia com a disponibilidade e as circunsâncias dos professores em sua realidade concrea. Nauralmene, não se pode preender o desenvolvimeno de uma compeência absolua, uma capacidade de consrução de qualquer ipo de gráfico, em al nível de ensino. or ouro lado, não se pode considerar a mea inicialmene proposa aingida se os alunos não assimilaram a nova esraégia para a consrução de gráficos, iso é, se não acharem naurais ransformações como deslocamenos vericais para cima e para baio, deslocamenos horizonais para a direia e para a esquerda, inversões de senido, por eemplo. 6
Maemáica 3 a série Volume 3 SITuAçãO DE ARENDIzAGEM 3 AS TRêS FORMAS básicas DE CRESCIMENTO Ou DECRESCIMENTO: A VARIAçãO E A VARIAçãO DA VARIAçãO As represenações gráficas das relações de inerdependência enre grandezas são imporanes para a visualização das variações das grandezas represenadas, como a idenificação de seus sinais e valores, dos inervalos de crescimeno ou de decrescimeno da variável dependene, ou, ainda, o reconhecimeno de ponos de máimo ou de mínimo, quando eles eisirem. Isso já foi feio aneriormene, paricularmene para as funções de o e o graus. Agora buscaremos esender para as demais funções que compõem o panorama que esamos consruindo. Nesa Siuação de Aprendizagem, vamos procurar ir além da consaação do crescimeno ou do decrescimeno, procurando qualificá-lo, enando caracerizar a rapidez com que ocorre o crescimeno ou decrescimeno por meio da aa de variação, ou seja, da variação da variável independene por unidade a mais da variável dependene. Apesar de al preocupação com as aas de variação não ser muio comum no esudo das funções no Ensino Médio convidamos o professor a nos acompanhar nesa viagem. Temos cereza de que ela será muio proveiosa, ano para o esudo das funções na escola básica, quano para descorinar uma série de ideias simples sobre variação de funções que serão muio úeis para a compreensão de inúmeros fenômenos, naurais ou econômicos, envolvendo variações e aas de variação, como a descrição dos movimenos, ou a compreensão das aas de inflação, por eemplo. Todas as compeências básicas podem ser desenvolvidas por meio de al raameno qualiaivo das funções: a epressão/compreensão de fenômenos, a argumenação/omada de decisão, a coneualização/absração de relações. Sugere-se ao professor que uilize duas semanas com o maerial ora apresenado. empo previso: semanas. Coneúdos e emas: a ideia geral de função como inerdependência, eplorando-se as funções já esudadas aé o presene momeno na perspeciva do crescimeno ou decrescimeno, com a caracerização da rapidez com que crescem ou decrescem. Compeências e habilidades: compreender fenômenos envolvendo crescimeno ou decrescimeno, bem como epressar a rapidez com que crescem ou decrescem a parir de qualidades epressas nos gráficos das funções represenadas. Esraégias: inicialmene será apresenada a ideia de que eisem rês formas básicas de crescimeno ou decrescimeno: a das funções de o grau, a das funções que crescem ou descrescem mais rapidamene do que ela e a das funções que crescem ou decrescem mais lenamene do que a de o grau. uma lisa de eemplos ilusraivos, seguidas de eercícios eemplares represenaivos das diversas siuações apresenadas, será oferecida para eploração por pare do professor. 7
Roeiro para aplicação da Siuação de Aprendizagem 3 Coneúdos e emas f A ideia geral de função como relação de inerdependência. f As funções de o e o graus, com suas caracerísicas já conhecidas, que servirão de base para a compreensão do esudo das variações e das aas de variação. Fundamenal, as funções de o grau são crescenes (a > 0) ou são decrescenes (a < 0), sendo que o coeficiene a represena a variação em f() quando aumena de unidade a parir de qualquer valor inicial. O valor de a é chamado de aa de variação uniária de f(), ou somene aa de variação de f(). Nauralmene, se a = 0, ou seja, se a aa de variação é zero, enão a função f() é consane: f() = b. y f Todas as funções já apresenadas aos alunos aé o presene momeno, analisadas agora sob a perspeciva do crescimeno/ decrescimeno e das aas de variação. a (a > 0, função crescene) f() = a + b a (a < 0, função decrescene) Inicialmene serão apresenadas as ideias de crescimeno, decrescimeno, aa de variação, a parir das funções que epressam a proporcionalidade direa, ou seja, as associadas à função de o grau f() = a + b (a 0). Tais funções ou são crescenes (a > 0) ou são decrescenes (a < 0), e o crescimeno ou decrescimeno são consanes, iso é, a variação de f() por unidade a mais de é sempre a mesma, que corresponde ao coeficiene a. Todas as ouras funções podem er seu crescimeno ou decrescimeno comparado com o padrão deerminado pelas funções de o grau, sendo possível crescer mais rapidamene do que o padrão de o grau ou mais lenamene do que ele: esa é a ideia principal a ser desenvolvida. uma lisa de eemplos ilusraivos acompanhará a eposição, seguindo-se uma série de eercícios eemplares represenaivos das diversas siuações apresenadas. b De modo geral, dizemos que uma função f() é crescene nos inervalos em que ocorre o seguine: se os valores de crescem, enão os correspondenes valores de f() ambém crescem. Dizemos que f() é decrescene nos inervalos em que ocorre o seguine: se os valores de crescem, enão os correspondenes valores de f() decrescem. O significado do crescimeno ou do decrescimeno no gráfico de f() é basane epressivo: y y aumena a = 0 (função consane) aa de variação = a = variação de f() por unidade a mais de a = f( + ) f() = consane y f() crescene y y diminui y f A forma-padrão de crescimeno ou decrescimeno: f() = a + b y y Como já foi viso desde a 8 a série do Ensino aumena aumen 8
Maemáica 3 a série Volume 3 f() crescene y y diminui y y f() decrescene y a a B a a a a f() cresce a aas crescenes f() cresce a aas crescenes a < a < a a < a < a A f() = a a + + b b cresce aa consane a cresce a aa consane a C f() cresce a aas decrescenes a a > a > a f() cresce a aas decrescenes a > a > a aumena aumena Consideremos uma função que não é de o grau, ou seja, cujo gráfico não é uma rea. A primeira consaação que ocorre é o fao de que a aa de variação uniária de f(), ou seja, a variação de f() por unidade a mais de, não é mais consane, iso é, a diferença f( + ) f() passa a depender do valor de a parir do qual ela é calculada. f or eemplo, se f() = 5 + 7, enão f( + ) f() = 5( + ) + 7 (5 + 7) = 5, ou seja, a aa de variação de f() = 5 + 7 é consane e igual a 5; f no enano, se f() = 5 + 7, enão f( + ) f() = 5( + ) + 7 (5 + 7) = = 0 + 5, ou seja, a aa de variação uniária de f() = 5 + 7 é igual a 0 + 5, variando, porano, com o valor de para cada pono considerado. No que segue, chamaremos de aa de variação uniária de uma função, para cada valor de, o valor da diferença f( + ) f(). Quando uma função f() cresce a aas crescenes, seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela cresce a aas decrescenes, seu gráfico fica encurvado para baio. basicamene, em cada inervalo considerado, esas são as rês formas de crescimeno: f crescer linearmene, com aa de variação consane; f crescer cada vez mais rapidamene, ou seja, com aas de variação crescenes, o que faz com que o gráfico resule encurvado para cima; f crescer cada vez mais lenamene, o que faz com que o gráfico resule encurvado para baio. De forma análoga, em dado inervalo, uma função pode decrescer de rês modos disinos: f decrescer linearmene, com aa de variação consane; f decrescer cada vez mais rapidamene, ou seja, com aas de variação crescenes em valor absoluo (as aas são negaivas); 9