Projeto Jovem Nota 10

1. (Fuvest 99) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8 m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8m e base quadrada com lado 6 m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h 8). Determine o volume da água para um valor arbitrário de h, O h 8. 2. (Ufpe 95) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm é o volume da pirâmide, determine(1/3)v. pag.1

3. (Unesp 89) Calcule a altura H e o seno do ângulo diedro formado por duas faces quaisquer de um tetraedro regular cujas arestas medem "a" cm. 4. (Unesp 98) Na figura, os planos e são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C, e D com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em, o ponto sobre o qual cairia P se o plano girasse de 90 em torno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com. Se AB = 2Ë3, calcule o volume do tetraedro APDQ. pag.2

5. (Unesp 89) Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja aresta mede 1m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo e pelo plano IJK, passando por pontos médios de lados do cubo, como na figura a seguir. Calcule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado. 6. (Unesp 99) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H=4cm, AB=6cm, BC=3cm e a altura h=ae=6cm, determine: a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'; b) o volume do tronco de pirâmide. pag.3

7. (Cesgranrio 93) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é: a) (x Ë2)/3 b) (x Ë2)/6 c) (x Ë3)/2 d) (x Ë3)/6 e) x 8. (Cesgranrio 97) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 20 % b) 16 % c) 15 % d) 12 % e) 10 % 9. (Faap 96) Considere um tetraedro retangular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é: a) a intersecção pode ser um quadrilátero b) a interseção é sempre um triângulo c) a interseção é sempre um triângulo equilátero d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero e) a intersecção nunca é um quadrilátero pag.4

10. (Fei 96) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente. Considere as afirmações: I. O triângulo XCD é isósceles II. O triângulo XBD é retângulo III. O triângulo XYA é equilátero Assinale a alternativa correta: a) Somente a I e II são verdadeiras. b) Somente a I e III são verdadeiras. c) Somente II e III são verdadeiras. d) Todas são verdadeiras. e) Somente I é verdadeira. 11. (Fei 97) Em cada face de um tetraedro regular desenhou-se um trevo de 3 folhas estilizado, conforme indicado na figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é: a) (t Ë3)/2 b) (t Ë3)/3 c) (t Ë3)/6 d) (t Ë3)/9 e) (t Ë3)/12 pag.5

12. (Ita 98) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a: a) Ë2 b) 1/3 c) Ë6 d) (Ë2)/2 e) (Ë3)/3 13. (Mackenzie 96) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18 rd. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 pag.6

14. (Mackenzie 96) O volume do sólido da figura a seguir é: a) Ë3/12. b) Ë3/18. c) Ë3/20. d) Ë3/24. e) Ë3/36. 15. (Mackenzie 97) Pelo centro A de um quadrado MNPQ de lado Ø=1, levanta-se uma perpendicular ao plano do quadrado e une-se um ponto T dessa perpendicular aos vértices do quadrado, obtendo-se, deste modo, quatro triângulos eqüiláteros. A área total do poliedro de vértice T e base MNPQ é: a) (Ë3) + 2 b) 2 (Ë2 + 1) c) Ë3 + Ë2 d) Ë2 + 1 e) Ë3 + 1 pag.7

16. (Mackenzie 97) Pelo centro A de um quadrado MNPQ de lado Ø = 1, levanta-se uma perpendicular ao plano do quadrado e une-se um ponto T dessa perpendicular aos vértices do quadrado, obtendo-se, deste modo, quatro triângulos eqüiláteros. O volume do poliedro de vértice T e base AMN é: a) Ë2 /6 b) Ë2 /12 c) Ë2 /24 d) Ë2 /36 e) Ë2 /48 17. (Mackenzie 97) Pelo centro A de um quadrado MNPQ de lado Ø = 1, levanta-se uma perpendicular ao plano do quadrado e une-se um ponto T dessa perpendicular aos vértices do quadrado, obtendo-se, deste modo, quatro triângulos eqüiláteros. O ângulo AMT mede: a) 30 b) 45 c) 60 d) arc tg Ë2 e) arc tg Ë2/2 pag.8

18. (Pucsp 97) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são 1 Sua base é um quadrado com 100 m de lado. 2 Sua altura é de 100 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de a) 40 anos. b) 50 anos. c) 60 anos. d) 90 anos. e) 150 anos. 19. (Uece 96) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2Ë2cm e uma aresta lateral mede Ë22cm. O volume dessa pirâmide, em cm, é: a) 7Ë2 b) 8Ë2 c) 9Ë2 d) 10Ë2 20. (Ufrs 97) Numa pirâmide regular, a base é um quadrado de lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros. O volume desta pirâmide é a) Ë2/12 a b) Ë2/6 a c) Ë2/3 a d) Ë3/12 a e) Ë3/6 a pag.9

21. (Unirio 95) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H 22. (Ufmg 97) Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um plano paralelo à base, a uma distância d dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. A distância d deve ser: a) 6-3 Ë2 b) 3 - (3 Ë4/2) c) 6-3 Ë4 d) 6-2 Ë2 pag.10

GABARITO Projeto Jovem Nota 10 1. [3/16 (8 - h) + 36h - 96] m 2. 81 cm 3. H = aë6/3 sen = 2Ë2/3 4. O volume do tetraedro APDQ é igual a Ë3. 5. 7/48 m 6. a) 4/3 cm b) 104/3 cm 7. [B] 8. [E] 9. [A] 10. [D] 11. [B] 12. [D] 13. [C] 14. [E] 15. [E] 16. [C] 17. [B] 18. [B] 19. [B] 20. [B] 21. [E] 22. [C] pag.11