PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e B. Uma reta r passa por A, corta a circunferência da esquerda em P e a circunferência da direita em Q e é tal que A está entre P e Q. a) Mostre que se r é paralela à reta C 1 C 2 o segmento PQ é o dobro do segmento C 1 C 2. Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas Questão 2. (PROFMAT-2011) Considere um triângulo retângulo isósceles ABC com hipotenusa BC. Tomando o ponto A como centro e AB como raio, consideramos o arco de circunferência delimitado pela corda BC. Consideremos ainda a semicircunferência de diâmetro BC, conforme a figura ao lado. Designamos por T a área da região triangular ABC e por S e L as áreas das outras duas regiões. Prove que L = T. Questão 3. (PROFMAT-2013) A figura abaixo mostra três circunferências de 1 cm de raio, tangentes entre si duas a duas, e um triângulo equilátero circunscrito a essas circunferências. b) Mostre que se r não é paralela à reta C 1 C 2 o segmento PQ é menor que o dobro do segmento C 1 C 2.. Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas (A) Calcule o lado do triângulo equilátero, explicitando seu raciocínio. (B) Sendo S 1, S 2 e S 3 as áreas das regiões sombreadas, conforme indicado na figura, mostre que S 3 > S 1 + S 2. 16/7/2013 1
QUESTÕES OBJETIVAS 01. (PROFMAT-2012) Assinale, dentre as regiões a seguir, pintadas de cinza, aquela que é formada pelos pontos do quadrado cuja distância a qualquer um dos vértices não é maior do que o comprimento do lado do quadrado. 02. (PROFMAT-2013) Um círculo de raio R tem área A e, girando o círculo em torno de um diâmetro, obtemos uma esfera de volume V. Se repetirmos o procedimento com um círculo de raio 2,5R, sua área e o volume da esfera correspondente serão, respectivamente, (A) 2,5A e 2,5V (B) 5A e 25V (C) 5A e 10V (D) 6,25A e 12,25V (E) 6,25A e 15,625V 03. (PROFMAT-2013) A figura ao lado é composta por 4 semicircunferências. As duas meno- res possuem o mesmo raio, medindo 1,5 cm. A semicircunferência inter- mediária tem diâmetro igual ao raio da circunferência maior. A área da região sombreada, em cm 2, é (A) 18 π (B) 25,5 π (C) 22,5 π (D) 36 π (E) 45 π 04. (PROFMAT-2013) Sejam A e B dois pontos distintos no plano. O conjunto dos pontos C desse plano tais que a área do triângulo ABC é igual a 1 é (A) uma reta. (B) um par de retas. (C) uma parábola. (D) vazio. (E) impossível de se determinar sem se conhecer A e B. 05. (PROFMAT-2013) Um silo para armazenagem de grãos é feito de metal e tem o formato de um cilindro medindo 2,5 m de diâmetro e 6 m de altura. E preciso pintar a superfície lateral externa (sem tampa ou fundo) de três desses silos e a tinta indicada tem um rendimento de 40 m 2 por galão. Sabendo que serão necessárias duas demãos de pintura em cada silo, qual é a melhor aproximação para a quantidade de tinta necessária? (A) 6 galões (B) 9 galões (C) 7 galões (D) 14 galões (E) 16 galões 06. (PROFMAT-2013) Considere um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio 3 metros, como mostra a figura. Se x representa a medida, em metros, da altura desse triângulo com relação a sua base, então sua área, em metros quadrados, é igual a (A) X x(6-x) (B) X x(3-x) 16/7/2013 2
(C) X 2 3 /2 (D) X/2 x(6-x) (E) X/2 x(3-x) 09. (PROFMAT-2013) O semicírculo da figura está inscrito no triângulo retângulo ABC de catetos AB = 7 e BC = 24. O raio do semicírculo é igual a (A) 2 5 (B) 5 (C) 3 3 (D) 21/4 (E) 16/3 07. (PROFMAT-2013). No retângulo ABCD da Figura os triângulos cinzentos têm todos a mesma área. Quanto vale AP / BP? (A) 3/2 (B) (1+ 5)/2 (C) 3 (D) 9/5 (E) 2 10. (PROFMAT-2013). Em um triângulo retângulo conhecem-se a soma s dos catetos e altura h relativa à hipotenusa. Qual das expressões abaixo representa o valor da hipotenusa em função de s e h? (A) s-h (B) (h 2 + s 2 ) (C) s+ (h 2 s 2 ) (D) (h 2 +4s 2 ) - h (E) (h 2 +s 2 ) - h 08. (PROFMAT-2013) A figura mostra uma Folha de papel quadrada ABCD de lado 1, dobrada de modo que o ponto B coincida com o ponto médio F do lado CD. A medida de FG é 11. (PROFMAT-2012) A figura mostra um pentágono regular estrelado inscrito em uma circunferência. O ângulo x mede: A) 108º B)120º C) 136º D)144º E) 150º (A) 5/8 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 5/6 (E) 7/8 12. (PROFMAT-2012) Se a medida do diâmetro de um círculo aumenta em 100%, então a medida de sua área aumenta em: A) 300% B) 100% C) 200% D) 400% E) 314% 16/7/2013 3
13. (PROFMAT-2012) Na figura ao lado, o quadrilátero grande é formado por 4 trapézios congruentes ao trapézio isósceles sombreado. O perímetro do quadrilátero grande é 36 cm. Qual é o perímetro do trapézio sombreado? A) 9 cm B) 12 cm C) 18 cm D) 36 cm E) 72 cm 16.(PROFMAT-2012) Na figura ao lado, os hexágonos regulares ABCDEF e A`B`C`D`E`F` estão, respectivamente, inscrito e circunscrito à uma circunferência de centro O. A razão área(a`b`c`d`e`f``) área(abcdef`) vale: 14. (PROFMAT-2012) Na figura ao lado os segmentos AB, CD e EF são perpendiculares à reta AE e medem, respectivamente, 40m, 82m e 100m. Se o segmento CE mede 27m, o comprimento do segmento AC é: A) 52m B) 56m C) 60m D) 63m E) 66m 15. (PROFMAT-2012) Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero, M é o ponto médio do lado AB, o segmento MN é perpendicular ao lado BC e o segmento NP é perpendicular ao lado AC. Sabendo que AP 12 unidades, a medida do lado do triângulo ABC nessa mesma unidade é: A) 15,2 B) 16,4 C) 17,5 D) 18,6 E) 19,2 A) 3 2 B) 4/3 * C) 2 D) 3 E) 2 17. (PROFMAT-2012) Pedro recorta em uma folha de papel um setor circular OAB de raio 12cm e ângulo de 120 º. Juntando e colando os raios OA e OB ele faz um cone como mostra a figura abaixo. 16/7/2013 4
A altura desse cone é, aproximadamente: A) 9,6cm B) 10,4cm C) 10,8cm D) 11,3cm * E) 11,7cm 18. (PROFMAT-2012) Observe o desenho ao lado com as quatro circunferências de raio 1 dentro da circunferência de raio 2. A área sombreada é igual a: 20.( PROFMAT-2011) A base AB do triângulo ABC mede 8cm e está situada sobre a reta r. O segmento DE, também sobre r, mede 5cm. Pelos pontos D e E traçamos paralelas a AC e a BC respectivamente, as quais se cortam no ponto F formando o triângulo DEF. A razão área(abc)/área(def) vale: (A) 1,25 (B) 1,60 (C) 3,20 (D) 2,32 (E) 2,56* A) 2π-2 B) π/3 C) 2π-4 * D) π /2 E) π- π 19.( PROFMAT-2011) Na figura ao lado, as retas r e s são paralelas a uma distância 2 uma da outra. AB é um segmento unitário contido em s, X é um ponto de r com AX = 5 e P é o pé da perpendicular baixada de B sobre AX. O comprimento de BP é: (A) 2/3 (B) 1/5 (C) 2/5 (D) 3/4 (E) 2/3 21.( PROFMAT-2011) Se espremermos um círculo de raio 10 cm entre duas retas paralelas que distam entre si 10 cm, obteremos uma figura de área menor, mas de mesmo perímetro que o círculo original. Se as partes curvas desta figura obtida são semicircunferências, a razão da área da figura espremida pela área do círculo inicial é: (A) 3/4 (B) 4/3 (C) 2/3 (D) 3/2 (E) π/4 16/7/2013 5
22.( PROFMAT-2011) Um terreno triangular foi dividido em três terrenos menores conforme a figura. Então: (A) A área do terreno B é a metade da área do terreno A (B) A área do terreno C é maior do que a área do terreno A (C) A área do terreno B é 1/3 da área do terreno A (D) A área do terreno A é igual à área do terreno C (E) A área do terreno B é maior do que a área do terreno A 16/7/2013 6