Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3.

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Gustavo Coelho Bonilha
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OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero

.. [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Consulta caderno [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso [X] Grafite [X]

(OBMEP 2009 N1Q10 1ª Fase) Na figura, o quadrado ABCD tem área 40 cm 2. Os pontos P, Q, R e S são pontos médios dos lados do quadrado e T é o ponto médio do segmento RS.

1 OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos e trapézios), congruência de triângulos, perímetro e área de triângulos, paralelogramos e trapézios. Aluno(s):... N o(s) :... Turma:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Consulta caderno [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Exercício 1. (OBMEP 2009 N1Q10 1ª Fase) Na figura, o quadrado ABCD tem área 40 cm 2. Os pontos P, Q, R e S são pontos médios dos lados do quadrado e T é o ponto médio do segmento RS. Qual é a área do triângulo PQT? Exercício 2. (Banco de Questões 2011 N1Q11 Página 15) O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isto, comprou um tecido branco retangular com 100 cm de largura e 60 cm de altura. Dividiu dois de seus lados em cinco partes iguais e os outros dois em três partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura. Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou? Exercício 3. (Banco de Questões 2011 N1Q12 Página 15) As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura, na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros. Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem 24 cm 2 de área, qual é a distância percorrida pela abelha? fabiovinicius.mat.br 1 27 de junho de 2017

2 Exercício 4. (OBMEP 2009 N2Q18 1ª Fase) Na figura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB. Qual é a soma das áreas dos triângulos sombreados? Exercício 5. Na figura plana a seguir, sobre o quadrado cinza ABCD com 25 cm 2 de área foi desenhado um losango branco PQCD com 20 cm 2 de área. Determine a área cinza do quadrado que não ficou encoberta pelo losango. Exercício 6. (Banco de Questões 2013 N3Q23) Nos lados AB e BC de um triângulo equilátero ABC, fixam-se dois pontos D e E, respectivamente, de modo que AD = BE. Se os segmentos AE e CD se cortam no ponto P, determine o ângulo APC. Exercício 7. (OBMEP 2006 N3Q3 2ª fase) Na figura, os triângulos ABC e BDE são congruentes e os ângulos BAC e BDE são retos. a) Ache a razão entre a área do triângulo BDF e a área do quadrilátero AEFC. b) Determine a medida do ângulo BFE. Exercício 8. (Banco de Questões 2008 N2Q5 Lista 6) Na figura, o trapézio ABCD é isósceles, AB é paralelo a CD e as diagonais AC e BD cortam-se no ponto P. Se as áreas dos triângulos ΔABP e ΔPCD são 4 cm 2 e 9 cm 2, respectivamente, qual é a área do triângulo ΔPBC? fabiovinicius.mat.br 2 27 de junho de 2017

3 OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de círculos. Aluno(s):... N o(s) :... Turma:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Consulta caderno [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Exercício 1. Na figura a seguir a reta AB é tangente a circunferência de centro O no ponto P. Se Q é um ponto da circunferência tal que QP B = 52, determine a medida do ângulo x = PO Q. Exercício 2. Na figura a seguir, AB é um segmento tangente às circunferências de raio 2 cm e 5 cm. Se o comprimento do segmento AB é igual a 10 cm, determine a distância entre os centros das circunferências. Exercício 3. (Banco de Questões 2016 N2Q4) Duas tangentes são desenhadas de um ponto A a um círculo de centro O, tocandoo em B e C. Seja H o ortocentro do triângulo ABC, sabendo que o ângulo BAC = 40, encontre o valor do ângulo HCO. Exercício 4. (Banco de Questões 2010 N2Q215) A figura a seguir é formada por quatro círculos tangentes de raio a. Determine o comprimento do contorno externo, que está com o traçado destacado. fabiovinicius.mat.br 3 27 de junho de 2017

Exercício 5. (Banco de Questões 2010 N3Q72) Na figura, os três círculos são concêntricos, e a área do menor círculo coincide com a área do maior anel, destacado em cinza.

4 Exercício 5. (Banco de Questões 2010 N3Q72) Na figura, os três círculos são concêntricos, e a área do menor círculo coincide com a área do maior anel, destacado em cinza. O raio do menor círculo é 5 cm e do maior 13 cm. Qual é o raio (em cm) do círculo intermediário? Exercício 6. (OBMEP 2008 N2Q2 Lista 2) Na figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro PQ, e RM é perpendicular a PQ. Se o arco PR é o dobro do arco RQ qual é a razão entre PM e MQ? Exercício 7. (OBMEP N3Q8 1ª Fase) A figura mostra um círculo de área 36 cm 2 sobre o qual estão desenhados quatro triângulos equiláteros com um vértice comum no centro do círculo. Qual é a área da região sombreada? Exercício 8. (OBMEP 2006 N3Q12 1ª Fase) Na figura os quatro círculos são tangentes e seus centros são vértices de um quadrado de lado 4 cm. Qual é o comprimento, em centímetros, da linha destacada? fabiovinicius.mat.br 4 27 de junho de 2017

OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero

5 OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos e trapézios), congruência de triângulos, perímetro e área de triângulos, paralelogramos e trapézios. Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de círculos. Aluno(s):... N o(s) :... Turma:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Consulta caderno [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Tarefa de Casa 1. (Prova OBMEP 2008 N3Q4 2ª Fase) Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1. A figura 2 mostra dois espelhos que se encontram formando um ângulo α. Um raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto A e é refletido três vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D. a) Qual é a medida do ângulo α? b) Seja AB perpendicular ao espelho I, como na figura 2. Se AB = 10 cm, qual é o comprimento de CD? Tarefa de Casa 2. (Prova OBMEP 2015 N3Q5 2ª Fase) Nas figuras, ABC é um triângulo isósceles, retângulo em A. A altura do triângulo em relação à base BC mede 1 e a circunferência de centro O tem raio 1. A circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de tangência T (da circunferência com a base BC) move-se ao longo do lado BC. A Figura 1 ilustra a situação em que T é o ponto médio de BC. A Figura 2 ilustra uma posição genérica do ponto T. Em ambas as figuras, P e Q são os pontos de interseção dos lados AB e AC, respectivamente, com a circunferência. fabiovinicius.mat.br 5 27 de junho de 2017

a) Na situação da Figura 1, quantos graus mede o arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T?

c) Explique por que, para qualquer posição de T, o comprimento do arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T é sempre o mesmo.

(Prova OBMEP 2011 N3Q6 2ª Fase) Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio

a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180 os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente.

6 a) Na situação da Figura 1, quantos graus mede o arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T? b) Na situação da Figura 2, seja D o ponto em que o prolongamento do cateto BA intersecta a circunferência. Mostre que AD = AQ. c) Explique por que, para qualquer posição de T, o comprimento do arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T é sempre o mesmo. Tarefa de Casa 3. (Prova OBMEP 2011 N3Q6 2ª Fase) Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede 1 2 BC. a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180 os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MAN é igual a 180. b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes. Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido. c) Mostre que LH = EF. d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF. fabiovinicius.mat.br 6 27 de junho de 2017

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Exercício 2. Na figura abaixo, determine as medidas de x e y, OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 5 Nível 3 Geometria Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos,