sumo Técnicas de Desenho de Filtros Digitais Luís Caldas de Oliveira lco@ist.utl.pt Desenho de filtros discretos com base em filtros contínuos Transformações em frequência Desenho de filtros usando janelas Instituto Superior Técnico Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p./37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.2/37 Objectivo Passos do Processo de Desenho de Filtros Especificação dos requisitos do filtro Cálculo dos coeficientes adequados presentação do filtro numa estrutura adequada Análise dos efeitos de precisão finita alização do sistema em hardware ou software Problema: Dimensionar sistemas que eliminem componentes do sinal de entrada com frequências indesejadas. Solução: para filtros IIR iremos converter filtros contínuos em filtros discretos, para filtros FIR faremos a truncatura da resposta impulsiva ideal. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.3/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.4/37
Especificações do Filtro Digital Desenho de Filtros Discretos com Base em Filtros Contínuos +δp δp δ s Ωp Ωs π Ω T +δp δp δ s ωp ωs π ω passagem transição atenuação desvio na banda de passagem desvio na banda de atenuação stopband) frequência limite da banda de passagem frequência de corte) frequência limite da banda de atenuação Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenho de filtros analógicos. Muitos dos métodos de desenho de filtros contínuos têm fórmulas relativamente simples para obter os parâmetros a partir das especificações. A transposição destes métodos para o desenho de filtros discretos conduzem a relações complexas entre as especificações e os parâmetros do sistema discreto Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.5/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.6/37 Método da Invariância da sposta Impulsiva Mapeamento dos Pólos Pretende-se igualar a resposta impulsiva do sistema discreto à discretização da resposta impulsiva do sistema contínuo: : é a resposta impulsiva do sistema contínuo : é a resposta impulsiva do sistema discreto : é o intervalo de amostragem. : uma constante de proporcionalidade tradicionalmente de valor igual a. π/τ $ " $ Im Plano s Im Plano z!#" $ π/τ Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.7/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.8/37
lação Entre as Funções de Transferência Método da Invariância da sposta Impulsiva Banda de limitada: No caso contrário haverá interferência das imagens da resposta em frequência: H c H. Determinar o filtro analógico especificações. 2. Expandir em fracções simples 3. Obter a transformada z de cada fracção que satisfaz as 4. Combinar as transformadas z das fracções simples em secções de primeira e segunda ordem. Se necessário multiplicar por. Ω π π ω Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.9/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p./37 Transformação Bilinear Mapeamento dos Pólos na Transformação Bilinear Objectivo: mapear todo o semi-plano s no interior do círculo unitário no plano z. Im Plano s Im Plano z é um factor de escala, tradicionalmente com o valor Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p./37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.2/37
lação Entre Frequências Contínuas e Discretas Vantagens e Inconvenientes da Transformação Bilinear π ω Ω $ $ Im Vantagens: Filtros analógicos estáveis transformam-se em filtros digitais estáveis Não há aliasing: Inconveniente: Distorção no eixo das frequências: $ π Im $ Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.3/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.4/37 Método da Transformação Bilinear Filtros de Butterworth. Determinar a função de transferência normalizada que satisfaz as especificações. 2. Determinar a frequência de corte do filtro digital: 3. Obter a correspondente frequência de corte do filtro analógico: 4. Desnormalizar o filtro analógico escalando frequência fazendo. na /2 2 Η c N=8 Ω p N=2 Ω 5. Aplicar a transformação bilinear para obter a desejada função de transferência discreta,, substituindo Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.5/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.6/37
Características dos filtros de Butterworth Amplitude maximamente plana na banda de passagem: as derivadas de ordem são nulas em é a ordem do filtro) Monotónico na banda de passagem e de atenuação. Atenuação na frequência Ordem do filtro: : Im Ωp Pólos do Filtro de Butterworth Plano s π/ν pólos equiespaçados sobre uma circunferência de raio : apenas se utilizam os do semi-plano. Não tem pólos sobre o eixo imaginário ímpar tem pólos reais par não tem pólos reais Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.7/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.8/37 Mapeamento dos Pólos do Filtro de Butterworth Transformação Bilinear do Filtro de Butterworth zeros no infinito Im Plano z. Dados e determinar os pólos no plano s 2. Mapear os pólos para o plano z 3. Acrescentar zeros em 4. Calcular o ganho estático Ω pτ +Ω pτ +Ω pτ Ω pτ Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.9/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.2/37
Filtro de Chebyshev Filtro Chebyshev do Tipo I tipo I: equi-ripple na banda de passagem e monotónico na banda de atenuação; tipo II: equi-ripple na banda de atenuação e monotónico na banda de passagem. em que é um polinómio de Chebyshev: ripple na banda de passagem atenuação na banda de corte Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.2/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.22/37 Filtro Elíptico Transformações em Frequência Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através de uma transformação em : em que é um função racional de Chebyshev. Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem e de atenuação. Não existe expressão simples para a localização dos pólos. Os filtros elípticos são os mais eficientes em termos de resposta de amplitude: cumprem um conjunto de especificações com a menor ordem. São desaconselhados quando existem restrições de fase. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.23/37 é uma função racional de O interior do círculo unitário no plano tem de se mapear no interior do círculo unitário no plano. A circunferência de raio unitário no plano tem de se mapear na circunferência de raio unitário no plano.. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.24/37
Transformações de Filtros Passa-Baixo Transformações de Filtros Passa-Baixo Passa-baixo Passa-banda Passa-alto jeita-banda frequência de corte do filtro original. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.25/37 frequência de corte do filtro original. frequência de corte inferior desejada. frequência de corte superior desejada. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.26/37 frequência de corte desejada. Transformações de Frequência no Plano s Desenho de Filtros Usando Janelas A função de transferência normalizada do filtro passa-baixo ) pode ser convertida directamente: Se for a resposta em frequência ideal desejada, a resposta impulsiva: Passa-baixo Passa-alto Passa-banda poderá ser não causal ou ter comprimento infinito. Solução: truncar a resposta impulsiva: jeita-banda em que é uma janela: frequência de corte do filtro original. frequência de corte inferior desejada. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.27/37 caso contráriotécnicas de Desenho de Filtros Digitais p.28/37
Efeito da Janela na Frequência Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.3/37 Janela ctangular - -2-3 We^jw) db) -4-5.2.8.6.4.2-6 2 3 4 5.5..5.2.25.3.35.4.45.5 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.32/37 wn) spostas Impulsivas Ideais Passa-baixo Passa-alto Passa-banda jeita-banda Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.29/37 Funções Habitualmente Usadas como Janelas caso contrário ctangular caso contrário Hanning caso contrário Hamming Blackman Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.3/37
Janela Hanning Janela Hamming.2.2-2 -2.8-4.8-4 wn).6 We^jw) db) -6 wn).6 We^jw) db) -6.4-8.4-8.2 -.2-2 3 4 5-2.5..5.2.25.3.35.4.45.5 2 3 4 5-2.5..5.2.25.3.35.4.45.5 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.33/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.34/37 Janela Blackman Características das Principais Janelas.2.8-2 -4 Amplitude Largura Largura da Ripple na Atenuação na Tipo do Lóbulo do Lóbulo Transição Banda de Banda de Secundário Principal Hz) Passagem Corte wn).6.4 We^jw) db) -6-8 ctangular -3 db.9/mt).746 db >2 db.2 - Hanning -3 db 3./MT).546 db >44 db 2 3 4 5-2.5..5.2.25.3.35.4.45.5 Hamming -4 db 3.3/MT).94 db >53 db Blackman -74 db 5.5/MT).274 db >74 db Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.35/37 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.36/37
Desenho de Filtros FIR Usando Janelas. Especificar a resposta em frequência desejada ou ideal,. 2. Obter a resposta impulsiva do filtro desejado. 3. Escolher uma janela que satisfaça as especificações da largura da banda de passagem ou da atenuação na banda de corte. 4. Dimensionar a ordem do filtro de acordo com a largura da banda de transição desejada. 5. Obter as amostras da janela escolhida, calcular a resposta impulsiva do filtro FIR:., e Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.37/37