19/12/2005 Resolução da prova de Matemática Financeira AFRF/2005 Prova 1-Tributária e Aduaneira-Inglês Questão 31. Ana quer vender um apartamento por R$400.000,00 à vista ou financiado pelo sistema de juros compostos à taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: a) R$220.237,00. b) R$230.237,00. c) R$242.720,00. d) R$275.412,00. e) R$298.654,00. Vamos situar os capitais em uma linha de tempo com periodicidade semestral. O valor à vista de R$400.000 na data 0 deverá ser substituído por duas parcelas iguais de valor P nas datas 1 e 3. Para a data focal 3, o capital de R$400.000 será capitalizado em 3 semestres e o capital P da data 1 será capitalizado em 2 semestres, à taxa de 5% ao semestre. Devemos duas alternativas equivalentes P P 0 1 2 3 400.000 P (1,05) 2 + P = 400.000 (1,05) 3 P 1,1025 + P = 400.000 1,157625 P 2,1025 = 463.050,00 P = 220,237,00 (opção a) Questão 32. Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$150.000,00 e uma parcela de R$200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: a) R$66.131,00. b) R$64.708,00. c) R$62.927,00. d) R$70.240,00. e) R$70.140,00. Representado a situação em uma linha de tempo com periodicidade trimestral: Uma alternativa constitui em um pagamento de R$150.000 na data 0 e outro de R$200.000 na data 2 (dois trimestres). Outra alternativa constitui em seis pagamentos trimestrais e iguais de valor P, com o primeito na data 0. P P P P P P 0 1 2 3 4 5 150.000 200.000 Para a data focal 0 temos: A parcela de R$200.000, dividida por (1,06) 2, é descapitalizada em dois trimestrais e temos equivalente na data 0 que, somado com a entrada de R$150.000, resulta no valor à vista da casa (ou valor presente). Temos: VP = 200.000 (1,06) 2 + 150.000
As seis parcelas de valor P constituem uma série. Temos VP = P a 5 6% + P Portanto, P a 5 6% + P = 200.000 (1,06) 2 + 150.000 P (a 5 6% + 1) = 200.000 1,1236 + 150.000 P 5,212364 = 177.999,29 + 150.000 P 5,212364 = 327.999,29 P = 62.927,00 (opção c) Observação: A questão não menciona o regime de capitalização dos juros. A taxa proporcional (regime simples) provoca distorções econômico-financeiras sendo usada somente quando expressa na questão. Na omissão do critério de capitalização, prevalece capitalização composta, presente em todos os sistemas de financiamento. Questão 33. Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$.000,00 pagando 30% a vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for efetuado até seis meses a taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$30.000,00 no final do quinto mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a: a) R$62.065,00. b) R$59.065,00. c) R$61.410,00. d) R$60.120,00. e) R$58.065,00. Na linha de tempo ao lado o mês é o período de tempo. Com a entrada de R$30.000 o valor financiado é de R$70.000. Para a parcela de R$30.000 da data 5 a taxa é de 9,2727% ao trimestre. Na tabela fornecida temos (1+i) 3 = 1,092727 resultando em 3% ao mês. Para a data focal 0: A parcela de R$30.000 da data 5 é descapitalizada em cinco meses à taxa de 3% ao mês e a parcela P da data 7 é descapitalizada em sete meses à taxa de 4% ao mês. P (1,04) 7 30.000 (1,03) 5 30.000 P 0 5 7 70.000 Temos: P (1,04) 7 + 30.000 (1,03) 5 = 70.000 P 1,315932 + 30.000 1,159274 = 70.000 P 1,315932 + 25.878,27 = 70.000 P 1,315932 = 44.121,73 P = 44.121,73 1,315932 P = 58.061,20 Observação: Um erro grave da ESAF. A opção e indica R$58.065,00, Na prova, a tabela 4 fornece os valores inversos da tabela 1. O inverso de 1,159274 é 0,86261. A tabela 4 para o inverso de 1,159274 indica 0,86251 (erro de digitação). Pela tabela 1, efetuando 30.000 1,159274 (tabela 1) encontra-se R$58.061,00 e efetuando 30.000 0,86251 (tabela 4), encontra-se R$58.065,00 (errado). A questão deveria ser anulada, mas acredito que a ESAF não vai considerar do fato. Questão 34. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual de dívida (valor de resgate) é de R$200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$230.000,00. b) R$250.000,00. c) R$330.000,00. d) R$320.000,00. e) R$310.000,00.
O valor nominal é igual a 5 vezes o desconto racional. Proporcionalmente, para cada unidades de valor nominal temse 20 unidades de desconto e 80 unidades de valor de resgate. Denominando o valor de resgate, desconto racional e valor nominal, respectivamente, VR, DR e VN, temos a proporção: VR 80 DR VN 20 Como o valor de resgate da dívida, 10 meses antes do vencimento, é de R$200.000, obtemos o valor nominal, ou seja 200.000 80 = VN Portanto, VN = R$250.000 (opção b) Como em todos os problemas de descontos simples, uma proporção é suficiente. Questão 35. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida no regime de juros compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, todas com vencimentos durante o ano de 2005. Uma parcela de R$2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final de fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dívida e o restante no final de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa deverá pagar no final de dezembro é igual a: a) R$4.634,00. b) R$4.334,00. c) R$4.434,00. d) R$4.234,00. e) R$5.234,00. Representaremos a situação em uma linha de tempo com periodicidade mensal. 2.000 5.000 0 2 6 9 12 P 1 P 2 A dívida total (D) no final de dezembro é dada pela da dívida de R$2.000 capitalizada em 6 períodos, somada com a dívida de R$5.000 capitalizada em 3 períodos: D = 2.000 (1,05) 6 + 5.000 (1,05) 3 D = 2.000 1,340096+ 5.000 1,157625 D = 2.680,19 + 5.788,13 D = 8.468,32 Esse é o valor total no fim de dezembro. A metade da dívida a ser paga no fim de dezembro é de R$4.234,16 (opção d) Observe que não temos duas parcelas iguais. A metade da dívida paga no fim de fevereiro não tem o mesmo valor de R$4.234,16 e sim este valor descapitalizado em doze meses, à taxa de 5% ao mês, ou seja R$2.357,74. Questão 36. Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-lo nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$159.523,00. b) R$159.562,00. c) R$162.240,00. d) R$162.220,00. e) R$163.230,00. Vamos estabelecer o critério estabelecido pela ESAF em outras oportunidades. a) Escolhe-se como data focal a data zero (entendendo data zero como o momento da negociação e não o momento da emissão do títulos). b) Determina-se o valor presente das dívidas pelo critério de desconto comercial.
c) A soma dos valores presentes determinará o novo valor nominal na data 4 pelo mesmo critério de desconto comercial. Vejamos. A taxa para a divida de R$50.000 é de 8% (fator 0,92) e para a dívida de R$.000 é de 12% (fator 0,88). Temos: VP 1 = 50.000 0,92 VP 1 = 46.000 VP 2 =.000 0,88 VP 2 = 88.000 A dívida total na data zero é de R$134.000 0 VP 1 VP 2 1 0,84 50.0000.000 2 3 0,92 0,88 4 VN A taxa acumulada de desconto para a data 4 é de 16%. Temos o novo valor nominal: VN = 134.000 0,84 VN = R$159.523,81 (opção a) Observação: A taxa proporcional provoca distorções, como já comentamos, e o desconto comercial também não corresponde à equivalência de capitais no tempo. Mas esse é o critério adotado pela ESAF. Oportunamente analisaremos a capitalização simples e o desconto comercial e suas aberrações. Questão 37. Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B à taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, fora, respectivamente iguais a: a) R$21.948,00 e R$28.052,00. b) R$23.256,00 e R$26.744,00. c) R$26.589,00 e R$23.411,00. d) R$27.510,00 e R$22.490,00. e) R$26.477,00 e R$23.552,00. O montante das duas aplicações são iguais. Sendo X a quantia aplicada no Banco A e (50.000 X) a quantia aplicada no Banco B, temos: (1,03) 12 X = (1,04) 12 (50.000 X) 1,425761 X = 1,601032 (50.000 X) 1,425761 X = 80.051,60 1,601032 X= 26,447,66 A aplicação no Banco A foi de R$26.447,66 e no Banco B de R$23.552,34. A opção e, gabarito da ESAF, indica R$26.477,00 e R$23.552,00. A soma não resulta em R$50.000. Um erro de digitação. A questão, infelizmente, deveria ser anulada. Questão 38. Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a: a) 19%. b) 18,25%. c) 17,14%. d) 22%. e) 24%.
Só proporção. A taxa mensal de juros é de 8% e para 5 meses é de 40%. Isso significa que, para cada unidades de capital tem-se 140 unidades de montante. Temos a proporção: C J M 40 140 A taxa de desconto comercial para 5 meses aplicada em 140 deve resultar unidades. Temos outra proporção: em 140 o desconto é de 40, em unidades (%) o desconto é de X% C J M 40 140 X Obtemos X = 28,57% para 5 meses Ou, proporcionalmente, 5,71% ao mês ou ainda, 17,14% ao trimestre (opção c)