Matemática tica Discreta Módulo Extra (2)

Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática tica Discreta Módulo Extra (2) Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br - www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti

Revisão Conceitos Básicos Produto Cartesiano - Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado A X B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) onde a A e b B, isto é: A X B = {(a,b) a A, b B} Ex.: Dados A={a} e B={a,b} A X B = {(a,a), (a,b)} / B X A = {(a,a), (b,a)} Relação - Dados os conjuntos A e B, uma relação R de A em B, denotada R: A B, é qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B. Ex.: Dados A={,3,5} e B={3,9,5,20}, a relação R: A B, tal que: R = {(a,b) b=3a} é dada pelos pares ordenados R = {(,3), (3,9), (5,5)}. 2

Revisão Conceitos Básicos Relação A relação pode ser representada através de Diagrama de Venn. 3 5 3 9 5 20 Domínio e Imagem de uma Relação - O Domínio de uma relação R, denotado D(R), é o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par ordenado da relação. No exemplo anterior, o domínio é o conjunto D(R) = {,3,5} A Imagem de uma relação R, denotada I(R), é o conjunto formado pelos segundos elementos de cada par ordenado da relação. exemplo anterior, o domínio é o conjunto I(R) = {3,9,5} 3

Revisão Conceitos Básicos Função Dados os conjuntos A e B, uma função f de A por B, denotado f: A B, é qualquer relação que associa a todo elemento de A um único elemento de B. Domínio, Contra-domínio e imagem de uma função Em uma função f: A B, o domínio é o conjunto A e o contra-domínio é o conjunto B. A imagem de f é o subconjunto de B, cujos elementos estão associados a algum elemento do domínio. Genericamente, denotamos os pares ordenados de f por (x,y), onde x A e y B e escrevemos também y=f(x). 2 3 4 4 5 6 7 D(f) = {,2,3,4} CD(f) = {4,5,6,7} I(f) = {4,5,7} f() = 4 4

Exercício. Dados os conjuntos A = {-2,-,0,} e B = {-,0,,2,3}, determine a relação R ={(a,b) A X B b=a 2 }. Verifique se a relação é uma função e em caso positivo, determine o domínio e imagem da mesma. 5

Relação como Grafos Toda relação R: A B pode ser representada a partir de um grafo direcionado com arestas ligando cada par ordenado (a,b), com origem em a e destino em b. Ex.: Dados A={,2,3} e B={4,5} A X B: A B {(,4), (,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)} 2 3 4 5 <:A A = {(,2), (,3), (2,3)} 2 3 6

Relação como Matrizes A relação R: A B pode ser representada na forma de matriz, o que facilita sua implementação em sistemas computacionais. Seja A={a, a 2,...a n } e B={b, b 2,...b m } dois conjuntos finitos. A representação da relação R como matriz é como se segue: O número de linhas é n (número de elementos do domínio). O número de colunas é m (n de elementos do Contra-Domínio) A matriz tem n * m posições e cada posição contém um valor lógico verdadeiro ou falso. Se (ai, bj) R, então a posição contém o valor verdadeiro (); caso contrário, contém o valor falso (0). Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. As seguintes relações são representadas como matrizes: - A X B: A B 2 S={(0,a), (,b)}: C B 3 - =: A B A X B a a b S 0 a 0 b 0 a = a b 0 2 0 0 7

Relação Dual Seja relação R: A B. A Relação Dual, Oposta ou Inversa é denotada por: R - : B A e é obtida pela inversão dos componentes de cada par ordenado. R - = {(b,a) (a,b) R} A X B: A B, (A X B) - = B X A: B A A matriz da relação dual é a matriz transposta da matriz da relação. O grafo da relação dual é o grafo resultante da inversão dos sentidos das arestas. Composição de Relações Sejam as relações R: A B e S:B C. A composição de R e S, resultando na relação: S R: A C, tal que: S R = {(a,c) ( b B)(aRb bsc)} 8

Composição de Relações Ex: A composição das relações R: A B e S:B C é S R: A C, sendo que: R = {(a,), (b,3), (b,4), (d,5)} S = {(,x), (2,y), (5,y), (5,z)} S R = {(a,x), (d,y), (d,z)} A composição das relações é mostrada no diagrama abaixo: S R A a b c d R B 2 3 4 5 S x y z C 9

Tipos de Relações Uma relação pode ser classificada nos seguintes tipos, os quais não são mutuamente exclusivos: Funcional Injetora Total Sobrejetora Monomorfismo Epimorfismo Isomorfismo Os tipos acima possuem noção de dualidade que pode simplificar o estudo e a respectiva compreensão de cada tipo. Funcional é o dual de injetora e vice-versa Total é o dual de sobrejetora e vice-versa. Monomorfismo é o dual de epimorfismo e vice-versa. Isomorfismo é dual de si mesmo. 0

Relação Funcional define o conceito de função. Seja a relação R: A B. R é funcional se e somente se: ( a A)( b B)( b2 B)(aRb arb2 b=b2) Ou seja, em uma relação funcional, cada elemento de A está relacionado com, no máximo, um elemento de B. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São relações funcionais: : A B {(0,a), (,b)}: C B =: A B Não são relações funcionais: A X B: A B <: C C Matriz: existe, no máximo, um valor verdadeiro em cada linha da matriz. Grafo: existe, no máximo, um arco partindo de cada nó.

Relação Injetora o inverso (dual) de uma funcional. Seja a relação R: A B. R é injetora se e somente se: ( b B)( a A)( a2 A)(aRb a2rb a=a2) Ou seja, em uma relação injetora, cada elemento de B está relacionado com, no máximo, um elemento de A. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São relações injetoras: : A B {(0,a), (,b)}: C B =: A B A X B: A B Não são relações injetoras: B X A: B A <: C C Matriz: existe, no máximo, um valor verdadeiro em cada coluna da matriz. Grafo: existe, no máximo, um arco chegando em cada nó. 2

Relação Total Seja a relação R: A B. R é total se e somente se: ( a A)( b B)(aRb) Ou seja, em uma relação total, para cada elemento de A, existe pelo menos, um elemento de B. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São relações totais: =: A B A X B: A B Não são relações totais: : A B {(0,a), (,b)}: C B <: C C Matriz: existe, pelo menos, um valor verdadeiro em cada linha da matriz. Grafo: existe, pelo menos, um arco partindo de cada nó. 3

Relação Sobrejetora Seja a relação R: A B. R é sobrejetora se e somente se: ( b B)( a A)(aRb) Ou seja, em uma relação sobrejetora, para cada elemento de B, existe pelo menos, um elemento de A. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São relações sobrejetoras: =: A A {(0,a), (,b)}: C B A X B: A B Não são relações sobrejetoras: =: A B : A B <: C C Matriz: existe, pelo menos, um valor verdadeiro em cada coluna da matriz. Grafo: existe, pelo menos, um arco chegando em cada nó. 4

Monomorfismo ou monorrelação Seja a relação R: A B. R é um monomorfismo se e somente se for simultaneamente TOTAL e INJETORA. Ou seja, em um monomorfismo, cada elemento de B, está relacionado com, no máximo, um elemento de A. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São monomorfismos: =: A B A X B: A B Não são monomorfismos: B X C: B C : A B {(0,a), (,b)}: C B <: C C Matriz: existe, pelo menos, um valor verdadeiro em cada linha (total) e no máximo um valor verdadeiro em cada coluna(injetora) da matriz. Grafo: existe, pelo menos, um arco partindo (total) e no máximo, um arco chegando (injetora) em cada nó. 5

Epimorfismo ou Epirrelação Seja a relação R: A B. R é um Epimorfismo se e somente se for simultaneamente FUNCIONAL e SOBREJETORA. Ou seja, em um Epimorfismo, cada elemento de A, está relacionado com, no máximo, um elemento de B. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São epimorfismos: =: A A {(0,a), (,b)}: C B Não são epimorfismos: =: A B : A B A X B: A B <: C C Matriz: existe, pelo menos, um valor verdadeiro em cada coluna (sobrejetora) e no máximo um valor verdadeiro em cada linha(funcional) da matriz. Grafo: existe, pelo menos, um arco chegando (sobrejetora) e no máximo, um arco partindo (funcional) em cada nó. 6

Isomorfismo ou Isorrelação Seja a relação R: A B. R é um Isomorfismo se e somente se for simultaneamente TOTAL, FUNCIONAL, INJETORA E SOBREJETORA. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São isomorfismos: : {(0,), (,2), (2,0)}: C C Não são isomorfismos: : A B A X B: A B <: C C Definição para grafos e matrizes? Enviar por e-mail jorge.cavalcanti@univasf.edu.br 7

Exercício. Dados os conjuntos A = {2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,0}, determine as relações R = A X B: A B e R 2 = <: A X B A B, determinando o(s) tipo(s) de relação de R e R 2 e faça a representação de cada uma por matriz e por grafo. 8

Funções Parciais Uma função parcial é uma relação funcional. Se a relação funcional for total, então é denominada de função total ou simplesmente função. Relações Funções Parciais Funções Totais É uma função que não é definida para todos os elementos do domínio. Normalmente, as abordagens matemáticas são focadas no conceito de função total, mas o estudo de funções parciais é tão importante quanto o de total. 9

Função Parcial Todos os conceitos vistos para uma relação funcional são válidos para funções parciais, como por exemplo: As terminologias de domínio, imagem etc.. Os tipos injetora, sobrejetora etc.. Definição: uma Função Parcial é uma relação funcional f A x B Cada elemento do domínio está relacionado com no máximo, um elemento do contradomínio. Uma função parcial é denotada por f: A B e o par (a,b) f é denotado por f(a)=b. Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São funções parciais: : A B {(0,a), (,b)}: C B =: A B Não são funções parciais: A X B: A B <: C C T A x B, T={(a,a), (a,b)} 20

Função Parcial Matriz: existe, no máximo, um valor verdadeiro em cada linha da matriz. Grafo: existe, no máximo, um arco partindo de cada nó. Ex.: Sejam A ={0,,2}, B ={a,b} e f={(0,a), (,b)}: A B f 0 a b 0 0 a 2 0 0 0 b A operação div: R R tal que div(x, y) = x/y é uma função parcial pois não é definida para (x, 0), qualquer que seja x R. 2

Função Parcial Dual (oposta, inversa) A relação dual de uma função parcial não necessariamente é uma função parcial. Seja A={0,,2} e a função parcial f:a x A tal que f={(0,2),(,2) }. Assim, a relação dual (inversa) de f é f - ={(2,0),(2,)}, que claramente não é uma relação funcional e então, não é uma função parcial. Lembrar que o dual de uma relação funcional é injetora. Composição de Funções Parciais Por definição, a composição de relações funcionais é uma relação funcional. Daí, a composição resultante de funções parciais também é uma função parcial. 22

Composição de Funções Parciais Ex.: A composição das funções parciais f: A B e g: B C é g f: A C, sendo que: f = {(a,), (c,5), (d,5)} g = {(,x), (2,y), (4,y), (5,z)} g f = {(a,x), (c,z), (d,z)} A composição das funções é mostrada no diagrama abaixo: g f A a b c d f B 2 3 4 5 g x y z C 23

Restrição do domínio de uma Função Parcial É possível definir uma restrição sobre uma função a partir de um subconjunto do seu domínio. Sejam f: A B e A 0 um conjunto tal que A 0 A. Então a restrição do domínio de f relativo a A0, denotado por: f\a 0 : A 0 B é tal que: f\a 0 = f (A 0 X B) Ex: Sejam A={,2,3,4,5}, B={x,y,z} e a função parcial f: A B, como ilustrado na figura abaixo (esquerda). Para A 0 ={3,4,5}, f\a 0 : A 0 B é como mostra a figura a seguir (direita) A f B 2 x 3 A 3 y 0 4 4 x 5 5 A 0 f\a 0 B x y x 24

Restrição do domínio de uma Função Parcial Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então, para cada função parcial da coluna da esquerda é apresentada, na coluna da direita, uma correspondente função parcial restrita para um dado subconjunto do domínio. : A B R = {(0,a), (,b)}: C B id B = {(a,a), (b,b)}: B B \A = : A B R\{0} = {(0,a)}: {0} B id B \A= {(a,a)}: A B 25

Função Total Uma função total ou simplesmente função é uma função parcial f: A B a qual é total. É uma função que é definida para todos os elementos do domínio (A), ou seja devem ser válidas as seguintes proposições: ( a A)( b B)(aRb) e ( a A)( b B)( b2 B)(aRb arb2 b=b2) Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,,2}. Então: São funções: h C X B, h={(0,a), (,b), (2,b)} {(0,a), (,b), (2,b)}: C B p A X B, xpy x=y, p = {(a,a)} =: A B Não são funções: R A X B, R= : A B S C X B, S={(0,a), (,b)} {(0,a), (,b)}: C B <: C C 26

Função Em termos de notação como matriz ou grafo, basta considerar que uma função é uma relação funcional e total. Assim: Matriz: existe, exatamente, um valor verdadeiro em cada linha da matriz. Grafo: existe, exatamente, um arco partindo de cada nó. Função Injetora - Seja a função f: A B. f é injetora se e somente se: ( b B)( a A)( a2 A)(f(a) =b f(a2) =b a=a2) Ou seja, em uma função injetora, cada elemento de B está relacionado com, no máximo, um elemento de A. Ex. f: f(x) = x 3, é injetora. Ex2. f: f(x) = x 2, não é injetora. Ex3. f: G G f(x) = x 2, é injetora. 27

Em uma Função injetora, cada elemento do co-domínio é imagem de no máximo, um elemento do domínio. Função Sobrejetora - Seja a função f: A B. f é sobrejetora se e somente se: ( b B)( a A)(f(a)=b) Ou seja, em uma relação sobrejetora, para cada elemento de B, existe pelo menos, um elemento de A. Em uma Função sobrejetora, todo elemento do co-domínio é imagem de pelo menos, um elemento do domínio. Função bijetora (ou isomorfismo) Quando uma função é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Em uma Função bijetora, todo elemento do co-domínio é imagem, exatamente, de um elemento do domínio. A 3 4 5 f x y x B 28

Exercício. Considerem-se as funções adição sobre o conjunto dos números naturais (+: GxG G), divisão, sobre o conjunto dos números reais (/: x ), e raiz quadrada, sobre o conjunto dos números inteiros ( : ). Verificar as propriedades (injetora, sobrejetora e total) de cada função (). G= Números naturais {0,,2..} =Números inteiros {...-2,-,0,,2...} = Números reais. Injetora Sobrejetora Total +: GxG G Não Sim Sim /: x Não Sim Não : Sim Não Não () Do Livro Linguagens Formais Teorias, Modelagem e Implementação, Ramos, M. V. M., Neto, J.J. e Vega, I. S. Bookman, 2009. 29

Função Dual (Oposta) Da mesma forma que em funções parciais, a relação dual de uma função (total) não necessariamente é uma função. Exemplos Seja A = {0,,2} e a função R A x A tal que R={(0,2),(,2),(2,)}. Assim, a relação dual (inversa) de R é R - = {(2, 0), (2, ), (, 2) }, que não é uma relação funcional e então, não é uma função. Seja f: {0, } {0,, 2} tal que f = { (0, 0), (, ) }. Assim, sua dual possui o mesmo conjunto de pares ordenados, { (0, 0), (, ) }, mas não é função. 30

Composição de Funções Totais A composição das funções totais f: A B e g: B C é g f: A C, sendo que: f = {(a,), (b,2), (c,5), (d,5)} g = {(,x), (2,y), (3,y), (4,y), (5,z)} g f = {(a,x), (b,y), (c,z), (d,z)} A composição das funções é mostrada no diagrama abaixo: g f A a b c d f B 2 3 4 5 g x y z C 3