MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS (BINOMIAL e POISSON)
Modelos probabilísticos Algumas variáveis aleatórias (V.A.) aparecem com bastate frequêcia em situações práticas de eperimetos aleatórios (E.: peso, altura, úmero de descedetes, seo, espécie, etc.). Nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser descrita de uma maeira mais fácil através de uma lei (modelo) para atribuir probabilidades. Um mesmo modelo pode ser utilizado para descrever a distribuição de probabilidade de várias variáveis aleatórias. EEMPLOS DE POSSÍVEIS MODELOS: Peso, altura, temperatura V.A. cotíua Modelo Normal Número de???? V.A. discreta (cotagem) Modelo de Poisso Seo, cor V.A. discreta (biária) Modelos de Beroulli Biomial
Modelo Beroulli Na prática muitos eperimetos admitem apeas dois resultados Eemplo:. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2. O resultado de um eame médico para detecção de uma doeça é positivo ou egativa. 3. Um etrevistado cocorda ou ão com a afirmação feita; 4. No laçameto de um dado ocorre ou ão face 6; 5. Ao ascer, um filhote pode ser macho ou fêmea. Esses eperimetos (esaios) apresetam alterativas dicotômicas e podem ser represetadas geericamete por uma resposta do tipo sucesso (S) fracasso (F) e recebem o ome de esaios de Beroulli e origiam uma variável aleatória com distribuição de Beroulli.
Distribuição de Beroulli Uma variável aleatória () de Beroulli é aquela que assume apeas dois valores se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso p, 0 < p <. Isto é, se (S) e (F)0. Logo a fução de probabilidade é dada por: 0 ) -p p f ( ) ) p ( p) ; 0, 0; c. c Notação: ~Beroulli (p). Leia-se: é uma variável aleatória com distribuição de Beroulli com parâmetro p Se ~Beroulli(p) pode-se mostrar que: E()p Var()p(-p). Repetições idepedetes de um esaio de Beroulli dão origem ao modelo (distribuição) Biomial.
Distribuição Biomial Cosidere a repetição de esaios de Beroulli idepedetes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que cota o úmero total de sucessos os esaios de Beroulli é deomiada de variável aleatória Biomial com parâmetros e p e sua fução de probabilidade é dada por: f ( ) ode )!!( p ( p), 0,,, 0, c. c, represeta o coeficiete Biomial. )! Notação, ~B(, p). Leia-se: é uma variável aleatória com distribuição Biomial com parâmetros e p. Se ~Biomial(, p) pode-se mostrar, a partir da Distribuição de Beroulli, que: E() p e Var() p(-p).
Eemplo Seja o eperimeto em que se observa o ascimeto de 0 filhotes de uma porca, em que a probabilidade de ascer um filhote macho ou fêmea é igual a 50%. Ecotre a probabilidade de ascer meos de duas fêmeas e o úmero esperado de ascimeto de fêmeas.
Seja o eperimeto em que se observa o ascimeto de 0 filhotes de uma porca, em que a probabilidade de ascer um filhote macho ou fêmea é igual a 50%. Ecotre a probabilidade de ascer meos de duas fêmeas e o úmero esperado de ascimeto de fêmeas. Eemplo Solução: Seja a variável aleatória : úmero de fêmeas ascidas. Etão M) F)/2. Logo, ~B(0, /5). c c P. 0,,0 0,,, 2 2 ) ( 0 < 2) 0) + ) 0.0 0.0098 0,00098 2 2 0 2 2 0 0 2) ( 0 0 0 0 + + < P E[] p 00.5 2 fêmeas
Eemplo 2 O professor da disciplia de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha cotedo 0 questões, cada uma com 5 alterativas. Supoha que parte dos estudates, que vão a fazer a prova, ão vão as aulas e ão estudaram para a prova (o que é muito frequete). O professor estabeleceu que para ser aprovado, o aluo deve acertar, pelo meos, duas questões (o que é pouco frequete). Qual a probabilidade de um aluo ser aprovado? S: questão respodida corretamete F: questão respodida icorretamete A probabilidade se sucesso é costate e cada estudate respode idepedetemete a questão Solução: Seja a v.a. : úmero de questões respodidas corretamete as 0 questões. Etão o eveto de iteresse é: 0 0 4, 0,,,0 ) 5 5 0, c. c 2) < 2) [ 0) + )] 0,446 S)/5 e F)4/5. Logo, ~B(0,/5). A probabilidade de um aluo ser aprovado é: 0,4466
Distribuição Biomial com parâmetros 0 e p p0, p0,3 ) 0.0 0.2 0.4 ) 0.00 0.20 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 p0,5 p0,8 ) 0.00 0.5 ) 0.00 0.20 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
Distribuição Biomial com parâmetros 20 e p p0, p0,3 ) 0.00 0.20 ) 0.00 0.5 0 5 0 5 20 0 5 0 5 20 p0,5 p0,8 ) 0.00 0.0 ) 0.00 0.5 0 5 0 5 20 0 5 0 5 20
Distribuição Biomial com parâmetros 30 e p p0, p0,3 ) 0.00 0.5 ) 0.00 0.0 0 0 20 30 0 0 20 30 p0,5 p0,8 ) 0.00 0.0 ) 0.00 0.5 0 0 20 30 0 0 20 30
Eemplo 3 Supoha uma ura com 20 peças boas e 5 peças ruis, etraímos da ura, cosecutivamete e com reposição, 2 peças. Ecotre a probabilidade de se obter 5 peças boas. S: obter uma peça boa em cada etração F: obter uma peça ruim em cada etração A probabilidade se sucesso é costate em cada etração e os resultado são idepedetes em cada etração. Solução: Seja a v.a. : úmero de peças boas (sucessos) as 2 etrações da ura. Etão o eveto de iteresse é: S)4/7 e F)3/7. Logo, ~B(2,4/7). A probabilidade de obter 5 peças boas é: 5) 0.0045 ) 2 4 7 3 7 0, 2, 0,,,2 c. c
Modelo de Poisso Na prática, muitos eperimetos cosistem em observar a ocorrêcia de evetos discretos em um itervalo cotíuo (uidade de medida). Eemplos:. Número de cosultas a uma base de dados em um miuto. 2. Número de casos de degue por quilômetro quadrado em Lavras. 3. Número de machas (falhas) por metro quadrado o esmaltado de uma geladeira. 4. Número de chamadas e/ou torpedos que você recebe o seu celular durate a aula o itervalo de tempo de 0:00 a.m. às :40 a.m. 5. Número de carros que chegam ao Campus etre 7,0 a.m. a 9,0 a.m.
Distribuição de Poisso Uma variável discreta tem distribuição de Poisso com parâmetro µ se sua fução de probabilidade é dada por: f ( ) ) e µ! 0; µ 0,,2, c. c. Em que: : úmero de evetos discretos em t uidades de medida, µ λ t é a media de evetos discretos em t uidades de medida e λ é a itesidade Notação: ~µ). Leia-se: é uma variável aleatória com distribuição de Poisso com parâmetro µ. Pode-se mostrar que se ~µ), etão E() µ, Var()µ
Eemplo. Uma tecelagem produz tecidos com 0, defeitos, em média, por metro quadrado. Qual é a probabilidade que ao selecioar um metro quadrado ao acaso ele teha mais de um defeito? Seja : úmero de defeitos por metro quadrado, etão, ~0,). >) 2)+3)+... -[0)+)] f ( ) 0, e 0,, 0,,2,3...! > ) [ 0) + )] [0,90 + 0,09] 0,0.
Eemplo 2. Supoha que a cetral telefôica de uma empresa de grade porte recebe em média 3 chamadas a cada 4 miutos. Qual é a probabilidade que a cetral recepcioe 2 ou meos chamadas em um itervalo de 2 miutos? Seja : úmero de chamadas que recebe a cetral telefôica da empresa em 2 miutos, etão, ~µ). Aqui t2 e λ3/40,75, etão µ(0,75)(2),5, ou seja, ~,5) e f ( ),5,5! 2), 0,,2,3... 0) + ) + 2) e,5 [ +,5 +,5 2 2 ] 0,808847.
4) 0) ) 0.00 0.5 ) 0.00 0.08 0 40 80 0 40 80 20) 50) ) 0.00 0.06 ) 0.00 0.04 0 40 80 0 40 80
A Distribuição Poisso Como Aproimação da Distribuição Biomial A distribuição Biomial para sucessos em esaios de Beroulli é dada por:., 0,, ) ( ) ( p p P Se µp, pµ/, substituido p a fução probabilidade temos P + µ µ µ µ µ! 2 ) (! ) (, e P temos Fazedo µ µ Na prática, se > 50 e p < 0,0 a aproimação de Poisso para probabilidades biomiais será cosiderada adequada.
Eemplo 3. A probabilidade de que um rebite utilizado a superfície da asa de uma aeroave seja defeituosa é de 0,00. Há 400 rebites a asa. Qual é a probabilidade de que sejam istalados ão mais de um rebite defeituoso? Se : úmero de rebites defeituosos a asa da aeroave. Etão, ~B(4000, 0,00) ) 0 400 ( 0,00) ( 0,999) 400 0.6702 + 0.2683 0.9385 Usado a aproimação da biomial para Poisso (>50 e p<0.0), µ400(0,00)4 ~0.4) ) 0 e 0.4 0.4! 0.6703 + 0.268 0.9384.