Teora dos Números e suas aplações Lus Armando dos Santos Júnor e Antôno arlos Noguera Unversdade Federal de Uberlânda Abrl- 009 :Orentando Programa de Eduação tutoral do urso de Matemáta. E-mal: anarexmg@ahoo.om.br : Orentador. E-mal: anoguera@ufu.br Resumo Este trabalho tem omo obetvo mostrar através de demonstrações, exposção de defnções e exemplos algumas aplações de Teora dos Números, em partular aplações na rptografa e alendáros. onsderações Prelmnares Para a aplação de Teora dos Números em rptografa é neessáro que se relembre algumas defnções e teoremas mportantes para entendmento do proesso. Defnção : Sea n um número ntero postvo. Dos nteros a e b são dtos ongruentes módulo n, smbolzado por a b(mod se n dvde a dferença a b ; ou sea, a b n para algum ntero. Defnção : Uma equação da forma ax b(mod, om a, b e n nteros é hamada de ongruêna lnear, e omo solução desta equação dzemos que é um ntero x 0 para o qual ax b(mod. 0 n Função ϕ de Euler: Para n, exste que denota o número de nteros postvos que são relatvamente prmos de n e que não são maores que n. Teorema : Se p é um prmo e > 0, então p p p p ( Demonstração: laro que, md( n, p se e somente se p não dvde n. Exstem nteros entre e p dvsíves por p, ou sea, p, Já que {,,..., p } ontêm exatamente p, então pela defnção da função φ, p, 3 p,..., ( p p p p p p nteros que são relatvamente prmos om p p p. r Teorema : Se o ntero n > tem uma fatoração em prmos n p p... p, então ( p n p p ( p p... p pr...( p r r p r r r
Demonstração: Pretende-se usar ndução em r o número de fatores prmos dstntos de n. Pelo Teorema, o resultado é verdadero para r. Suponha que é verdadero para r. Já que md ( p p... p, p Da defnção de função multplatva, temos ( p p... p p p... p p p... p p p Através da ndução têm-se então que p p... p ( p p ( p p...( p p onluu-se os passos da ndução e a demonstração do teorema. Lema : Sea n > e md ( a,. Se a, a,..., aφ ( são os nteros postvos menores que n que são relatvamente prmos om n, então aa, aa,..., aaφ ( são ongruentes módulo n om a, a,..., aφ ( em qualquer ordem. Demonstração: Observe que não há dos nteros aa, aa,..., aaφ ( que são ongruentes módulo n. Para aa aa (mod, om <, então a le do anelamento permte que a a (mod, daí a a que é um absurdo. Além dsso, omo md( a, para todo e md ( a,, o fato de φ ser uma função multplatva garante que ada aa é relatvamente prmo de n. Para um aa partular exste um úno ntero b, onde aa b(mod. omo md( b, md( aa, b deve ser um dos nteros a, a,..., aφ (. 0 b < n, para o qual Teorema 3 (Teorema de Euler: Se n e md ( a,, então a n (mod. Demonstração: Não há problema em pegar n >. Sea a, a,..., aφ ( os nteros postvos menores que n que são relatvamente prmos om n. omo md ( a,, segue do lema que aa, aa,..., aaφ ( são ongruentes, não neessaramente em ordem de aparêna, om a, a,..., aφ (. Logo onde aa aa M aa a (mod a (mod M a (mod n a, a,..., aφ ( são os nteros, a,..., a ( produto dessas φ ( ongruênas, têm-se e então ( aa ( aa a a... a a a φ em alguma ordem qualquer. Fazendo o...( aa (mod a a... a (mod ( a a a a a... a (mod...
omo o md( a, para ada, então pela função φ ser multplatva mpla que md a a... a φ n,. Logo, pode-se dvdr os dos lados da ongruêna pelo fator omum ( (, a a ( a,..., φ, dexando apenas a n (mod Defnção 3: Para um número real arbtráro x, nós denotamos por [ x ] o maor ntero menor ou gual a x ; ou sea, [ x ] é o úno ntero que satsfaz x < [ x] x. Aplação na rptografa rptografa: Do grego Krptos sgnfando esonddo e graphen sgnfando esrever, ou sea, é a êna de fazer as omunações nntelgíves para todos exeto órgãos autorzados. Na lnguagem de rptografa, os ódgos são as fras e a nformação neles esonddos é hamado texto plano. Após a transformação do texto plano em sua forma sereta, este passa a ser hamado texto frado. rptografa de Júlo ésar: Um dos prmeros sstemas de rptografa, usado pelo grande mperador romano Júlo ésar por volta de 50 anos A.. Este sstema usava uma substtução rudmentar de fras, o qual onssta de apenas de substtur ada letra do alfabeto pela letra 3 posções abaxo no alfabeto, om as últmas 3 letras orrespondentes as 3 prmeras respetvamente, ou sea, em lo. Representando o texto plano e o texto frado orrespondente, têm-se: Texto plano: ABDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXZ Texto frado: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXZAB Por exemplo, a mensagem FAMAT EM REVISTA é transformada no texto frado IDPDW HP UHMVWD O método de ésar pode falmente ser desrto usando-se teora das ongruênas. Expressando o texto plano numeramente transferndo os arateres do texto em dígtos através da segunte relação A B D E F G H I J K L M 00 0 0 03 0 05 06 07 08 09 0 N O P Q R S T U V W X Z 3 5 6 7 8 9 0 3 5 Se P é o dígto equvalente a uma letra do texto plano e é o dígto equvalente a letra no texto frado, então P 3(mod 6 Por exemplo, onvertendo-se as letras da mensagem para seus orrespondentes numéros 05 00 00 9 0 7 0 08 8 9 00 Usando-se a ongruêna ama, obtêm-se 08 03 5 03 07 5 0 07 03 Para reuperar a mensagem a partr de um texto frado, basta usar a ongruêna P 3 3(mod 6 O método de ésar é muto smples e extremamente nseguro. Um sstema de rptografa no qual ada letra é substtuída por uma mesma fra é onhedo omo fra monoalfabéta. Este tpo de rptografa é extremamente vulnerável aos métodos estatístos de ataque á que o método preserva a freqüêna de letras ndvduas. Um sstema polalfabéto sera aquele
que uma mesma letra do texto plano orresponde a dferentes fras nlusve em uma mesma mensagem. Método da palavra have: Este método fo publado pelo rptográfo Blase de Vgenère (53-596 em Traté de hffres de 586. O método de Blase é um sstema polalfabéto, para mplementar este sstema ambas partes omunantes ombnaram o uso de uma palavra ou frase de fál reordação. om o alfabeto transformado em dígtos onforme a tabela anteror, os dígtos equvalentes a palavra-have é repetdo quantas vezes neessáras sob os dígtos orrespondentes ao texto plano. A mensagem então sera odfada através da adção, módulo 6, de ada número do texto plano om o número medatamente abaxo dele. Para lustrar o proesso usa-se a palavra-have MAT, a qual tem versão numéra 00 9. Sea a mensagem RIPTOGRAFIA uo equvalente numéro é 0 7 08 5 9 06 7 00 05 08 00, usando-se do método têm-se 0 7 08 5 9 06 7 00 05 08 00 00 9 00 9 00 9 00 9 quando as olunas são adonadas módulo 6 têm-se 7 0 0 9 07 8 7 9 7 08 9 onvertendo em fras ORBBTHSRTRIT Note que uma mesma letra do texto plano é representada por mas de uma letra dferente no texto frado (observe o I, o fato de que para o A e R repetram foram meras ondênas, tudo depende da esolha da palavra have. Em geral, qualquer seqüêna de n letras om equvalentes numéros b b,..., b ( 00 5, b servrá omo palavra-have. O texto plano da mensagem é representado omo bloos suessvos P P... P frado uos bloos são n de n nteros de dos dígtos... n por meo das ongruênas P, e então onvertdo para o texto P b (mod 6 n A deodfação é pelas relações P b (mod 6 n Por ausa da dstrbução das letras do texto frado em relação ao texto plano ser tão obsura o sstema fo pensado omo nquebrável, porém a fraqueza no métode de Vgenère é que uma vez determnado o tamanho n da palavra-have, uma mensagem rptografada pode ser reuperada omo sendo feta de n fras monoalfabétas, sendo feto a análse de freqüêna de ada uma. Método de Lester Hll: Em 99, Lester Hll, um professor de matemáta assstente no olégo Hunter rou um método de rptografa que se baseava em dvdr o texto plano em bloos de n letras (possvelmente ompletando o últmo bloo por letras determnadas, X por exemplo, e então odfar bloo por bloo usando um sstema lnear de n ongruênas om n varáves. Numa forma smples ( n o proedmento seleona duas letras suessvas e transforma seus equvalentes numéros P P em um bloo de números do texto frado através do par de ongruênas ap bp (mod 6 P dp (mod 6 Para permtr a deodfação, os oefentes a, b,, d devem ser seleonados de modo que md ( ad b,6. Para lustrar o método de Hll, onsdere as ongruênas n
P 3P (mod 6 5P 8P (mod 6 para odfar a mensagem BU NOW. O prmero bloo BU de duas letras é numeramente equvalente a 0 0, de aordo om o quadro anteror. Substtundo 0 3 0 6 0(mod 6 ( ( 5(0 8(0 65 09(mod 6 ontnuando duas letras por vez, enontram-se os números do texto frado 0 09 09 6 6 que pode ser expresso alfabetamente por KJJ QQM. Deodfação requer a resolução do sstema orgnal de ongruênas para P e P em termos de e. Logo P 8 3 (mod 6 P 5 (mod 6 Para o bloo 0 09 do ódgo, alula-se P 8(0 3(09 53 0(mod 6 P 5(0 (09 3 0(mod 6 Que orrespondem as letras orgnas BU. O restante do texto plano pode ser restaurado de manera smlar. rptografa de have-públa: Nos métodos anterores o emssor e o reeptor da mensagem onheam o ódgo sereto da odfação, a have do método, e somente eles. No método de have públa exstem duas haves, uma públa lberada para qualquer um que desear envar a mensagem ao reeptor onsegur odfar e uma sereta para deodfação que apenas o reeptor onhee. Método RSA de rptografa: Em 977, R. Rvest, A. Shamr e L. Adleman propuseram um método de have públa que usa somente déas elementares de teora dos números. A segurança do método depende da orrente tenologa omputaonal, a fatoração de números ompostos om grandes números prmos é om erteza ansatva. ada usuáro do sstema RSA esolhe um par de prmos dstntos, p e q, grandes o sufente para que a fatoração de seu produto n pq, hamado de módulo odfador, va além de qualquer apadade omputaonal. Por exemplo, pode-se esolher p e q om 00 dígtos ada, deste modo n terá em torno de 00 dígtos. Seleonado n, o usuáro esolhe um ntero postvo qualquer, o expoente odfador, de modo que satsfaça md (,. O par ( n, é oloado em um arquvo públo, análogo a uma lsta telefôna, omo have de odfação para os usuáros. Isto permte que qualquer um, na rede de omunação, odfque uma mensagem e enve ao reeptor. Note que apesar de n ser aessível a todos, sto não sgnfa que os fatores p e q seam, p e q fatores prmos de n. O proesso de odfação se na om a onversão da mensagem em um ntero M por meo do alfabéto dgtal abaxo no qual ada letra, número ou símbolos do texto plano é substtuído por um ntero de dos dígtos.
A00 K0 U0 30 B0 L V 3 0 M W 33 D03 N3 X3 33 E0 O 53 F05 P5 Z5 635 G06 Q6,6 736 H07 R7.7 837 I08 S8?8 938 J09 T9 09!39 om 99 ndando espaço entre palavras. Neste esquema, a mensagem THE BROWN FIX IS QUIK é transformada para o número ntero M 9070990739905399088996008007 Assume-se que M < n, onde n é módulo odfador. Do ontráro sera mpossível dstngur M de qualquer ntero maor que sea ongruente a ele módulo n. Quando a mensagem é muto longa para ser analsada omo um úno número M < n, então M é quebrado em bloos de dígtos M, M,..., M s de tamanho aproprado. ada bloo é odfado separadamente. Usando da have públa ( n,, o emssor odfa a mensagem do número M (que representa o texto plano e transforma em número do texto frado r elevando M a -ésma potêna e reduzndo o resultado módulo n, ou sea M r(mod Uma mensagem de 00 arateres pode ser odfada em segundos em um omputador de alta velodade. Lembrando que o expoente odfador fo orgnalmente seleonado pela ondção md (,. Apesar de exstr mutas esolhas boas para, uma sugestão óbva é de esolher omo sendo um número prmo maor que p e q. Por outro lado, para determnação da have de odfação, prmero determna-se o ntero, o expoente de reuperação sereto, para o qual (mod Já que md (,, esta ongruêna lnear tem uma solução úna módulo φ (. De fato, o algortmo euldano produz omo solução da equação x O expoente de reuperação pode somente ser alulado por alguém que onhee p e q, fatores prmos de n. Logo, é desonhedo para todos om exeção do reeptor. Logo, om a have de deodfação determnada pode se reuperar o número M à partr de r smplesmente alulando r módulo n. Já que t para algum ntero t, segue-se que t t t ( M M M ( M M M (mod r de aordo om o Teorema 3 ama e sempre que md ( M,. Em outras palavras, elevando-se o número do texto frado a -ésma potêna e reduzndo módulo n reuperase o número orgnal M orrespondente ao texto plano. Teve-se que assumr que md ( M, para poder usar o Teorema 3 (Teorema de Euler. No aso em que M e n não seam relatvamente prmos, um argumento smlar estabelee
que r M (mod p e r M (mod q, o que nos dá a ongruêna deseada r M (mod. A maor vantagem deste método é que a odfação de uma mensagem não requer o onhemento dos dos prmos p e q, mas somente de seu produto n, ou sea, não há neessdade de nnguém além do reeptor da mensagem saber os fatores prmos essenas para a deodfação. O método dreto de ataque ao método sera a tentatva de fatoração de n, um ntero de grande magntude. Uma vez que seus fatores forem determnados, o expoente reuperador pode ser alulado a partr de n ( p ( q e. Porém essa fatoração dependerá da apadade omputaonal e do tamanho de n, quanto maor mas dfíl a fatoração. Aplação nos alendáros Nosso alendáro, o alendáro Gregorano, vem desde a segunda metade do séulo XVI. O alendáro anteror, ntroduzdo por Júlo ésar, fo baseado em um ano de 365 de das, om um ano bssexto de em anos. Esta não fo uma medda presa porque o ano solar é de aproxmadamente 365, das. Este pequeno erro faza om que o alendáro de ésar pulasse um da a ada 8 anos. Por volta do séulo XVI, o erro aumulado fez om que o º da da prmavera aísse da de março em vez do da orreto, de março. O papa Gregóro XIII orrgu essa dsrepâna em um novo alendáro, mposto nos prnpas países atólos da Europa. Fo deretado que 0 das seram omtdos no ano de 58, fazendo om que 5 de outubro vesse logo depos de de outubro daquele ano. Os anos bssextos seram os anos dvsíves por, exeto aqueles que fosse anos entenáros. Anos entenáros só seram bssextos se fossem dvsíves por 00. Obetvo: Dado uma data após o ano de 600 deve-se determnar a qual da da semana esta data orresponde usando Teora dos Números. Método: omo o da adonado no ano bssexto é 9 de feverero, vamos adotar omo º de março sendo o prmero da do ano e o últmo da de feverero omo sendo o últmo da do ano. De aordo om sso, no ano março e abrl são os prmero e segundo mês do ano, respetvamente. Janero e feverero do ano são ontados omo o º e o º mês do ano. Outra onvenêna é desgnar os das da semana por: Domngo Segunda Terça Quarta Qunta Sexta Sábado 0 3 5 6 O número de das de um ano omum é 365 (mod 7, em anos bssextos exstem 366 (mod 7 das. Por 8 de feverero ser o 365º da do ano, e 365 (mod 7, 8 de feverero sempre a no mesmo da da semana que o anteror º de março do mesmo ano. Logo, o próxmo º de março é um da da semana depos do º de março do ano anteror. Mas se o próxmo º de março é depos de 9 de feverero, o da da semana orrespondente deve ser somado módulo 7. Sea D 600, o da da semana que representa o da º de março do ano de 600, então o º de março dos anos 60, 60, 603 é dado por D 600, D e D 3, 600 600 respetvamente. Logo, o da prmero de março de um ano ( D é dado por: D D ( 600 (mod 7 600 L
Onde L é o número de das de anos bssextos entre º de março de 600 e º de março do ano. O número de anos n no ntervalo de < n 600 que são dvsíves por é dado por: O número de anos entenáros é dado por: Dentre esses o número de anos bssextos são: Logo, o valor de L é dado por: onsderando-se o fato de que 600 D (º de março de 600 au numa quarta-fera: Uma fórmula alternatva para L pode ser feta esrevendo omo: : número de séulos e denota o número de anos daquele séulo. Substtundo: Logo, a ongruêna D aparee omo: Que se reduz a: Referênas Bblográfas - Burton, M. Davd- Elementar Number Theor- Ed. MGraw Hll- 5ª edção-00 00 00 600 6 00 6 00 00 600 00 00 00 600 388 00 00 00 6 00 00 L (mod 7 600 ( 3 L D 00 00 0 < 388 388 00 00 5 L 388(mod 7 600 (00 3 D (mod 7 3 D